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1、（新課標(biāo)）備戰(zhàn)2020高考數(shù)學(xué)“31”保分大題強(qiáng)化練（七）理 “31”保分大題強(qiáng)化練(七) 前3個(gè)大題和1個(gè)選考題不容有失1數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2ann.(1)求證數(shù)列an1是等比數(shù)列，并求an；(2)若數(shù)列bn為等差數(shù)列，且b3a2，b7a3，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和解：(1)證明：當(dāng)n1時(shí)，S12a11，所以a11.因?yàn)镾n2ann，所以當(dāng)n2時(shí)，Sn12an1(n1)得an2an2an11，所以an2an11，所以2.所以an1是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列所以an122n1，所以an2n1.(2)由(1)知，a23，a37，所以b3a23，b7a37.設(shè)bn的公差為d，則b7
2、b3(73)d，所以d1.所以bnb3(n3)dn.所以anbnn(2n1)n2nn.設(shè)數(shù)列n2n的前n項(xiàng)和為Kn，數(shù)列n的前n項(xiàng)和為Tn，則Kn2222323n2n，2Kn22223324n2n1，得，Kn222232nn2n1n2n1(1n)2n12，所以Kn(n1)2n12.又Tn123n，所以KnTn(n1)2n12，所以anbn的前n項(xiàng)和為(n1)2n12.2如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)面BCC1B1是矩形，ABA1B，N是B1C的中點(diǎn)，M是棱AA1上的點(diǎn)，且AA1MC.(1)證明：MN平面ABC；(2)若ABA1B，求二面角ACMN的余弦值解：(1)
3、證明：在三棱柱ABCA1B1C1中，連接BM.因?yàn)閭?cè)面BCC1B1是矩形，所以BCBB1.因?yàn)锳A1BB1，所以AA1BC.又AA1MC，BCMCC，所以AA1平面BCM，所以AA1MB，又ABA1B，所以M是AA1的中點(diǎn)取BC的中點(diǎn)P，連接NP，AP，因?yàn)镹是B1C的中點(diǎn)，所以NPBB1，且NPBB1，所以NPMA，且NPMA，所以四邊形AMNP是平行四邊形，所以MNAP.又MN平面ABC，AP平面ABC，所以MN平面ABC.(2)因?yàn)锳BA1B，所以ABA1是等腰直角三角形設(shè)ABa，則AA12a，BMAMa.又在RtACM中，ACa，所以MCa.在BCM中，CM2BM22a2BC2，所以M
4、CBM，所以MA1，MB，MC兩兩垂直，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則M(0,0,0)，C(0,0，a)，B1(2a，a,0)，N，所以(0,0，a)，.設(shè)平面CMN的法向量為n1(x，y，z)，則即取x1，得y2.故平面CMN的一個(gè)法向量為n1(1，2,0)因?yàn)槠矫鍭CM的一個(gè)法向量為n2(0,1,0)，所以cosn1，n2.因?yàn)槎娼茿CMN為鈍角，所以二面角ACMN的余弦值為.3某共享單車經(jīng)營(yíng)企業(yè)欲向甲市投放單車，為制定適宜的經(jīng)營(yíng)策略，該企業(yè)首先在已投放單車的乙市進(jìn)行單車使用情況調(diào)查調(diào)查過(guò)程分隨機(jī)問卷、整理分析及開座談會(huì)三個(gè)階段在隨機(jī)
5、問卷階段，A，B兩個(gè)調(diào)查小組分赴全市不同區(qū)域發(fā)放問卷并及時(shí)收回；在整理分析階段，兩個(gè)調(diào)查小組從所獲取的有效問卷中，針對(duì)15歲至45歲的人群，按比例隨機(jī)抽取了300份，進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，具體情況如下表：組別年齡A組統(tǒng)計(jì)結(jié)果B組統(tǒng)計(jì)結(jié)果經(jīng)常使用單車偶爾使用單車經(jīng)常使用單車偶爾使用單車15,25)27人13人40人20人25,35)23人17人35人25人35,4520人20人35人25人(1)先用分層抽樣的方法從上述300人中按“年齡是否達(dá)到35歲”抽出一個(gè)容量為60人的樣本，再用分層抽樣的方法將“年齡達(dá)到35歲”的被抽個(gè)體分配到“經(jīng)常使用單車”和“偶爾使用單車”中去求這60人中“年齡達(dá)到35歲且偶爾
