高等數(shù)學同濟版第五章第六版教案

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. 授 課 教 案 課程名稱： 高等數(shù)學 授課專業(yè)： 總 學 時： 開課單位： 制 定 人： 審 核 人： 制定時間： 教 案 授課學時 2學時 課型 新授課 教學內(nèi)容（章節(jié)） 第五章 定積分 第1節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)（1） 教學目標 掌握定積分的概念 教學重、難點 掌握定積分的概念 教學方法及手段 講練結合法/板書教學 教學準備 教材，輔助教材 教學過程： 一、定積分問題舉例 1. 曲邊梯形的面積 設在區(qū)間上非負、連續(xù)。由直線及曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形.由于曲邊梯形的高是變動的,所以不能直接用矩形的面積公式進行計算.而如下考慮:將區(qū)間劃分為很多小區(qū)間,在每個小區(qū)間上用其中某一點處的高來近似的代替同一個小區(qū)間上的窄曲邊梯形的變高,那么,每個窄曲邊梯形就可以近似的看成這樣得到的窄矩形,而將這些所有窄矩形的面積之和作為曲邊梯形面積的近似值,并把區(qū)間無限細分下去,使得每個區(qū)間的長度都趨于零,則這時所有窄矩形的面積之和的極限值就可定義為曲邊梯形的面積.現(xiàn)將計算方法詳述如下: 在中任意插入若干個分點 ，把區(qū)間分成n個小區(qū)間 ，其長度依次為: ,,…, . 在每個小區(qū)間上任取一點,以為底,為高的窄矩形近似地替代第i個窄曲邊梯形,這樣得到的n個窄矩形地面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值,即 并記,則當時,取上述和式的極限,便得曲邊梯形的面積 2. 變速直線運動的路程 備注： 1、 變速直線運動的路程 設某物體作直線運動，已知速度是時間間隔[]上的連續(xù)函數(shù)，且，計算在這段時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程 在[]內(nèi)任意插入若干個分點 把[]分成個小段 []，[]，…，[]，…， [] 各小段時間長依次為 相應各段的路程為 在[]上任取一個時刻，以時的速度來代替[]上各個時刻的速度，則得 進一步得到 = 設時，得 二、定積分定義 定義1 設函數(shù)在上有界，在中任意插入若干個分點 ，把區(qū)間分成n個小區(qū)間 ，其長度依次為: 各個小區(qū)間的長度依次為 . 在每個小區(qū)間[]上任取一點),對應函數(shù)值為作小區(qū)間長度與的乘積并作出和 . 記,如果不論對怎樣分法,也不論在小區(qū)間[]上點怎樣取法,只要當時，和式S總趨于確定的極限,這時我們稱這個極限為函數(shù)在區(qū)間上的定積分(簡稱積分), 記作,即 ==, 其中叫做被積函數(shù), 叫做被積表達式,叫做積分變量,叫做積分下限,叫做積分上限, 叫做積分區(qū)間. 注 (1)積分區(qū)間有限，被積函數(shù)有界； (2)與“分法”、“取法”無關； (3)定積分的值與積分變量的選取無關 ; (4)在有界是在可積的必要條件，在連續(xù)是 在可積的充分條件。 接下來的問題是：函數(shù)在上滿足怎樣的條件，在上一定可積？以下給出兩個充分條件。 注意：積分與積分變量無關，即： 函數(shù)可積的兩個充分條件： 定理1 設在上連續(xù)，則在上可積。 定理2 設在區(qū)間上有界，且只有有限個間斷點，則在上可積。 如果我們對面積賦以正負號，在軸上方的圖形面積賦以正號，在軸下方的圖形面積賦以負號，則在一般情形下，定積分的幾何意義為：它是介于軸、函數(shù)曲線的圖形及兩條直線 = 、 = 之間的各部分面積的代數(shù)和。 ????? 練習設計 課后習題9 教學反思 與學生一起做練習，邊講邊練????? 注：1．每2學時至少制定一個教案。2．課型包括新授課、練習課、復習課、講評課、實驗課等。3．上新課和新上課的教師要求寫詳案。4．要求教師上課必帶教案。5．“備注”填寫歷年更新的內(nèi)容（手寫）。6．教案可帶附件（課程內(nèi)容補充材料）。 教 案 授課學時 2學時 課型 新授課 教學內(nèi)容（章節(jié)） 第五章 定積分 第1節(jié) 不定積分的概念與性質(zhì)（2） 教學目標 掌握定積分的概念 教學重、難點 掌握定積分的概念 教學方法及手段 講練結合法/板書教學 教學準備 教材，輔助教材 教學過程： 三、定積分的性質(zhì) 為了以后計算及應用方便起見,首先,我們作如下補充規(guī)定: 1. 