線性空間與子空間

.第一講 線性空間一、 線性空間的定義及性質(zhì)知識(shí)預(yù)備集合：籠統(tǒng)的說(shuō)是指一些事物（或者對(duì)象）組成 的整體集合的表示：枚舉、表達(dá)式集合的運(yùn)算：并（），交（）另外，集合的“和”（）：并不是嚴(yán)格意義上集合的運(yùn)算，因?yàn)樗薅思现性仨氂锌杉有?。?shù)域：一種數(shù)集，對(duì)四則運(yùn)算封閉（除數(shù)不為零）。比如有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域（R）和復(fù)數(shù)域（C）。實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域是工程上較常用的兩個(gè)數(shù)域。線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是學(xué)習(xí)現(xiàn)代矩陣論的重要基礎(chǔ)。線性空間的概念是某類(lèi)事物從量的方面的一個(gè)抽象。1 線性空間的定義：設(shè)是一個(gè)非空集合，其元素用等表示；是一個(gè)數(shù)域，其元素用等表示。如果滿足如下8條性質(zhì)，分兩類(lèi)（I）在中定義一個(gè)“加法”運(yùn)算，即當(dāng)時(shí)，有唯一的和（封閉性），且加法運(yùn)算滿足下列性質(zhì)（1）結(jié)合律 ； （2）交換律 ；（3）零元律 存在零元素o，使o；（4）負(fù)元律 對(duì)于任一元素，存在一元素，使o，且稱(chēng)為的負(fù)元素，記為（）。則有 o。（II）在中定義一個(gè)“數(shù)乘”運(yùn)算，即當(dāng)，時(shí)，有唯一的（封閉性），且數(shù)乘運(yùn)算滿足下列性質(zhì)（5）數(shù)因子分配律 ； （6）分配律 ； （7）結(jié)合律 ； （8）恒等律 ； 數(shù)域中一定有1則稱(chēng)為數(shù)域上的線性空間。注意：1）線性空間不能離開(kāi)某一數(shù)域來(lái)定義，因?yàn)橥粋€(gè)集合，如果數(shù)域不同，該集合構(gòu)成的線性空間也不同。（2）兩種運(yùn)算、八條性質(zhì)數(shù)域中的運(yùn)算是具體的四則運(yùn)算，而中所定義的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算則可以十分抽象。（3）除了兩種運(yùn)算和八條性質(zhì)外，還應(yīng)注意唯一性、封閉性。唯一性一般較顯然，封閉性還需要證明，出現(xiàn)不封閉的情況：集合小、運(yùn)算本身就不滿足。當(dāng)數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域時(shí)，就稱(chēng)為實(shí)線性空間；為復(fù)數(shù)域，就稱(chēng)為復(fù)線性空間。例1 設(shè)全體正實(shí)數(shù)，其“加法”及“數(shù)乘”運(yùn)算定義為 xy=xy , 證明：是實(shí)數(shù)域R上的線性空間。證明 首先需要證明兩種運(yùn)算的唯一性和封閉性 唯一性和封閉性唯一性顯然 若x>0,y>0, ，則有 xy=xy 封閉性得證。八條性質(zhì)（1）x（yz）=x(yz)=(xy)z=(xy)z（2） xy=xyyx= yx（3） 1是零元素 x1 xo=x>xo=x>o=1（4） 是x的負(fù)元素 x x+y=o （5） （xy）xy 數(shù)因子分配律（6） （x）（x） 分配律（7） 結(jié)合律（8） 恒等律由此可證，是實(shí)數(shù)域R上的線性空間。2 定理：線性空間具有如下性質(zhì)（1） 零元素是唯一的，任一元素的負(fù)元素也是唯一的。（2） 如下恒等式成立： o， 。 證明（1）采用反證法： 零元素是唯一的。 設(shè)存在兩個(gè)零元素o1和o2，則由于o1和o2 均為零元素， 按零元律有 交換律 o1o2o1 o2o1o2所以 o1o2 即 o1和o2 相同，與假設(shè)相矛盾，故只有一個(gè)零元素。 任一元素的負(fù)元素也是唯一的。假設(shè)，存在兩個(gè)負(fù)元素和，則根據(jù)負(fù)元律有 o 零元律 結(jié)合律 零元律 即和相同，故負(fù)元素唯一。 （2） ：設(shè)w=0x，則 x+w=1x+0x=(1+0)x=x，故 w=o。 恒等律 ：設(shè)w=(1)x，則x+w=1x+(1)x=1+(1)x=0x=o，故w=x。3 線性相關(guān)性 線性空間中相關(guān)性概念與線性代數(shù)中向量組線性相關(guān)性概念類(lèi)似。線性組合： 稱(chēng)為元素組的一個(gè)線性組合。