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應(yīng)用高等數(shù)學(xué)公式總匯(含答案)
應(yīng)用高等數(shù)學(xué)公式總匯(含答案)
一、函數(shù)的極限:
1、數(shù)列的極限:
2、四則混合運(yùn)算
若,,C為常數(shù)
(1) AB
(2) AB
(3)=
3、兩個重要極限:
(1)
(2)
變形:
4、無窮小量:
設(shè)
(1)若,f(x)是g(x)的 高階 無窮小
(2)若,f(x)是g(x)的 低階 無窮小
(3)若,f(x)是g(x)的 同階 無窮小
(4)若,f(x)是g(x)的 等價(jià) 無窮小
(5)若,f(x)是g(x)的 k階 無窮小
5、等價(jià)替換:
若x→x0,f(x)~ f1(x),g(x)~ g1(x)
則
6、常用等價(jià)形式:
當(dāng)f(x)→0時
(1)sinf(x)~ f(x)
(2)arc sinf(x)~ f(x)
(3)tanf(x)~ f(x)
(4)arc tanf(x)~ f(x)
(5)In(1+f(x))~ f(x)
(6)ef(x)-1~ f(x)
(7)1-cosf(x)~
(8)(1+f(x))α-1~ αf(x)
二、函數(shù)的連續(xù):
1、間斷點(diǎn):
(1)第一類間斷點(diǎn):f-(x0)、f+(x0)均 存在的 間斷點(diǎn)
⑴跳躍間斷點(diǎn): f-(x0)≠f+(x0)
⑵可去間斷點(diǎn): f-(x0)=f+(x0)
(2)第二類間斷點(diǎn):f-(x0)、f+(x0)至少有一個 不存在的 間斷點(diǎn)
⑴無窮間斷點(diǎn): f-(x0)、f+(x0)中至少有一個為 ∞
⑵振蕩間斷點(diǎn): f-(x0)、f+(x0)中至少有一個 振蕩不存在
三、導(dǎo)數(shù):
1、定義:=
2、導(dǎo)數(shù)的常見形式:
(1)
(2)
(3)
3、切線方程:
若曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0)),
則 y-y0=(x-x0)
注:
(1)如果=∞,則 x=x0
(2)如果=0,則 y=y0
4、法線方程:
若直線過點(diǎn)P(x0,f(x0)),
則 y-y0=(x-x0)
5、基本公式:
(1) 0
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
6、四則運(yùn)算:
都有導(dǎo)數(shù)
(1)
(2)
(3)
(4)
推論:
(1)
(2)
(3)
7、反函數(shù)求導(dǎo)法則:
設(shè)y=f(x)與x=(y)((y)≠0)
則 或=
8、n次導(dǎo)的常見公式:
(1)=
(2)
(3)=
9、參數(shù)方程求導(dǎo):
設(shè)函數(shù)都可導(dǎo),其中x=≠0,則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
10、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo):
若y=f(u),u=(x),且f(u)及(x)都可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[(x)]的導(dǎo)數(shù)
11、隱函數(shù)求導(dǎo):
(1)方程F(x,y)=0兩邊求導(dǎo),解出
(2)公式法:由F(x,y)=0,則
(3)利用微分形式的不變性,方程兩邊求微分,然后解出
注:y是x的函數(shù)
12、對數(shù)求導(dǎo):
將函數(shù)關(guān)系式兩邊取自然對數(shù)(成為隱函數(shù)形式),化簡,然后兩邊兩邊求導(dǎo),最后兩邊乘以y(x)
注:適用于多個因式的乘、除、乘冪構(gòu)成或冪指函數(shù)(y=u(x)v(x))
13、高階導(dǎo)數(shù):
(1)二階導(dǎo)數(shù):
(2)三階導(dǎo)數(shù):
(4)n階導(dǎo)數(shù):
14、中值定理:
(1)拉格朗日定理:若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得
推論1:如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都等于零,你們函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)是一個常數(shù)
推論2:如果函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與都相等,則這兩個函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至多相差一個常數(shù),即:f(x)= g(x)+C,x(a,b)
(2)羅爾定理:若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且f(a)=f(b),則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得 0