當時, =0; 2. 當時, =- 由上式可知,交換定積分上、下限時,絕對值不變而符號相反. 假設下列性質(zhì)中所列出的定積分都時存在的. 性質(zhì)1 = 證明 = = = 性質(zhì)2 =(是常數(shù)) 性質(zhì)3 設,則 =+ 這個性質(zhì)表明定積分對積分區(qū)間具有可加性,而且不論的相對位置如何,此等式總是成立的. 性質(zhì)4 如果在區(qū)間上, ,則 == 備注： 性質(zhì)5 如果在區(qū)間上, ,則 推論1 如果在區(qū)間上, ,則 推論2 性質(zhì)6(估值定理) 設M及m分別是函數(shù)在區(qū)間上的最大值及最小值,則 據(jù)此性質(zhì),利用被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值,可以估計積分值的大致范圍. 性質(zhì)7(積分中值定理) 如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在積分區(qū)間上至少存在一個點,使下式成立: 這個公式叫做積分中值公式. 例1 利用定積分幾何意義，求定積分值 解 上式表示介于, , , 之間面積 所以 例2 證明 證明 在 上最大值為，最小值為2 ∴ ∴ ????? 練習設計 課后習題9 教學反思 與學生一起做練習，邊講邊練????? 注：1．每2學時至少制定一個教案。2．課型包括新授課、練習課、復習課、講評課、實驗課等。3．上新課和新上課的教師要求寫詳案。4．要求教師上課必帶教案。5．“備注”填寫歷年更新的內(nèi)容（手寫）。6．教案可帶附件（課程內(nèi)容補充材料）。 教 案 授課學時 2學時 課型 新授課 教學內(nèi)容（章節(jié)） 第五章 定積分 第二節(jié) 微積分基本公式 教學目標 理解積分上限函數(shù)的定義及有關運算 掌握牛頓_萊布尼茲公式 教學重、難點 掌握牛頓_萊布尼茲公式 教學方法及手段 講練結合法/板書教學 教學準備 教材，輔助教材 教學過程： 一、變速直線運動中位置函數(shù)于速度函數(shù)之間的關系 由第一節(jié)知,物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程可以用速度函數(shù)在上的定積分 來表達;另一方面,這段路程又可以通過位置函數(shù)在區(qū)間上的增量 來表達.由此可見,位置函數(shù)與速度函數(shù)之間又如下的關系: = 而=,即位置函數(shù)是速度函數(shù)的原函數(shù),所以上述關系式表示, 速度函數(shù)在區(qū)間上的定積分等于的原函數(shù)在區(qū)間上的增量 上述問題在一定條件下具有普遍性 二、積分上限的函數(shù)及其導數(shù) 設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),并且設為上的一點,則稱 為積分上限的函數(shù),記為 此函數(shù)具有如下重要性質(zhì): 定理1 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則積分上限的函數(shù) 在上可導,并且其導數(shù)是 定理2(原函數(shù)存在定理) 如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),則函數(shù) 就是在上的一個原函數(shù) 備注： 就是在上的一個原函數(shù) 三、牛頓－萊布尼茲公式 定理3 如果函數(shù)是連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的一個原函數(shù)，則 　(1) 證明 已知函數(shù)是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù)，又根據(jù)前面的定理知道，積分上限的函數(shù) 也是的一個原函數(shù)。于是這兩個原函數(shù)之差為某個常數(shù)（第四章第一節(jié)），即 (2) 在上式中令，得.又由的定義式及上節(jié)定積分的補充規(guī)定知，因此，.以代入(2)式中的C，以代入(2)式中的，可得 ， 在上式中令，就得到所要證明的公式(1). 注 由積分性質(zhì)知，(1)式對的情形同樣成立.為方便起見，以后把記成。公式(1)叫做牛頓(Newton)-萊步尼茲(Leibniz)公式，它給定積分提供了一種有效而簡便的計算方法，也稱為微積分基本公式。 例1　計算定積分。 解　。 例.2 計算 解：= 例3 解： 例.4 計算 在[]上與軸所圍成平面圖形的面積。 