線性表示：中某個(gè)元素x可表示為其中某個(gè)元素組的線性組合，則稱(chēng)x可由該元素組線性表示。線性相關(guān)性：如果存在一組不全為零的數(shù)，使得對(duì)于元素有 則稱(chēng)元素組線性相關(guān)，否則稱(chēng)其線性無(wú)關(guān)。線性相關(guān)性概念是個(gè)非常重要的概念，有了線性相關(guān)性才有下面的線性空間的維數(shù)、基和坐標(biāo)。4 線性空間的維數(shù)定義：線性空間中最大線性無(wú)關(guān)元素組所含元素個(gè)數(shù)稱(chēng)為的維數(shù)，記為。本課程只考慮有限維情況，對(duì)于無(wú)限維情況不涉及 。例2. 全體mn階實(shí)矩陣的集合構(gòu)成一個(gè)實(shí)線性空間（對(duì)于矩陣加法和數(shù)對(duì)矩陣的數(shù)乘運(yùn)算），求其維數(shù)。解 一個(gè)直接的方法就是找一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，其元素盡可能簡(jiǎn)單。令Eij為這樣的一個(gè)mn階矩陣，其（i, j）元素為1，其余元素為零。顯然，這樣的矩陣共有mn個(gè)，構(gòu)成一個(gè)具有mn個(gè)元素的線性無(wú)關(guān)元素組。另一方面，還需說(shuō)明元素個(gè)數(shù)最大。對(duì)于任意的，都可由以上元素組線性表示， > 即構(gòu)成了最大線性無(wú)關(guān)元素組，所以該空間的維數(shù)為mn。二、 線性空間的基與坐標(biāo)1 基的定義：設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間，是屬于V的r個(gè)任意元素，如果它滿足（1）線性無(wú)關(guān)；（2）V中任一向量x均可由線性表示。則稱(chēng)為V的一個(gè)基，并稱(chēng)為該基的基元素。基正是V中最大線性無(wú)關(guān)元素組；V的維數(shù)正是基中所含元素的個(gè)數(shù)?；遣晃ㄒ坏?，但不同的基所含元素個(gè)數(shù)相等。例3 考慮全體復(fù)數(shù)所形成的集合C。如果KC（復(fù)數(shù)域），則該集合對(duì)復(fù)數(shù)加法和復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間，其基可取為1，空間維數(shù)為1；如果取KR（實(shí)數(shù)域），則該集合對(duì)復(fù)數(shù)加法及實(shí)數(shù)對(duì)復(fù)數(shù)的數(shù)乘構(gòu)成線性空間，其基可取為1,i，空間維數(shù)為2。數(shù)域K兩種運(yùn)算基一般元素空間類(lèi)型維數(shù)復(fù)數(shù)域C（1）復(fù)數(shù)加法；（2）復(fù)數(shù)對(duì)復(fù)數(shù)的數(shù)乘1復(fù)線性空間1實(shí)數(shù)域R（1）復(fù)數(shù)加法；（2）實(shí)數(shù)對(duì)復(fù)數(shù)的數(shù)乘1,i實(shí)線性空間22 坐標(biāo)的定義：稱(chēng)線性空間的一個(gè)基為的一個(gè)坐標(biāo)系，它在該基下的線性表示為： 則稱(chēng)為x在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)或分量，記為 討論：（1）一般來(lái)說(shuō)，線性空間及其元素是抽象的對(duì)象，不同空間的元素完全可以具有千差萬(wàn)別的類(lèi)別及性質(zhì)。但坐標(biāo)表示卻把它們統(tǒng)一了起來(lái)，坐標(biāo)表示把這種差別留給了基和基元素，由坐標(biāo)所組成的新向量?jī)H由數(shù)域中的數(shù)表示出來(lái)。（2）更進(jìn)一步，原本抽象的“加法”及 “數(shù)乘”經(jīng)過(guò)坐標(biāo)表示就演化為向量加法及數(shù)對(duì)向量的數(shù)乘。 正對(duì)應(yīng) 正對(duì)應(yīng) （3）顯然，同一元素在不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是不同的。后面我們還要研究這一變換關(guān)系。三、 基變換與坐標(biāo)變換基是不唯一的，因此，需要研究基改變時(shí)坐標(biāo)變換的規(guī)律。設(shè)是的舊基，是的新基，由于兩者都是基，所以可以相互線性表示 ()即 其中C稱(chēng)為過(guò)渡矩陣，上式就給出了基變換關(guān)系，可以證明，C是可逆的。設(shè)，它在舊基下的線性表示為 它在新基下的線性表示為 則 由于基元素的線性無(wú)關(guān)性，得到坐標(biāo)變換關(guān)系 補(bǔ)充：證明對(duì)于線性空間的零元素o，均有koo。