（新課標(biāo)）備戰(zhàn)2021高考數(shù)學(xué)“3＋1”保分大題強化練（七）理

（新課標(biāo)）備戰(zhàn)2020高考數(shù)學(xué)“31”保分大題強化練（七）理 “31”保分大題強化練(七) 前3個大題和1個選考題不容有失1數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn2ann.(1)求證數(shù)列an1是等比數(shù)列，并求an；(2)若數(shù)列bn為等差數(shù)列，且b3a2，b7a3，求數(shù)列anbn的前n項和解：(1)證明：當(dāng)n1時，S12a11，所以a11.因為Sn2ann，所以當(dāng)n2時，Sn12an1(n1)得an2an2an11，所以an2an11，所以2.所以an1是首項為2，公比為2的等比數(shù)列所以an12·2n1，所以an2n1.(2)由(1)知，a23，a37，所以b3a23，b7a37.設(shè)bn的公差為d，則b7b3(73)·d，所以d1.所以bnb3(n3)·dn.所以anbnn(2n1)n·2nn.設(shè)數(shù)列n·2n的前n項和為Kn，數(shù)列n的前n項和為Tn，則Kn22×223×23n·2n，2Kn222×233×24n·2n1，得，Kn222232nn·2n1n·2n1(1n)·2n12，所以Kn(n1)·2n12.又Tn123n，所以KnTn(n1)·2n12，所以anbn的前n項和為(n1)·2n12.2如圖，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)面BCC1B1是矩形，ABA1B，N是B1C的中點，M是棱AA1上的點，且AA1MC.(1)證明：MN平面ABC；(2)若ABA1B，求二面角A­CM­N的余弦值解：(1)證明：在三棱柱ABC­A1B1C1中，連接BM.因為側(cè)面BCC1B1是矩形，所以BCBB1.因為AA1BB1，所以AA1BC.又AA1MC，BCMCC，所以AA1平面BCM，所以AA1MB，又ABA1B，所以M是AA1的中點取BC的中點P，連接NP，AP，因為N是B1C的中點，所以NPBB1，且NPBB1，所以NPMA，且NPMA，所以四邊形AMNP是平行四邊形，所以MNAP.又MN平面ABC，AP平面ABC，所以MN平面ABC.(2)因為ABA1B，所以ABA1是等腰直角三角形設(shè)ABa，則AA12a，BMAMa.又在RtACM中，ACa，所以MCa.在BCM中，CM2BM22a2BC2，所以MCBM，所以MA1，MB，MC兩兩垂直，以M為坐標(biāo)原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則M(0,0,0)，C(0,0，a)，B1(2a，a,0)，N，所以(0,0，a)，.設(shè)平面CMN的法向量為n1(x，y，z)，則即取x1，得y2.故平面CMN的一個法向量為n1(1，2,0)因為平面ACM的一個法向量為n2(0,1,0)，所以cosn1，n2.因為二面角A­CM­N為鈍角，所以二面角A­CM­N的余弦值為.3某共享單車經(jīng)營企業(yè)欲向甲市投放單車，為制定適宜的經(jīng)營策略，該企業(yè)首先在已投放單車的乙市進(jìn)行單車使用情況調(diào)查調(diào)查過程分隨機問卷、整理分析及開座談會三個階段在隨機問卷階段，A，B兩個調(diào)查小組分赴全市不同區(qū)域發(fā)放問卷并及時收回；在整理分析階段，兩個調(diào)查小組從所獲取的有效問卷中，針對15歲至45歲的人群，按比例隨機抽取了300份，進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計，具體情況如下表：組別年齡A組統(tǒng)計結(jié)果B組統(tǒng)計結(jié)果經(jīng)常使用單車偶爾使用單車經(jīng)常使用單車偶爾使用單車15,25)27人13人40人20人25,35)23人17人35人25人35,4520人20人35人25人(1)先用分層抽樣的方法從上述300人中按“年齡是否達(dá)到35歲”抽出一個容量為60人的樣本，再用分層抽樣的方法將“年齡達(dá)到35歲”的被抽個體分配到“經(jīng)常使用單車”和“偶爾使用單車”中去求這60人中“年齡達(dá)到35歲且偶爾使用單車”的人數(shù)為聽取對發(fā)展共享單車的建議，調(diào)查小組專門組織所抽取的“年齡達(dá)到35歲且偶爾使用單車”的人員召開座談會會后共有3份禮品贈送給其中3人，每人1份(其余人員僅贈送騎行優(yōu)惠券)已知參加座談會的人員中有且只有4人來自A組，求A組這4人中得到禮品的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望(2)從統(tǒng)計數(shù)據(jù)可直觀得出“經(jīng)常使用共享單車與年齡達(dá)到m歲有關(guān)”的結(jié)論在用獨立性檢驗的方法說明該結(jié)論成立時，為使犯錯誤的概率盡可能小，年齡m應(yīng)取25還是35？請通過比較K2的觀測值的大小加以說明參考公式：K2，其中nabcd.解：(1)從300人中抽取60人，其中“年齡達(dá)到35歲”的人數(shù)為100×20，再將這20人用分層抽樣法按“是否經(jīng)常使用單車”進(jìn)行名額劃分，其中“年齡達(dá)到35歲且偶爾使用單車”的人數(shù)為20×9.A組這4人中得到禮品的人數(shù)X的可能取值為0,1,2,3，則P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故X的分布列為X0123PE(X)0×1×2×3×.(2)按“年齡是否達(dá)到35歲”對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下列聯(lián)表：經(jīng)常使用單車偶爾使用單車總計未達(dá)到35歲12575200達(dá)到35歲5545100總計180120300m35時，可求得K2的觀測值k1.按“年齡是否達(dá)到25歲”對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下列聯(lián)表：經(jīng)常使用單車偶爾使用單車總計未達(dá)到25歲6733100達(dá)到25歲11387200總計180120300m25時，可求得K2的觀測值k2，k2>k1.欲使犯錯誤的概率盡可能小，需取m25.選考系列(請在下面的兩題中任選一題作答)4選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為sin2.(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)射線OP的極坐標(biāo)方程為(0)，若射線OP與曲線C的交點為A，與直線l的交點為B，求線段AB的長解：(1)由可得所以x2(y1)23，所以曲線C的普通方程為x2(y1)23.由sin2，可得2，所以sin cos 20，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為xy40.(2)法一：曲線C的方程可化為x2y22y20，所以曲線C的極坐標(biāo)方程為22sin 20.由題意設(shè)A，B，將代入22sin 20，可得220，所以2或1(舍去)，即12，將代入sin2，可得4，即24，所以|AB|12|2.法二：因為射線OP的極坐標(biāo)方程為(0)，所以射線OP的直角坐標(biāo)方程為yx(x0)，由解得A(，1)，由解得B(2，2)，所以|AB|2.5選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)|x2|2x1|.(1)求不等式f(x)3的解集；(2)若不等式f(x)ax的解集為空集，求實數(shù)a的取值范圍解：由題意f(x)作出f(x)的圖象如圖所示，注意到當(dāng)x0或x2時，f(x)3，結(jié)合圖象可知，不等式的解集為0,2(2)由(1)可知，f(x)的圖象如圖所示，不等式f(x)ax的解集為空集可轉(zhuǎn)化為f(x)>ax對任意xR恒成立，即函數(shù)yax的圖象始終在函數(shù)yf(x)的圖象的下方，當(dāng)直線yax過點A(2,3)以及與直線y3x3平行時為臨界情況，所以3a<，即實數(shù)a的取值范圍為.16