6、使用單車”的人數(shù)為聽取對(duì)發(fā)展共享單車的建議，調(diào)查小組專門組織所抽取的“年齡達(dá)到35歲且偶爾使用單車”的人員召開座談會(huì)會(huì)后共有3份禮品贈(zèng)送給其中3人，每人1份(其余人員僅贈(zèng)送騎行優(yōu)惠券)已知參加座談會(huì)的人員中有且只有4人來(lái)自A組，求A組這4人中得到禮品的人數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望(2)從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可直觀得出“經(jīng)常使用共享單車與年齡達(dá)到m歲有關(guān)”的結(jié)論在用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法說(shuō)明該結(jié)論成立時(shí)，為使犯錯(cuò)誤的概率盡可能小，年齡m應(yīng)取25還是35？請(qǐng)通過(guò)比較K2的觀測(cè)值的大小加以說(shuō)明參考公式：K2，其中nabcd.解：(1)從300人中抽取60人，其中“年齡達(dá)到35歲”的人數(shù)為10020，再將這20人用分層抽樣
7、法按“是否經(jīng)常使用單車”進(jìn)行名額劃分，其中“年齡達(dá)到35歲且偶爾使用單車”的人數(shù)為209.A組這4人中得到禮品的人數(shù)X的可能取值為0,1,2,3，則P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故X的分布列為X0123PE(X)0123.(2)按“年齡是否達(dá)到35歲”對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下列聯(lián)表：經(jīng)常使用單車偶爾使用單車總計(jì)未達(dá)到35歲12575200達(dá)到35歲5545100總計(jì)180120300m35時(shí)，可求得K2的觀測(cè)值k1.按“年齡是否達(dá)到25歲”對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到如下列聯(lián)表：經(jīng)常使用單車偶爾使用單車總計(jì)未達(dá)到25歲6733100達(dá)到25歲11387200總計(jì)180120300m2
8、5時(shí)，可求得K2的觀測(cè)值k2，k2k1.欲使犯錯(cuò)誤的概率盡可能小，需取m25.選考系列(請(qǐng)?jiān)谙旅娴膬深}中任選一題作答)4選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為sin2.(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)射線OP的極坐標(biāo)方程為(0)，若射線OP與曲線C的交點(diǎn)為A，與直線l的交點(diǎn)為B，求線段AB的長(zhǎng)解：(1)由可得所以x2(y1)23，所以曲線C的普通方程為x2(y1)23.由sin2，可得2，所以sin cos 20，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為xy40.(2)法一
9、：曲線C的方程可化為x2y22y20，所以曲線C的極坐標(biāo)方程為22sin 20.由題意設(shè)A，B，將代入22sin 20，可得220，所以2或1(舍去)，即12，將代入sin2，可得4，即24，所以|AB|12|2.法二：因?yàn)樯渚€OP的極坐標(biāo)方程為(0)，所以射線OP的直角坐標(biāo)方程為yx(x0)，由解得A(，1)，由解得B(2，2)，所以|AB|2.5選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)|x2|2x1|.(1)求不等式f(x)3的解集；(2)若不等式f(x)ax的解集為空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：由題意f(x)作出f(x)的圖象如圖所示，注意到當(dāng)x0或x2時(shí)，f(x)3，結(jié)合圖象可知，不等式的解集為0,2(2)由(1)可知，f(x)的圖象如圖所示，不等式f(x)ax的解集為空集可轉(zhuǎn)化為f(x)ax對(duì)任意xR恒成立，即函數(shù)yax的圖象始終在函數(shù)yf(x)的圖象的下方，當(dāng)直線yax過(guò)點(diǎn)A(2,3)以及與直線y3x3平行時(shí)為臨界情況，所以3a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.16
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