(3)柯西定理:若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且,則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ,使得=
15、洛必達(dá)法則:
(1)型:
設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足:
⑴ 0
⑵在點(diǎn)x0的某去心鄰域內(nèi) 都存在 ,且 0
⑶ 存在或?yàn)闊o窮
有:=
(2)型:
設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿足:
⑴
⑵在點(diǎn)x0=的某去心鄰域內(nèi) 都存在 ,且 0
⑶ 存在或?yàn)闊o窮
有:=
(3)其他未定型:
⑴0∞型:f(x)g(x)轉(zhuǎn)化成 ,一般將In、arc留在分子上
⑵∞-∞型:通過通分、分子有理化、倒數(shù)代換或代數(shù)、三角恒等變形化為型或型
⑶型:f(x)g(x)= eg(x)Inf(x) =
16、函數(shù)單調(diào)性判定:
設(shè)函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)
(1)如果函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi),,則函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞 增 ;
(2)如果函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi),,則函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞 減 ;
17、函數(shù)的極值:
(1)如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0及其左右近旁有定義,且對于x0近旁的任何一點(diǎn)x(x≠x0)的函數(shù)值f(x)均有:
⑴f(x)
f(x0),則f(x0)稱為函數(shù)y=f(x)的 極小值 ,點(diǎn)x0稱為函數(shù)y=f(x)的 極小值點(diǎn)
(2)駐點(diǎn): 0 的點(diǎn)
(3)極值第一充分條件:
設(shè)點(diǎn)x0是f(x)可能的極值點(diǎn)(或不存在)
⑴當(dāng);,則x0為極大值點(diǎn)
⑵當(dāng);,則x0為極小值點(diǎn)
⑶當(dāng), 同號 ,則x0不是極值點(diǎn)
(4)極值的第二充分條件:
設(shè)y=f(x)在點(diǎn)x0處有一、二階導(dǎo)數(shù),且= 0
⑴如果 > 0,則函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處取得最小值f(x0)
⑵如果 < 0,則函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處取得最大值f(x0)
18、曲線凹凸性:
(1)若對于x(a,b)時,,則曲線在(a,b)上為 凹 ,用符號“ ” 表示
(2)若對于x(a,b)時,,則曲線在(a,b)上為 凸 ,用符號“ ” 表示
6、曲線拐點(diǎn):
設(shè)f(x)在x0的某個鄰域內(nèi)二階可導(dǎo),且 0 ,若x0兩側(cè) 改變 符號,則 (x0,f(x0)) 為曲線的拐點(diǎn)
19、曲線的漸近線:
(1)水平漸近線:如果函數(shù)y=f(x)的定義域是無窮區(qū)間,且,則y= b
(2)垂直漸近線:如果函數(shù)y=f(x)在x=x0處間斷,且,則x=
x0
(3)斜漸近線:如果函數(shù)y=f(x)定義在無窮區(qū)間,且,,則y= ax+b
20、經(jīng)濟(jì)學(xué)與導(dǎo)數(shù):
(1)利潤:L(Q)= R(Q)-C(Q)
(2)邊際利潤:
(3)函數(shù)彈性:
(4)需求彈性(供給函數(shù)):
注:
⑴當(dāng)|η| < 1時,為低彈性,此時需求變動幅度 小于 價(jià)格變動幅度。且 > 0,收益R(p)單調(diào) 遞增 ,即價(jià)格隨總收益的增加而增加
⑵當(dāng)|η| > 1時,為高彈性,此時需求變動幅度 大于 價(jià)格變動幅度。且 < 0,收益R(p)單調(diào) 遞減 ,即價(jià)格隨總收益的增加而減少
①當(dāng)|η| = 1時,為單位彈性,此時需求變動幅度 等于 價(jià)格變動幅度。且 = 0,收益R(p)取得 最大值
四、微分:
1、定義:dy=
2、基本公式:
(1)d(c)= 0
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
3、四則混合
都有微分
(1)
(2)
(3)
(4)
5、應(yīng)用:
(1)計(jì)算函數(shù)改變量的近似值:△y≈dy=
(2)計(jì)算函數(shù)值的近似值:f(x0+△x)≈ f(x0)+
(3)當(dāng)x0=0時,|x|很小時,有f(x)≈ f(0)+
注:|△x|相對于x0很?。ㄔ叫≡胶茫?
