線性空間與子空間
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.第一講 線性空間一、 線性空間的定義及性質(zhì)知識預(yù)備集合:籠統(tǒng)的說是指一些事物(或者對象)組成 的整體集合的表示:枚舉、表達(dá)式集合的運(yùn)算:并(),交()另外,集合的“和”():并不是嚴(yán)格意義上集合的運(yùn)算,因?yàn)樗薅思现性仨氂锌杉有?。?shù)域:一種數(shù)集,對四則運(yùn)算封閉(除數(shù)不為零)。比如有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域(R)和復(fù)數(shù)域(C)。實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域是工程上較常用的兩個數(shù)域。線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一,也是學(xué)習(xí)現(xiàn)代矩陣論的重要基礎(chǔ)。線性空間的概念是某類事物從量的方面的一個抽象。1 線性空間的定義:設(shè)是一個非空集合,其元素用等表示;是一個數(shù)域,其元素用等表示。如果滿足如下8條性質(zhì),分兩類(I)在中定義一個“加法”運(yùn)算,即當(dāng)時,有唯一的和(封閉性),且加法運(yùn)算滿足下列性質(zhì)(1)結(jié)合律 ; (2)交換律 ;(3)零元律 存在零元素o,使o;(4)負(fù)元律 對于任一元素,存在一元素,使o,且稱為的負(fù)元素,記為()。則有 o。(II)在中定義一個“數(shù)乘”運(yùn)算,即當(dāng),時,有唯一的(封閉性),且數(shù)乘運(yùn)算滿足下列性質(zhì)(5)數(shù)因子分配律 ; (6)分配律 ; (7)結(jié)合律 ; (8)恒等律 ; 數(shù)域中一定有1則稱為數(shù)域上的線性空間。注意:1)線性空間不能離開某一數(shù)域來定義,因?yàn)橥粋€集合,如果數(shù)域不同,該集合構(gòu)成的線性空間也不同。(2)兩種運(yùn)算、八條性質(zhì)數(shù)域中的運(yùn)算是具體的四則運(yùn)算,而中所定義的加法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算則可以十分抽象。(3)除了兩種運(yùn)算和八條性質(zhì)外,還應(yīng)注意唯一性、封閉性。唯一性一般較顯然,封閉性還需要證明,出現(xiàn)不封閉的情況:集合小、運(yùn)算本身就不滿足。當(dāng)數(shù)域?yàn)閷?shí)數(shù)域時,就稱為實(shí)線性空間;為復(fù)數(shù)域,就稱為復(fù)線性空間。例1 設(shè)全體正實(shí)數(shù),其“加法”及“數(shù)乘”運(yùn)算定義為 xy=xy , 證明:是實(shí)數(shù)域R上的線性空間。證明 首先需要證明兩種運(yùn)算的唯一性和封閉性 唯一性和封閉性唯一性顯然 若x0,y0, ,則有 xy=xy 封閉性得證。八條性質(zhì)(1)x(yz)=x(yz)=(xy)z=(xy)z(2) xy=xyyx= yx(3) 1是零元素 x1 xo=xxo=xo=1(4) 是x的負(fù)元素 x x+y=o (5) (xy)xy 數(shù)因子分配律(6) (x)(x) 分配律(7) 結(jié)合律(8) 恒等律由此可證,是實(shí)數(shù)域R上的線性空間。2 定理:線性空間具有如下性質(zhì)(1) 零元素是唯一的,任一元素的負(fù)元素也是唯一的。(2) 如下恒等式成立: o, 。 證明(1)采用反證法: 零元素是唯一的。 設(shè)存在兩個零元素o1和o2,則由于o1和o2 均為零元素, 按零元律有 交換律 o1o2o1 o2o1o2所以 o1o2 即 o1和o2 相同,與假設(shè)相矛盾,故只有一個零元素。 任一元素的負(fù)元素也是唯一的。假設(shè),存在兩個負(fù)元素和,則根據(jù)負(fù)元律有 o 零元律 結(jié)合律 零元律 即和相同,故負(fù)元素唯一。 (2) :設(shè)w=0x,則 x+w=1x+0x=(1+0)x=x,故 w=o。 恒等律 :設(shè)w=(1)x,則x+w=1x+(1)x=1+(1)x=0x=o,故w=x。