解： 例5　求 解　易知這是一個型的未定式，我們利用洛必達法則來計算。 因此 。 ????? 練習設計 課后習題6????? 教學反思 與學生一起做練習，邊講邊練????? 注：1．每2學時至少制定一個教案。2．課型包括新授課、練習課、復習課、講評課、實驗課等。3．上新課和新上課的教師要求寫詳案。4．要求教師上課必帶教案。5．“備注”填寫歷年更新的內(nèi)容（手寫）。6．教案可帶附件（課程內(nèi)容補充材料）。 教 案 授課學時 2學時 課型 新授課 教學內(nèi)容（章節(jié)） 第五章 定積分 第3節(jié) 定積分的換元法與分部積分法（1） 教學目標 掌握定積分的換元法 教學重、難點 掌握定積分的換元法 教學方法及手段 講練結合法/板書教學 教學準備 教材，輔助教材 教學過程： 一、定積分的換元法 定理 假設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),函數(shù)滿足條件 (1) ; (2) 在或者上具有連續(xù)導數(shù),且其值域 ,則有 = 此公式叫定積分的換元公式. 注 (1)用把原來的變量代換成新變量時,積分限也要換成相應于新變量的積分限; (2)求出的一個原函數(shù)后,不必要再把變換成原來變量的函數(shù),而只要把新變量的上、下限分別代入相減就可以了. 例1 計算 解 設,則,且 當時, ;當時, ,于是有 = == 例2 計算 解 = 備注： == 在例2中,如果我們不明顯地寫出新變量,那么定積分的上、下限就不要變更. 例3 計算. 解 =+ =- =- = = 如果忽略在上非正,而按 計算,將導致錯誤. 例4 證明: (1)若函數(shù)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且為偶函數(shù),則 =2 (2)若函數(shù)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)且為奇函數(shù),則 =0. 證 =+ 對積分作代換,則得 =-=-= 所以 =+ = (1)若為偶函數(shù),則 = 所以 = 所以 = (2)若為奇函數(shù),則 =0 所以 =0 利用本例,?？珊喕嬎闫婧瘮?shù),偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的定積分. ????? 練習設計 課后習題2????? 教學反思 與學生一起做練習，邊講邊練????? 注：1．每2學時至少制定一個教案。2．課型包括新授課、練習課、復習課、講評課、實驗課等。3．上新課和新上課的教師要求寫詳案。4．要求教師上課必帶教案。5．“備注”填寫歷年更新的內(nèi)容（手寫）。6．教案可帶附件（課程內(nèi)容補充材料）。 教 案 授課學時 2學時 課型 新授課 教學內(nèi)容（章節(jié)） 第五章 定積分 第3節(jié) 定積分的換元法與分部積分法（2） 教學目標 掌握定積分的換元法 教學重、難點 掌握定積分的換元法 教學方法及手段 講練結合法/板書教學 教學準備 教材，輔助教材 教學過程： 一、定積分的換元法 定理 假設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù),函數(shù)滿足條件 (1) ; (2) 在或者上具有連續(xù)導數(shù),且其值域 ,則有 = 此公式叫定積分的換元公式. 注 (1)用把原來的變量代換成新變量時,積分限也要換成相應于新變量的積分限; (2)求出的一個原函數(shù)后,不必要再把變換成原來變量的函數(shù),而只要把新變量的上、下限分別代入相減就可以了. 例1 設函數(shù) = 計算. 解 令,則,且 當時, ;當時, . 于是 = =+ = = 備注： 例2 例3 例4 法一 設 法二 設 原式 一、定積分的分部積分法 根據(jù)不定積分的分部積分法,可得 =- 或記作 =- 此公式即定積分的分部積分公式.公式表明原函數(shù)已經(jīng)積出的部分可以先用上、下限代入. 例1 計算. 解 = - = = 例2 計算. 解 先用換元法,令,則,且 當時; 當時. 于是 == =- = ????? = = 例2 計算. 解 先用換元法,令,則,且 當時; 當時. 于是 == =- = =. 例3 設在連續(xù) 證明： 證明 右邊 = ????? 練習設計 課后習題2????? 教學反思 與學生一起做練習，邊講邊練????? 注：1．每2學時至少制定一個教案。2．課型包括新授課、練習課、復習課、講評課、實驗課等。3．上新課和新上課的教師要求寫詳案。4．要求教師上課必帶教案。5．“備注”填寫歷年更新的內(nèi)容（手寫）。6．教案可帶附件（課程內(nèi)容補充材料）。 .