定積分的應(yīng)用(體積,弧長(zhǎng),功)【章節(jié)優(yōu)講】

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1、元素法的步驟元素法的步驟:1）根根據(jù)據(jù)問(wèn)問(wèn)題題的的具具體體情情況況，選選取取一一個(gè)個(gè)變變量量例例如如x為為積積分分變變量量，并并確確定定它它的的變變化化區(qū)區(qū)間間,ba；2）設(shè)設(shè)想想把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，取取其其中中任任一一小小區(qū)區(qū)間間并并記記為為,dxxx，求求出出相相應(yīng)應(yīng)于于這這小小區(qū)區(qū)間間的的部部分分量量U 的的近近似似值值.如如果果U 能能近近似似地地表表示示為為,ba上上的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在x處處的的值值)(xf與與dx的的乘乘積積，就就把把dxxf)(稱稱為為量量U的的元元素素且且記記作作dU，即即dxxfdU)(；3）以以所所求求量量U的的元元素

2、素dxxf)(為為被被積積表表達(dá)達(dá)式式，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfU)(，即即為為所所求求量量U的的積積分分表表達(dá)達(dá)式式.,)(badxxfU1優(yōu)質(zhì)教學(xué)y+dyyoyx)(yx dc dcdyyA)(dcxdy曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積:badxxfA)(xyo)(xfy abxxx baydx曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積:平面圖形的面積平面圖形的面積2優(yōu)質(zhì)教學(xué) 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)一、旋轉(zhuǎn)體的體積一、旋轉(zhuǎn)

3、體的體積3優(yōu)質(zhì)教學(xué)一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)(xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)()(xfy badxy2 4優(yōu)質(zhì)教學(xué)y例例 1 1 連連接接坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)O及及點(diǎn)點(diǎn)),(rhP

4、的的直直線線、直直線線hx 及及x軸軸圍圍成成一一個(gè)個(gè)直直角角三三角角形形將將它它繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成一一個(gè)個(gè)底底半半徑徑為為r、高高為為h的的圓圓錐錐體體，計(jì)計(jì)算算圓圓錐錐體體的的體體積積r解解hPxhry 取取積積分分變變量量為為x，,0hx 在在,0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx，xo直線直線 方程為方程為OP5優(yōu)質(zhì)教學(xué)以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為dxxhrdV2 圓圓錐錐體體的的體體積積dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxoxhry 6優(yōu)質(zhì)教學(xué) 類類似似地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由

5、連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(yx 、直直線線cy 、dy 及及y軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為xyo)(yx cddyy2)(dcV dcdyx2 7優(yōu)質(zhì)教學(xué)解解，此拋物線的方程為此拋物線的方程為hyahx 22:dyayhVaa2222)1(例例2.,2 得得到到的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)（如如圖圖），求求由由此此邊邊的的正正拋拋物物線線弓弓形形繞繞其其底底高高為為底底長(zhǎng)長(zhǎng)為為ha21516ah oxyABCha2得：得：由公式：由公式：dyxVaa 2 yox)0(22ppxy 22pyx 或或8優(yōu)質(zhì)教學(xué)例例3.,1222

6、2積積軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體繞繞求求由由橢橢圓圓xbyax 解解)(22222xaaby 上半橢圓的方程為：上半橢圓的方程為：dxyVaa 2 由由公公式式知知：dxxaabaa)(2222 .342ab .34)(22222badyybbaVybb 體體積積為為軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的同同理理得得橢橢圓圓繞繞9優(yōu)質(zhì)教學(xué)解解，如圖，解方程組如圖，解方程組 xyxy2 101042dxxdxxV .152 例例4.2體體積積軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所成成的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的繞繞所所圍圍成成的的平平面面圖圖形形和和直直線線求求xxyxy ），），（），（，得曲線的交點(diǎn)為（得

7、曲線的交點(diǎn)為（1100oxyABC若繞若繞y軸旋轉(zhuǎn)呢？軸旋轉(zhuǎn)呢？10102dyyydyV xy 2xy 10優(yōu)質(zhì)教學(xué)xoab二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面積為已知的立體的體積xdxx 如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.)(xA表表示示過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的的已已知知連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù),)(dxxAdV .)(badxxAV立體體積立體體積11優(yōu)質(zhì)教學(xué)例例