3 線性相關(guān)性 線性空間中相關(guān)性概念與線性代數(shù)中向量組線性相關(guān)性概念類似。線性組合: 稱為元素組的一個線性組合。線性表示:中某個元素x可表示為其中某個元素組的線性組合,則稱x可由該元素組線性表示。線性相關(guān)性:如果存在一組不全為零的數(shù),使得對于元素有 則稱元素組線性相關(guān),否則稱其線性無關(guān)。線性相關(guān)性概念是個非常重要的概念,有了線性相關(guān)性才有下面的線性空間的維數(shù)、基和坐標(biāo)。4 線性空間的維數(shù)定義:線性空間中最大線性無關(guān)元素組所含元素個數(shù)稱為的維數(shù),記為。本課程只考慮有限維情況,對于無限維情況不涉及 。例2. 全體mn階實(shí)矩陣的集合構(gòu)成一個實(shí)線性空間(對于矩陣加法和數(shù)對矩陣的數(shù)乘運(yùn)算),求其維數(shù)。解 一個直接的方法就是找一個最大線性無關(guān)組,其元素盡可能簡單。令Eij為這樣的一個mn階矩陣,其(i, j)元素為1,其余元素為零。顯然,這樣的矩陣共有mn個,構(gòu)成一個具有mn個元素的線性無關(guān)元素組。另一方面,還需說明元素個數(shù)最大。對于任意的,都可由以上元素組線性表示, 即構(gòu)成了最大線性無關(guān)元素組,所以該空間的維數(shù)為mn。二、 線性空間的基與坐標(biāo)1 基的定義:設(shè)V是數(shù)域K上的線性空間,是屬于V的r個任意元素,如果它滿足(1)線性無關(guān);(2)V中任一向量x均可由線性表示。則稱為V的一個基,并稱為該基的基元素?;荲中最大線性無關(guān)元素組;V的維數(shù)正是基中所含元素的個數(shù)?;遣晃ㄒ坏?,但不同的基所含元素個數(shù)相等。例3 考慮全體復(fù)數(shù)所形成的集合C。如果KC(復(fù)數(shù)域),則該集合對復(fù)數(shù)加法和復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的乘法構(gòu)成線性空間,其基可取為1,空間維數(shù)為1;如果取KR(實(shí)數(shù)域),則該集合對復(fù)數(shù)加法及實(shí)數(shù)對復(fù)數(shù)的數(shù)乘構(gòu)成線性空間,其基可取為1,i,空間維數(shù)為2。數(shù)域K兩種運(yùn)算基一般元素空間類型維數(shù)復(fù)數(shù)域C(1)復(fù)數(shù)加法;(2)復(fù)數(shù)對復(fù)數(shù)的數(shù)乘1復(fù)線性空間1實(shí)數(shù)域R(1)復(fù)數(shù)加法;(2)實(shí)數(shù)對復(fù)數(shù)的數(shù)乘1,i實(shí)線性空間22 坐標(biāo)的定義:稱線性空間的一個基為的一個坐標(biāo)系,它在該基下的線性表示為: 則稱為x在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)或分量,記為 討論:(1)一般來說,線性空間及其元素是抽象的對象,不同空間的元素完全可以具有千差萬別的類別及性質(zhì)。但坐標(biāo)表示卻把它們統(tǒng)一了起來,坐標(biāo)表示把這種差別留給了基和基元素,由坐標(biāo)所組成的新向量僅由數(shù)域中的數(shù)表示出來。(2)更進(jìn)一步,原本抽象的“加法”及 “數(shù)乘”經(jīng)過坐標(biāo)表示就演化為向量加法及數(shù)對向量的數(shù)乘。 正對應(yīng) 正對應(yīng) (3)顯然,同一元素在不同坐標(biāo)系中的坐標(biāo)是不同的。后面我們還要研究這一變換關(guān)系。三、 基變換與坐標(biāo)變換基是不唯一的,因此,需要研究基改變時坐標(biāo)變換的規(guī)律。設(shè)是的舊基,是的新基,由于兩者都是基,所以可以相互線性表示 ()即 其中C稱為過渡矩陣,上式就給出了基變換關(guān)系,可以證明,C是可逆的。設(shè),它在舊基下的線性表示為 它在新基下的線性表示為 則 由于基元素的線性無關(guān)性,得到坐標(biāo)變換關(guān)系 補(bǔ)充:證明對于線性空間的零元素o,均有koo。線性子空間一、線性子空間的定義及其性質(zhì)1. 定義:設(shè)V1是數(shù)域K上的線性空間V的一個非空子集合,且對V已有的線性運(yùn)算滿足以下條件(1) 如果x、yV1,則xyV1;(2) 如果xV1,kK,則kxV1,則稱V1是V的一個線性子空間或子空間。 