線性子空間一、線性子空間的定義及其性質(zhì)1. 定義：設(shè)V1是數(shù)域K上的線性空間V的一個(gè)非空子集合，且對(duì)V已有的線性運(yùn)算滿足以下條件（1） 如果x、yV1，則xyV1；（2） 如果xV1，kK，則kxV1，則稱(chēng)V1是V的一個(gè)線性子空間或子空間。 2. 性質(zhì)：（1）線性子空間V1與線性空間V享有共同的零元素； （2）V1中元素的負(fù)元素仍在V1中。證明（1）0V中的零元素也在V1中，V1與V享有共同的零元素。（2）（1）x=(x) 封閉性 V1中元素的負(fù)元素仍在V1中3. 分類(lèi)：子空間可分為平凡子空間和非平凡子空間平凡子空間：0和V本身非平凡子空間：除以上兩類(lèi)子空間4. 生成子空間：設(shè)x1、x2、xm為V中的元素，它們的所有線性組合的集合 也是V的線性子空間，稱(chēng)為由x1、x2、xm生（張）成的子空間，記為L(zhǎng)(x1、x2、xm)或者Span(x1、x2、xm)。若x1、x2、xm線性無(wú)關(guān)，則dimL(x1、x2、xm)=m5. 基擴(kuò)定理：設(shè)V1是數(shù)域K上的線性空間Vn的一個(gè)m維子空間，x1、x2、xm是V1的一個(gè)基，則這m個(gè)基向量必可擴(kuò)充為Vn的一個(gè)基；換言之，在Vn中必可找到n-m個(gè)元素xm+1、xm+2、xn，使得x1、x2、xn成為Vn的一個(gè)基。這n-m個(gè)元素必不在V1中。二、子空間的交與和1.定義：設(shè)V1、V2是線性空間V的兩個(gè)子空間，則 分別稱(chēng)為V1和V2的交與和。2.定理：若V1和V2是線性空間V的兩個(gè)子空間，則，V1V2均為V的子空間證明（1） 是V的一個(gè)線性子空間。（2） 是V的子空間。4. 維數(shù)公式：若V1、V2是線性空間V的子空間，則有dim(V1+V2)+ dim()= dimV1+ dimV2證明 設(shè)dimV1=n1, dimV2=n2, dim()=m需要證明dim(V1+V2)n1n2m設(shè)x1、x2、xm是的一個(gè)基，根據(jù)基擴(kuò)定理 存在1）y1、y2、yn1mV1，使x1、x2、xm、y1、y2、yn1m成為V1的一個(gè)基； 2）z1、z2、zn2mV2，使x1、x2、xm、z1、z2、zn2m成為V2的一個(gè)基； 考察x1、x2、xm、y1、y2、yn1m、z1、z2、zn2m，若能證明它為V1+V2的一個(gè)基，則有dim(V1+V2)n1n2m。 成為基的兩個(gè)條件：1） 它可以線性表示V1+V2中的任意元素2） 線性無(wú)關(guān)顯然條件1）是滿足的，現(xiàn)在證明條件2），采用反證法。假定上述元素組線性相關(guān)，則存在一組不全為0的數(shù)k1、k2、km、p1、p2、pn1m、q1、q2、qn2m使令，則 但根據(jù)基擴(kuò)定理 ， x1、x2、xm、y1、y2、yn1m成為V1的一個(gè)基 同理： 這與假設(shè)矛盾，所以上述元素線性無(wú)關(guān)，可作為V1+V2的一個(gè)基。dim(V1+V2)n1n2m三、子空間的直和1. 定義：設(shè)V1、V2是線性空間V的子空間，若其和空間V1+V2中的任一元素只能唯一的表示為V1的一個(gè)元素與V2的一個(gè)元素之和，即，存在唯一的、，使，則稱(chēng)為V1與V2的直和，記為子空間的直和并不是一種特殊的和，仍然是，反映的是兩個(gè)子空間的關(guān)系特殊。2. 定理：如下四種表述等價(jià) （1）成為直和 （2） （3）dim(V1+V2)=dimV1+ dimV2 （4）x1、x2、xs為V1的基，y1、y2、yt為V2的基，則x1、x2、xs、y1、y2、yt為的基證明（2）和（3）的等價(jià)性顯然采用循環(huán)證法：（1）（2）（4）（1）（1）（2）：已知 假定且，則，說(shuō)明對(duì)0元素存在兩種分解，這與直和的定義矛盾，所以假定不成立，在中只能存在0元素，即（2）（4）：已知成為基的兩個(gè)條件：1） 可以線性表示V1+V2中的任意元素2）線性無(wú)關(guān)、，存在如下坐標(biāo)表示式 可表示V1+V2中的任一元素，x1、x2、xs、y1、y2、yt可表示V1+V2中的任意元素。假設(shè)x1、x2、xs、y1、y2、yt線性相關(guān)，即存在不全為0的 使0 而 y 0同理這與其線性相關(guān)性矛盾，x1、x2、xs、y1、y2、yt線性無(wú)關(guān) x1、x2、xs、y1、y2、yt可作為的基（4）（1）：已知（4）成立 在x1、x2、xs、y1、y2、yt這組基下存在唯一的坐標(biāo)使 x 成為直和作業(yè)：P2526 7，9，12.