2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 圓錐曲線與方程 3.4.1 曲線與方程課件 北師大版選修2-1.ppt

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4曲線與方程4．1曲線與方程,,第三章圓錐曲線與方程,學(xué)習(xí)導(dǎo)航,,,第一章常用的邏輯用語(yǔ),1.曲線與方程的概念一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C(看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是________________；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在____________，那么,這條曲線叫作方程的曲線，這個(gè)方程叫作曲線的方程．,這個(gè)方程的解,曲線上,2.求曲線方程(直接法)的一般步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用__________表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)寫出符合條件的點(diǎn)M的集合____________；(3)用坐標(biāo)表示條件p(M)，列出方程____________；(4)化方程f(x，y)＝0為最簡(jiǎn)形式；(5)說(shuō)明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.簡(jiǎn)記為：建系、列式、代換、化簡(jiǎn)、證明．一般地，步驟(5)可以省略不寫，如有特殊情況，可以適當(dāng)說(shuō)明，另外也可以省略(2)，直接列出曲線方程．,(x，y),D＝{M|p(M)},f(x，y)＝0,3．求曲線方程的方法(1)按動(dòng)點(diǎn)的特點(diǎn)求軌跡方程一般有下列幾種方法：①條件直譯法(直接法)基本思想：根據(jù)形成軌跡的幾何條件和圖形性質(zhì)，直接寫出所求動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系，即題設(shè)中有明顯的等量關(guān)系的，或可用平面幾何知識(shí)推出等量關(guān)系的，可用直譯法．②定義法定義法求軌跡有兩種類型，一是若能確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某已知曲線的定義(如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等)，則可根據(jù)曲線的定義直接寫出軌跡方程；二是動(dòng)點(diǎn)的軌跡與圓錐曲線有關(guān)，則可運(yùn)用圓錐曲線定義求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．,③相關(guān)點(diǎn)代入法基本思想：如果所求軌跡中的動(dòng)點(diǎn)，隨著另一動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),而另一動(dòng)點(diǎn)又在某一條已知曲線C：f(x，y)＝0上運(yùn)動(dòng)．此類問(wèn)題常設(shè)法利用軌跡中的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x，y)，表示已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x1，y1)，再將它代入已知曲線C的方程f(x，y)＝0即可．④參數(shù)法基本思想：有時(shí)很難直接找出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的關(guān)系，可借助中間變量——參數(shù)，建立動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x、y之間的聯(lián)系，然后消去參數(shù)得到曲線方程．使用參數(shù)法求軌跡方程的關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)和如何消去參數(shù)．解題的一般步驟為：引入?yún)?shù)——建立參數(shù)方程——消去參數(shù),得到一個(gè)等價(jià)的普通方程.,注意：設(shè)立參數(shù)的原則：突出主要矛盾，抓住問(wèn)題的關(guān)鍵，使運(yùn)算相對(duì)簡(jiǎn)便，通常與圓有關(guān)的問(wèn)題，設(shè)角為參數(shù)；與過(guò)定點(diǎn)的直線有關(guān)的問(wèn)題，與兩條互相垂直的直線有關(guān)的問(wèn)題,設(shè)直線的斜率為參數(shù)；與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)，與兩條直線或直線與曲線的交點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為參數(shù)．,⑤交軌法在求動(dòng)點(diǎn)軌跡時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)要求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)的軌跡問(wèn)題,這類問(wèn)題常常通過(guò)解方程組得出交點(diǎn)(含參數(shù))的坐標(biāo)，再消去參數(shù)求出所求軌跡的方程，該法經(jīng)常與參數(shù)法并用．(2)求曲線的方程要注意以下幾點(diǎn)，這也是在求軌跡方程時(shí)需要注意的：①坐標(biāo)系建立的不同，同一曲線的方程也不同．②一般地，求哪個(gè)點(diǎn)的軌跡方程,就設(shè)哪個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是(x，y),而不是設(shè)成(x1，y1)或(x′，y′)等．,③化簡(jiǎn)方程化簡(jiǎn)到什么程度，課本沒(méi)有給出明確的規(guī)定，一般指將方程f(x，y)＝0化成x，y的整式．如果化簡(jiǎn)過(guò)程破壞了同解性，就需要剔除不屬于軌跡上的點(diǎn)，找回屬于軌跡而遺漏的點(diǎn)．④“軌跡方程”是坐標(biāo)關(guān)系式，是一個(gè)方程，有時(shí)要在方程后根據(jù)需要指明變量的取值范圍，而“軌跡”是點(diǎn)的集合，是曲線，是幾何圖形．故求點(diǎn)的軌跡除了寫出方程外，還必須指出這個(gè)方程所代表的曲線的形狀、位置、范圍、大小等.所以說(shuō)，求軌跡方程和求軌跡是有所不同的．,1．