推論:
⑴
⑵ex≈ 1+x
⑶In(1+x)≈ x
⑷sinx≈ x (x用弧度制表示)
⑸tanx≈ x (x用弧度制表示)
五、不定積分:
1、定義:
2、基本公式:
(1)
(2) (k為常數(shù))
(3)
(4)
(5) (a>0且a≠1)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19) (a>0)
(20) (a≠0)
(21) (a≠0)
(22) (a>0)
3、性質(zhì):
(1)
(2)
(3)
(4)
(5) (k≠0)
(6)
4、換元積分法:
(1)第一類換元積分法(湊微分法):= F[(x)]+C
(2)常見形式:
⑴ (a≠0)
⑵ (a≠0)
⑶ (a≠0)
⑷
⑸
⑹
⑺
⑻
⑼
⑽
⑾
⑿
(3)第二類換元積分法:
(4)無理代換(根式代換):
⑴當(dāng)被積函數(shù)中含時,令x= tn (t>0)
⑵當(dāng)被積函數(shù)中含和時,令x=tp(t>0),p是m和n的 最小公倍數(shù)
⑶當(dāng)被積函數(shù)中含(a、b為常數(shù)且a≠0)時,令ax+b= tn (t>0)
(5)三角代換:
⑴若被不定積分f(x)含時,令x= |a|sint
⑵若被不定積分f(x)含時,令x= |a|sect
⑶若被不定積分f(x)含時,令x= |a|tant
注:并且需要回代
⑴ ⑵ ⑶
(6)分部積分法: 或
六、基本積分表:
1、含有a+bx的積分:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
2、含有的積分:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
3、含有的積分:
(1)
(2)
(3) (|x|a)
4、含有abx2的積分:
(1)
(2) (a>0,b>0)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
5、含有的積分:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
6、含有的積分:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
7、含有的積分:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
8、含有的積分:
(1)
(2)
9、含有的積分:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
10、含有的積分:
(1)
(2)
(3)
(4)
11、含有三角函數(shù)的積分:一部分見上
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
=
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
12、含有反三角函數(shù)的積分:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
13、含有指數(shù)函數(shù)的積分:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
14、含有對數(shù)函數(shù)的積分:
(1)
(2)
(3)
(4)
七、定積分:
1、定義:
2、上下限交換:
3、上下限相等(即a=b):= 0
4、性質(zhì):
設(shè)f(x)、g(x)在[a,b]上可積,
(1) k (k為常數(shù))
注:
① b-a
② k(b-a)
(2)
(3)積分區(qū)間的可加性: +
(4)傳遞性: (在[a,b]上f(x)≤g(x))
注:
①當(dāng)f(x)≥0時,則≥ 0
②當(dāng)|f(x)|可積時,≤
(5)估值性:n(b-a) ≤≤ m(b-a) (m和n分別是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值)
(6)中值性:= f(ξ)(b-a) (a≤ξ≤b)
(7)均值性:=
5、計(jì)算方法:
1、微積分基本定理(牛頓-萊布尼茲公式):= = F(b)-F(a) (F(x)是f(x)的原函數(shù))
2、換元積分法:= (,)
3、分部積分法: = - 或= -
4、函數(shù)的奇偶性簡化:
(1)奇:= 0
(2)偶:= 2
6、應(yīng)用:
(1)面積:
⑴上下曲,左右直: (a
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