8、 6 6 求求以以半半徑徑為為R的的圓圓為為底底、平平行行且且等等于于底底圓圓直直徑徑的的線線段段為為頂頂、高高為為h的的正正劈劈錐錐體體的的體體積積.解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x軸的截面為等腰三角形軸的截面為等腰三角形截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR 例例512優(yōu)質(zhì)教學(xué) 設(shè)設(shè)曲曲線線弧弧為為)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba上上有有一一階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xoyabxdxx 取取積積分分變變量量為為x，在在,ba上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間,dxxx，以對(duì)應(yīng)小切

9、線段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng)以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng) dy小小切切線線段段的的長(zhǎng)長(zhǎng)22)()(dydx dxy21 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素dxyds21 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).12dxysba 平面曲線弧長(zhǎng)的概念平面曲線弧長(zhǎng)的概念一、直角坐標(biāo)情形一、直角坐標(biāo)情形13優(yōu)質(zhì)教學(xué)例例 1 1 計(jì)計(jì)算算曲曲線線2332xy 上上相相應(yīng)應(yīng)于于x從從a到到b的的一一段段弧弧的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度.解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長(zhǎng)為所求弧長(zhǎng)為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab14優(yōu)質(zhì)教學(xué)),0()(2 求求懸懸鏈鏈線線aaxacheeayaxax )(21)(411)(122axaxax

10、axeeeey aaaxaxaadxeedxys)(21)(12弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)).()(10 eeadxeeaaxax例例2).(如圖如圖這一段的弧長(zhǎng)這一段的弧長(zhǎng)到到從從axax 解解oxy-aaa15優(yōu)質(zhì)教學(xué)曲線弧為曲線弧為,)()(tytx )(t其其中中)(),(tt 在在,上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22dttts 二、參數(shù)方程情形二、參數(shù)方程情形16優(yōu)質(zhì)教學(xué)例例 3 3 求求星星形形線線323232ayx )0(a的的全全長(zhǎng)長(zhǎng).解解 星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33sincos

11、)20(t根據(jù)對(duì)稱性根據(jù)對(duì)稱性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a a aoyx17優(yōu)質(zhì)教學(xué)曲線弧為曲線弧為)()(rr 其中其中)(在在,上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).sin)(cos)(ryrx)(22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22 drrs 三、極坐標(biāo)情形三、極坐標(biāo)情形18優(yōu)質(zhì)教學(xué)解解 drrs )()(22 02cos4da 02 daa2222sin)cos1(02a d)cos1(2 例例4).0()cos1(的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng)求心形線求心形線aar 02sin24a.8a 19優(yōu)質(zhì)教學(xué)01x解解 設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇?/p>

12、設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇?)(kxxf 第一次錘擊時(shí)所作的功為第一次錘擊時(shí)所作的功為 101)(dxxfw,2k 例例5 5 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖栌描F錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次力與鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相厘米，若每次錘擊所作的功相等，問(wèn)第等，問(wèn)第 二二 次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？hxx+dx設(shè)二次擊入的總深度為設(shè)二次擊入的總深度為 厘米厘米h20優(yōu)質(zhì)教學(xué)依題意知，每次錘擊所作的功相等依題意知，每次錘擊所作的功相等122ww 2222kkh ,2 h解得：解得：.12cm 第第 二二 次擊入的深度為次擊入的深度為.)(02 hdxxfw二次錘擊所作的總功為二次錘擊所作的總功為 hkxdx022kh 101)(dxxfw,2k 21優(yōu)質(zhì)教學(xué)xdxx xyo)(xfy dxxfVba2)(badxy2 xyo)(yx cddyy2)(dcV dcdyx2 xoyabxdxx dy.12dxysba xoab.)(badxxAV222)()()(dydxds 小結(jié)小結(jié)22優(yōu)質(zhì)教學(xué)作業(yè)：作業(yè)：P152.5.(1)(3)8.9.23優(yōu)質(zhì)教學(xué)