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”)(1)在求曲線方程時(shí)，如果點(diǎn)有了坐標(biāo)或曲線有了方程，則說(shuō)明已經(jīng)建立了平面直角坐標(biāo)系()(2)求曲線的方程時(shí)，所建坐標(biāo)系不同，則求得的方程也不同()(3)化簡(jiǎn)方程“|x|＝|y|”為“y＝x”是恒等變形()(4)按照直接法求曲線方程的步驟求解出的曲線方程不用檢驗(yàn)(),√,,,√,C,解析：把點(diǎn)代入方程檢驗(yàn)知點(diǎn)A、C、D成立，B點(diǎn)不成立．,3．如圖，方程x＋|y－1|＝0表示的曲線是()解析：方程可化為|y－1|＝－x≥0，∴x≤0，故選B.,B,,曲線與方程的概念,(1)如果曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解，那么()A．以方程F(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上B．以方程F(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)，有些不在曲線C上C．不在曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)不是方程F(x，y)＝0的解D．坐標(biāo)不滿足F(x，y)＝0的點(diǎn)不在曲線C上,D,(2)“以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上”是“曲線C的方程是f(x，y)＝0”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件,B,[解析](1)條件中曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都是方程F(x，y)＝0的解．滿足定義中的純粹性，但是以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在曲線上，這是無(wú)法判斷的．故D正確．(2)根據(jù)曲線方程的概念，“曲線C的方程是f(x，y)＝0”包含“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程f(x，y)＝0的解”和“以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上”的兩層含義，可知是必要不充分條件．,方法歸納解決此類問(wèn)題要從兩方面入手：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，即直觀地說(shuō)“點(diǎn)不比解多”稱為純粹性；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，即直觀地說(shuō)“解不比點(diǎn)多”，稱為完備性，只有點(diǎn)和解一一對(duì)應(yīng)，才能說(shuō)曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程．,1.設(shè)方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命題“坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)都在曲線C上”是不正確的，則下列命題正確的是()A．坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)都不在曲線C上B．曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程f(x，y)＝0C．坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)有些在曲線C上，有些不在曲線C上D．一定有不在曲線C上的點(diǎn)，其坐標(biāo)滿足f(x，y)＝0,D,解析：本題考查命題形式的等價(jià)轉(zhuǎn)換．所給命題不正確，即“坐標(biāo)滿足方程f(x，y)＝0的點(diǎn)不都在曲線C上”是正確的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”兩種情況，故A、C錯(cuò)，B顯然錯(cuò)．,方程與曲線的判斷,方法歸納(1)判斷方程表示什么曲線，必要時(shí)要對(duì)方程適當(dāng)變形，變形過(guò)程中一定要注意與原方程等價(jià)，否則變形后的方程表示的曲線就不是原方程的曲線．(2)判斷點(diǎn)是否在方程所表示的曲線上，只需將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，若方程成立，則點(diǎn)在曲線上；若方程不成立，則點(diǎn)不在曲線上．,C,求軌跡方程,設(shè)圓C：(x－1)2＋y2＝1，過(guò)原點(diǎn)O作圓的任意弦，求所作弦的中點(diǎn)的軌跡方程．,方法歸納求軌跡方程關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(已給的不需建系)，常見(jiàn)的建系方法有：①以已知定點(diǎn)為原點(diǎn)；②以已知定直線為坐標(biāo)軸(x軸或y軸)；③以已知線段所在的直線為坐標(biāo)軸(x軸或y軸)，以已知線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)；④以已知互相垂直的兩定直線為坐標(biāo)軸；⑤讓盡量多的已知點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．總之一句話：遵循垂直性和對(duì)稱性原則．,3.已知在直角三角形ABC中，角C為直角，點(diǎn)A(－1，0)，點(diǎn)B(1，0)，求滿足條件的點(diǎn)C的軌跡方程．,求曲線2y2＋3x＋3＝0與曲線x2＋y2－4x－5＝0的公共點(diǎn)．,兩曲線的交點(diǎn)問(wèn)題,方法歸納曲線與曲線的交點(diǎn)問(wèn)題需要解方程組．,4．已知直線l：y＝x＋b與曲線C：y＝有兩個(gè)公共點(diǎn)，求b的取值范圍．,(2014安陽(yáng)高二檢測(cè))已知點(diǎn)Q(2，0)和圓x2＋y2＝1，動(dòng)點(diǎn)M到圓O的切線長(zhǎng)等于圓O的半徑與|MQ|的和，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程．,[錯(cuò)因與防范](1)本例易對(duì)方程平方后，忽略去掉增解而致誤．(2)求曲線方程要注意兩個(gè)等價(jià)：一是所列方程與題目要求是否等價(jià)；二是對(duì)方程化簡(jiǎn)變形是否等價(jià)變形．,5．已知等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4，2)，底邊一個(gè)頂點(diǎn)是B(3，5)，求另一個(gè)頂點(diǎn)C的軌跡方程，并說(shuō)明它的軌跡是什么？,