2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.3 二項(xiàng)式定理 1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)課件 新人教A版選修2-3.ppt

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1.3.2“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),第一章1.3二項(xiàng)式定理,,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解楊輝三角，會(huì)用楊輝三角求二項(xiàng)式乘方次數(shù)不大時(shí)的各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).2.理解二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)并靈活運(yùn)用.,,,問(wèn)題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測(cè),,題型探究,內(nèi)容索引,問(wèn)題導(dǎo)學(xué),(a＋b)n的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n取正整數(shù)時(shí)可以表示成如下形式：,知識(shí)點(diǎn)“楊輝三角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),思考1從上面的表示形式可以直觀地看出什么規(guī)律？,思考2計(jì)算每一行的系數(shù)和，你又能看出什么規(guī)律？,答案在同一行中，每行兩端都是1，與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等；在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和.,答案2,4,8,16,32,64，…，其系數(shù)和為2n.,思考3二項(xiàng)式系數(shù)的最大值有何規(guī)律？,答案當(dāng)n＝2,4,6時(shí)，中間一項(xiàng)最大，當(dāng)n＝3,5時(shí)中間兩項(xiàng)最大.,梳理(1)楊輝三角的特點(diǎn)①在同一行中，每行兩端都是，與這兩個(gè)1等距離的項(xiàng)的系數(shù).②在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的，即.,1,相等,和,,(2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),等距離,二項(xiàng)式系數(shù),2n,偶數(shù),2n,2n－1,1.楊輝三角的每一斜行數(shù)字的差成一個(gè)等差數(shù)列.()2.二項(xiàng)式展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為()3.二項(xiàng)式展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)與二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)相同.(),,,,[思考辨析判斷正誤],題型探究,例1(1)楊輝三角如圖所示，楊輝三角中的第5行除去兩端數(shù)字1以外，均能被5整除，則具有類似性質(zhì)的行是A.第6行B.第7行C.第8行D.第9行,類型一與楊輝三角有關(guān)的問(wèn)題,答案,√,解析由題意，第6行為1,6,15,20,15,6,1，第7行為1,7,21,35,35,21,7,1，故第7行除去兩端數(shù)字1以外，均能被7整除.,解析,(2)如圖，在楊輝三角中，斜線AB上方箭頭所示的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形的數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10，…，記這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S(n)，則S(16)等于A.144B.146C.164D.461,√,解析,答案,反思與感悟解決與楊輝三角有關(guān)的問(wèn)題的一般思路,跟蹤訓(xùn)練1如圖所示，在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的楊輝三角中，第______行中從左至右的第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3.,答案,解析,34,解析由題意設(shè)第n行的第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比為2∶3，它等于二項(xiàng)展開(kāi)式的第14項(xiàng)和第15項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比，,所以在第34行中，從左至右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)的比是2∶3.,例2已知(2x－1)5＝a0 x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a5；,解令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.,類型二二項(xiàng)式系數(shù)和問(wèn)題,解答,(2)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|；,解令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5.,解答,所|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35＝243.,(3)a1＋a3＋a5.,解由a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35，得2(a1＋a3＋a5)＝1－35.,解答,引申探究在本例條件下，求下列各式的值：(1)a0＋a2＋a4；,解因?yàn)閍0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，－a0＋a1－a2＋…＋a5＝－35.,解答,(2)a1＋a2＋a3＋a4＋a5；,解因?yàn)閍0是(2x－1)5展開(kāi)式中x5的系數(shù)，所以a0＝25＝32.又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31.,解答,(3)5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4.,解因?yàn)?2x－1)5＝a0 x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.所以兩邊求導(dǎo)數(shù)得10(2x－1)4＝5a0 x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4.令x＝1得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10.,解答,反思與感悟二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)和的求法(1)對(duì)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對(duì)(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可.(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為f(1)，,跟蹤訓(xùn)練2在二項(xiàng)式(2x－3y)9的展開(kāi)式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)之和；,解設(shè)(2x－3y)9＝a0 x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.,解答,(2)各項(xiàng)系數(shù)之和；,解各項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.,解答,(3)所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和.,解令x＝1，y＝－1，可得a0－a1＋a2－…－a9＝59，又a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，,解答,例3已知f(x)＝(＋3x2)n展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和比各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和大992.(1)求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；,類型三二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,解答,解令x＝1，則二項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)的和為f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為2n.由題意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.由于n＝5為奇數(shù)，∴展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間的兩項(xiàng)，,,,,(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).,,解答,,假設(shè)Tk＋1項(xiàng)系數(shù)最大，,,,∵k∈N，∴k＝4，,,,反思與感悟(1)二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)的求法求二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對(duì)(a＋b)n中的n進(jìn)行討論.①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(2)展開(kāi)式中系數(shù)的最大項(xiàng)的求法求展開(kāi)式中系數(shù)的最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，需要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況進(jìn)行分析.如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開(kāi)式中系數(shù)的最大項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法.設(shè)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A0，A1，A2，…，An，且第k＋1項(xiàng)最大，應(yīng)用解出k，即得出系數(shù)的最大項(xiàng).,跟蹤訓(xùn)練3寫出(x－y)11的展開(kāi)式中：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；,解二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng)：,解答,(2)項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)；,解(x－y)11展開(kāi)式的通項(xiàng)為,解答,(3)項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng)；,解由(2)知中間兩項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值相等，又∵第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，第7項(xiàng)系數(shù)為正，,解答,(4)二項(xiàng)式系數(shù)的和；,解答,(5)各項(xiàng)系數(shù)的和.,達(dá)標(biāo)檢測(cè),A.8B.6C.4D.2,1.觀察圖中的數(shù)所成的規(guī)律，則a所表示的數(shù)是,解析由題圖知，下一行的數(shù)是其肩上兩數(shù)的和，所以4＋a＝10，得a＝6.,答案,解析,√,1,2,3,4,5,答案,解析,2.(1＋x)2n＋1的展開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)所在的項(xiàng)數(shù)是A.n，n＋1B.n－1，nC.n＋1，n＋2D.n＋2，n＋3,解析2n＋1為奇數(shù)，展開(kāi)式中中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，,√,1,2,3,4,5,即第n＋1項(xiàng)與第n＋2項(xiàng)，故選C.,答案,解析,解析令x＝1，各項(xiàng)系數(shù)和為4n，二項(xiàng)式系數(shù)和為2n，,1,2,3,4,5,√,答案,解析,4.設(shè)(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a1＋a2＋a3的值為_(kāi)_____.,解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.①,1,2,3,4,5,－15,∴當(dāng)k＝4時(shí)，x4的系數(shù)a4＝16.②由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15.,答案,解析,5.已知的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于37，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_______.,1,2,3,4,5,則第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，,1.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可從楊輝三角中直觀地看出.2.求展開(kāi)式中的系數(shù)或展開(kāi)式中的系數(shù)的和、差的關(guān)鍵是給字母賦值，賦值的選擇則需根據(jù)所求的展開(kāi)式系數(shù)和特征來(lái)確定.一般地對(duì)字母賦的值為0,1或－1，但在解決具體問(wèn)題時(shí)要靈活掌握.3.注意以下兩點(diǎn)：(1)區(qū)分開(kāi)二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù).(2)求解有關(guān)系數(shù)最大時(shí)的不等式組時(shí)，注意其中k∈{0,1,2，…，n}.,規(guī)律與方法,