2. 性質(zhì):(1)線性子空間V1與線性空間V享有共同的零元素; (2)V1中元素的負(fù)元素仍在V1中。證明(1)0V中的零元素也在V1中,V1與V享有共同的零元素。(2)(1)x=(x) 封閉性 V1中元素的負(fù)元素仍在V1中3. 分類:子空間可分為平凡子空間和非平凡子空間平凡子空間:0和V本身非平凡子空間:除以上兩類子空間4. 生成子空間:設(shè)x1、x2、xm為V中的元素,它們的所有線性組合的集合 也是V的線性子空間,稱為由x1、x2、xm生(張)成的子空間,記為L(x1、x2、xm)或者Span(x1、x2、xm)。若x1、x2、xm線性無關(guān),則dimL(x1、x2、xm)=m5. 基擴(kuò)定理:設(shè)V1是數(shù)域K上的線性空間Vn的一個m維子空間,x1、x2、xm是V1的一個基,則這m個基向量必可擴(kuò)充為Vn的一個基;換言之,在Vn中必可找到n-m個元素xm+1、xm+2、xn,使得x1、x2、xn成為Vn的一個基。這n-m個元素必不在V1中。二、子空間的交與和1.定義:設(shè)V1、V2是線性空間V的兩個子空間,則 分別稱為V1和V2的交與和。2.定理:若V1和V2是線性空間V的兩個子空間,則,V1V2均為V的子空間證明(1) 是V的一個線性子空間。(2) 是V的子空間。4. 維數(shù)公式:若V1、V2是線性空間V的子空間,則有dim(V1+V2)+ dim()= dimV1+ dimV2證明 設(shè)dimV1=n1, dimV2=n2, dim()=m需要證明dim(V1+V2)n1n2m設(shè)x1、x2、xm是的一個基,根據(jù)基擴(kuò)定理 存在1)y1、y2、yn1mV1,使x1、x2、xm、y1、y2、yn1m成為V1的一個基; 2)z1、z2、zn2mV2,使x1、x2、xm、z1、z2、zn2m成為V2的一個基; 考察x1、x2、xm、y1、y2、yn1m、z1、z2、zn2m,若能證明它為V1+V2的一個基,則有dim(V1+V2)n1n2m。 成為基的兩個條件:1) 它可以線性表示V1+V2中的任意元素2) 線性無關(guān)顯然條件1)是滿足的,現(xiàn)在證明條件2),采用反證法。假定上述元素組線性相關(guān),則存在一組不全為0的數(shù)k1、k2、km、p1、p2、pn1m、q1、q2、qn2m使令,則 但根據(jù)基擴(kuò)定理 , x1、x2、xm、y1、y2、yn1m成為V1的一個基 同理: 這與假設(shè)矛盾,所以上述元素線性無關(guān),可作為V1+V2的一個基。dim(V1+V2)n1n2m三、子空間的直和1. 定義:設(shè)V1、V2是線性空間V的子空間,若其和空間V1+V2中的任一元素只能唯一的表示為V1的一個元素與V2的一個元素之和,即,存在唯一的、,使,則稱為V1與V2的直和,記為子空間的直和并不是一種特殊的和,仍然是,反映的是兩個子空間的關(guān)系特殊。2. 定理:如下四種表述等價 (1)成為直和 (2) (3)dim(V1+V2)=dimV1+ dimV2 (4)x1、x2、xs為V1的基,y1、y2、yt為V2的基,則x1、x2、xs、y1、y2、yt為的基證明(2)和(3)的等價性顯然采用循環(huán)證法:(1)(2)(4)(1)(1)(2):已知 假定且,則,說明對0元素存在兩種分解,這與直和的定義矛盾,所以假定不成立,在中只能存在0元素,即(2)(4):已知成為基的兩個條件:1) 可以線性表示V1+V2中的任意元素2)線性無關(guān)、,存在如下坐標(biāo)表示式 可表示V1+V2中的任一元素,x1、x2、xs、y1、y2、yt可表示V1+V2中的任意元素。假設(shè)x1、x2、xs、y1、y2、yt線性相關(guān),即存在不全為0的 使0 而 y 0同理這與其線性相關(guān)性矛盾,x1、x2、xs、y1、y2、yt線性無關(guān) x1、x2、xs、y1、y2、yt可作為的基(4)(1):已知(4)成立 在x1、x2、xs、y1、y2、yt這組基下存在唯一的坐標(biāo)使 x 成為直和作業(yè):P2526 7,9,12.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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