5.7 三角函數(shù)的應用 同步練習（Word版含解析）

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1、 《第七節(jié)　三角函數(shù)的應用》同步練習 一、基礎鞏固 知識點1　三角函數(shù)模型在物理中的應用 1.(多選)[2022廣東廣州執(zhí)信中學高一下月考]如圖所示的是一質(zhì)點做簡諧運動的圖象,則(　　) A.該質(zhì)點的簡諧運動周期為0.7 s B.該質(zhì)點的簡諧運動振幅為5 cm C.該質(zhì)點的簡諧運動頻率為1.25 Hz D.該質(zhì)點的簡諧運動周期為0.8 s 2.[2022廣東深圳一模]阻尼器是一種以提供運動的阻力,從而達到減振效果的專業(yè)工程裝置.深圳第一高樓平安金融中心的阻尼器減震裝置是亞洲最大的阻尼器,被稱為“鎮(zhèn)樓神器”.由物理學知識可知,某阻尼器模型的運動過程可近似為單擺運動,其相對平

2、衡位置的位移s(cm)和時間t(s)的函數(shù)關系式為s=2sin (ωt+φ),其中ω>0.若該阻尼器模型在擺動過程中連續(xù)三次相對平衡位置的位移為s0(-20,ω≠0)的圖象如圖所示,則當t=150 s時,電流強度是　　　　.? 4.如圖,彈簧掛著的小球做上下振動,它在t(單位:s)時相對于平衡位置(靜止時的位置)的高度h(單位:cm)由關系式h=

3、Asin (ωt+π4)確定,其中A>0,ω>0,t∈[0,+∞).在一次振動中,小球從最高點運動至最低點所用時間為1 s,且最高點與最低點間的距離為10 cm. (1)求小球相對平衡位置的高度h(單位:cm)和時間t(單位:s)之間的函數(shù)關系; (2)若小球在t0 s內(nèi)經(jīng)過最高點的次數(shù)恰為50,求t0的取值范圍. 知識點2　三角函數(shù)模型在生活中的應用 5.[2022江蘇七市調(diào)研]時鐘花原產(chǎn)于美洲熱帶,從開放到閉合與體內(nèi)的一種時鐘酶有關.研究表明,當氣溫上升到20℃時,時鐘酶活躍起來,花朵開始開放;當氣溫上升到28℃時,時鐘酶的活性減弱,花朵開始

4、閉合,且每天開閉一次.已知某景區(qū)一天內(nèi)5~17 h的氣溫T(單位:℃)與時間t(單位:h)近似滿足關系式T=20-10sin (π8t-π8),則該景區(qū)這天時鐘花從開始開放到開始閉合約經(jīng)歷(參考數(shù)據(jù):sin 3π10≈0.8)(　　) A.1.4 h B.2.4 h C.3.2 h D.5.6 h 6.[2022重慶巴蜀中學高一上期末]潮汐是發(fā)生在沿海地區(qū)的一種自然現(xiàn)象,是指海水在天體(主要是月球和太陽)引潮力作用下所產(chǎn)生的周期性運動.習慣上把海面垂直方向漲落稱為潮汐,而海水在水平方向的流動稱為潮流.早先的人們?yōu)榱吮硎旧钡臅r刻,把發(fā)生在早晨的高潮叫潮,發(fā)生在晚上的高潮叫汐,這是潮汐

5、名稱的由來.下表中給出了某市碼頭某一天水深與時間的關系(夜間零點開始計時). 時刻t 0 2 4 6 8 10 12 水深y/m 5.0 4.8 4.7 4.6 4.4 4.3 4.2 時刻t 14 16 18 20 22 24 水深y/m 4.3 4.4 4.6 4.7 4.8 5.0 用函數(shù)模型y=Acos (ωx+φ)+B(A>0,x∈[0,24])來近似地描述這些數(shù)據(jù),則A-B=　　　　.? 7.如圖,某動物種群數(shù)量1月1日(t=0時)低至700,7月1日高至900,其總量在此兩值之間按照曲線y=Asin (ω

6、t+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π,t以年初以來的月為計量單位)變化. (1)求A,ω,φ,b的值; (2)估計當年3月1日動物種群數(shù)量. 知識點3　三角函數(shù)模型的建立及其應用 8.[2021江西贛州會昌中學高一上月考]如圖,圓O的半徑為1,A是圓上的定點,P是圓上的動點,角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過點P作直線OA的垂線,垂足為M,將點M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f(x),則f(x)在[0,π]上的圖象大致為(　　) 9.[2022遼寧大連高一月考]示波器上顯示的曲線是正弦曲線形狀,記錄到兩個坐標M(2, 4)和P(6,0),已知M,P是

7、曲線上相鄰的最高點和平衡位置,則曲線的方程為　　　　.? 二、能力提升 10.[2022河南百所名校檢測]1851年,法國的物理學家傅科做了一次成功的擺動實驗,證明了地球自轉(zhuǎn)現(xiàn)象,“傅科擺”由此得名.“傅科擺”在擺動過程中,擺動平面會隨地球自轉(zhuǎn)而緩緩轉(zhuǎn)動,且“傅科擺”所處緯度φ越高,擺動平面轉(zhuǎn)動速度越快,角速度與sin φ成正比.當“傅科擺”在北緯90°處時,角速度最快,旋轉(zhuǎn)一周的時間為24 h.若某市天文館也做了個“傅科擺”,已知該天文館處于北緯40°,那么此處“傅科擺”旋轉(zhuǎn)一周的時間約為(參考數(shù)據(jù):sin 40°≈0.64)(　　) A.15.4 h B.24 h C.37.5

8、h D.54 h 11.[2022湖北省武昌實驗中學高一期末]如圖,摩天輪上一點P距離地面的高度y(m)與時間t(min)滿足y=Asin (ωt+φ)+B,A>0,ω>0,φ∈[-π,π],已知某摩天輪的半徑為50 m,點O距地面的高度為60 m,摩天輪做勻速運動,每10 min轉(zhuǎn)一圈,點P的起始位置在摩天輪的最低點,則y關于t的解析式為(　　) A.y=60-50sin π5t(t>0) B.y=60-50cos π5t(t>0) C.y=60-50cos π10t(t>0) D.y=60-50sin π10t(t>0) 12.(多選)[2022福建漳州高一上期末]氣候變

9、化問題是人類面臨的全球性問題,隨著各國二氧化碳排放,溫室氣體猛增,對生命系統(tǒng)形成威脅.中國積極參與全球氣候治理,加速全社會綠色低碳轉(zhuǎn)型,力爭2030年前實現(xiàn)碳達峰,2060年前實現(xiàn)碳中和目標.某校高一數(shù)學研究性學習小組同學研究的課題是“碳排放與氣候變化問題”,研究小組觀察記錄某天從6 h到14 h的溫度變化,其變化曲線近似滿足函數(shù)f(x)=Asin (ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<φ<π),圖象如圖,則下列說法正確的是(　　) A.φ=3π4 B.函數(shù)f(x)的最小正周期為16π C.?x∈R,f(x)+f(x+8)=40 D.若g(x)=f(x+m)是偶函數(shù),則|m|的最小

10、值為2 13.某海濱浴場一天的海浪高度y(m)是時間t(0≤t≤24)(h)的函數(shù),記作y=f(t),下表是某天各時的浪高數(shù)據(jù): t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 (1)選用一個三角函數(shù)來近似描述這個海濱浴場的海浪高度y與時間t的函數(shù)關系; (2)依據(jù)規(guī)定,當海浪高度不少于1 m時才對沖浪愛好者開放海濱浴場,請依據(jù)(1)的結(jié)論,判斷一天內(nèi)的8 h至20 h之間,有多少時間可供沖浪愛好者進行沖浪? 參

11、考答案 一、基礎鞏固 1.BCD　由題圖可知,運動周期為2×(0.7-0.3)=0.8(s),故A錯,D正確;該簡諧運動的振幅為5 cm,B正確;該簡諧運動的頻率f=1T=10.8=1.25(Hz),得C正確.故選BCD. 2.B　不妨考慮如圖所示的情況,則T=t3-t1=2,則2πω=2,可得ω=π. 3.5 A　解：由題圖可知,A=10,且該函數(shù)的最小正周期T=2×(175?1300)=150,則ω=2πT=100π,所以I=10sin(100πt+π6).當t=150 s時,I=10sin(100π×150+π6)=10sin (2π+π6)=10sin π6=5(A).

12、4. 解：(1)因為小球振動過程中最高點與最低點的距離為10 cm,所以A=102=5. 因為在一次振動中,小球從最高點運動至最低點所用時間為1 s,所以最小正周期為2, 即T=2=2πω,所以ω=π,所以h=5sin(πt+π4),t≥0. (2)由題意,當t=14 s時,小球第一次到達最高點,以后每隔一個最小正周期都到達一次最高點. 因為小球在t0 s內(nèi)經(jīng)過最高點的次數(shù)恰為50, 所以14+49T≤t0<14+50T. 因為T=2,所以9814≤t0<10014, 所以t0的取值范圍為[9814,10014). 5.B　設t1 h開始開放,t2 h開始閉合,則20-10

13、sin(π8t1-π8)=20,又t1∈[5,17],解得t1=9.又20-10sin(π8t2-π8)=28,所以sin(π8t2-π8)=-45.由sin 3π10≈0.8,得sin 13π10≈-45,結(jié)合題意,得π8t2-π8=13π10,所以t2=575,所以t2-t1=125=2.4.故選B. 6.-4.2　解：從表中數(shù)據(jù)可知,函數(shù)的最大值為5.0,最小值為4.2,所以A+B=5.0,?A+B=4.2,解得A=0.4,B=4.6,故A-B=-4.2. 7. 解：(1)由題圖,得?A+b=700,A+b=900,解得A=100,b=800. 又周期T=2×6=12,所以ω=2π

14、T=π6, 所以y=100sin(π6t+φ)+800. 又當t=6時,y=900, 所以900=100sin(π6×6+φ)+800,所以sin(π+φ)=1, 所以sin φ=-1,又|φ|<π,所以φ=-π2. (2)由(1)知y=100sin(π6t-π2)+800, 當t=2時,y=100sin(π6×2-π2)+800=750, 即當年3月1日動物種群數(shù)量約是750. 8.B 9.y=4sin(π8x+π4) 解：由題意可設曲線方程為y=4sin(ωx+φ)(ω>0).因為T4=4,所以T=16,所以ω=2π16=π8,所以y=4sin(π8x+φ).又曲線經(jīng)過

15、最高點M(2,4),所以π8×2+φ=π2+2kπ,k∈Z,所以φ=π4+2kπ,k∈Z,所以y=4sin(π8x+π4). 二、能力提升 10.C　設角速度ω=ksin φ(k≠0),故旋轉(zhuǎn)一周所用的時間t=2πksin?φ.當φ=90°=π2時,t=24,故k=π12,所以t=24sin?φ.故當“傅科擺”處于北緯40°時,t=24sin?40°≈37.5(h). 11.B　由題意得函數(shù)y=Asin(ωt+φ)+B的最大值為110,最小值為10,因此有A+B=110,B?A=10,解得A=50,B=60.又函數(shù)y=Asin(ωt+φ)+B的周期為10,即T=10,則ω=2πT=π5.

16、又當t=0時,ymin=10,則sin φ=-1.又φ∈[-π,π],解得φ=-π2,所以y=50sin(π5t-π2)+60=60-50cos π5t(t>0). 12.ACD 13. 解：(1)以時間為橫坐標,海浪高度為縱坐標,在平面直角坐標系中畫出散點圖,如圖所示: 依據(jù)散點圖,可以選用函數(shù)y=Asin(ωt+φ)+h(A>0,ω>0,|φ|≤π2)來近似描述這個海濱浴場的海浪高度y與時間t的函數(shù)關系. 從表中數(shù)據(jù)和散點圖,可知A=1.5?0.52=12,T=12,所以2πω=12,得ω=π6. 又h=1.5+0.52=1,于是y=12sin(π6t+φ)+1. 由圖,知π6×0+φ=π2+2kπ,k∈Z, 又|φ|≤π2,所以φ=π2, 從而y=12sin(π6t+π2)+1,即y=12cos? π6t+1(0≤t≤24). (2)由題意,可知y≥1, 所以12cos? π6t+1≥1,即cos π6t≥0, 所以2kπ-π2≤π6t≤2kπ+π2(k∈Z), 即12k-3≤t≤12k+3(k∈Z). 又0≤t≤24,所以0≤t≤3或9≤t≤15或21≤t≤24. 故一天內(nèi)的8 h至20 h之間有6 h可供沖浪愛好者進行沖浪,即9 h至15 h.