全微分與鏈?zhǔn)椒▌t【高教課堂】

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1、 第八章 8.38.3.1、全微分、全微分全微分與鏈?zhǔn)椒▌t8.3.2、鏈?zhǔn)椒▌t、鏈?zhǔn)椒▌t1詳細(xì)課資機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束)(xoxA一元函數(shù) y=f(x)的微分)()(xfxxfyxxf)(常數(shù)A與x 無關(guān),僅與x 有關(guān)),(yxfz 對),(),(yxfyxxf 關(guān)于x 的高階無窮小 xyxfx),(對 x 的偏增量 對 x 的偏微分),(),(yxfyyxfyyxfy),(對 y 的偏增量 對 y 的偏微分 yd8.3.1、全微分、全微分2詳細(xì)課資引例引例:一塊長方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了設(shè)面積為 A,則0yy面積的增量為0000)(yxyyxxA)(00

2、yxyxxyyx 000yxAxy 0yx 關(guān)于x,y的線性主部故yxxyA00稱為函數(shù)在 的全微分),(00yx0 x變到,0 xx分別由其邊長機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0y變到,0yy多少?0 xx時(shí)0,0yx比 較高22yx階無窮小3詳細(xì)課資定義定義:如果函數(shù) z=f (x,y)在定義域 D 的內(nèi)點(diǎn)(x,y),(),(yxfyyxxfz可表示成,)(oyBxAz其中 A,B 不依賴于 x,y,僅與 x,y 有關(guān)，稱為函數(shù)),(yxf在點(diǎn)(x,y)的全微分全微分,記作yBxAfz dd若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微,22)()(yx則稱函數(shù) f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微可微，處全

3、增量則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.一般地一般地yBxA4詳細(xì)課資機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)),(),(yxfyyxxfz)()(lim0oyBxA下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微),(lim00yyxxfyx由微分定義:得zyx00lim0),(yxf函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在 函數(shù)可微 即5詳細(xì)課資定理定理1 1(必要條件)若函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微可微,則該函數(shù)在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)yzxz,yyzxxzzd),(),(yfyfzxxz同樣可證,Byzyyzxxzzd證證:因函數(shù)在點(diǎn)(x,y)可微,故

4、,)(oyBxAz,0y令)(xoxA必存在,且有得到對 x 的偏增量xxx因此有 xzxx0limA6詳細(xì)課資反例反例:函數(shù)),(yxf易知,0)0,0()0,0(yxff 但)0,0()0,0(yfxfzyx)(o注意注意:定理1 的逆定理不成立.22)()(yxyx22)()(yxyx22)()(yxyx0偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù) 不一定可微 !即:0,2222yxyxyx0,022 yx時(shí)例如沿路徑0 xy因此,函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微.7詳細(xì)課資定理定理2(充分條件)yzxz,（證略）若函數(shù)),(yxfz 的偏導(dǎo)數(shù),),(連續(xù)在點(diǎn)yx則函數(shù)在該點(diǎn)可微分.yyzxxzzddd于是，全微分例例1.

5、計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.yxez 解解:xz222)1,2(,)1,2(eyzexzyexezd2dd22)1,2(yz,yxeyyxex)d2d(2yxe習(xí)慣上,yx ,分別記為yx d,d8詳細(xì)課資例例2.計(jì)算函數(shù)的全微分.yxxyz)tan(解解:xzyz)(cos12xyyy12121x)(cos12xyxx23)21(y)(cos2xyyxxyd21)(cos2xyxyyyxd 2yyzxxzzddd例例3.計(jì)算函數(shù)的全微分.zyeyxu2sin解解:udxd1yyd)cos(221zeyzydzyez9詳細(xì)課資例例4.4.計(jì)算的近似值.02.204.1解解:設(shè)yxyxf)

6、,(,則),(yxfx取,2,1yx則)02.2,04.1(04.102.2fyfxffyx)2,1()2,1()2,1(08.102.0004.021),(yxfy,1yxyxxyln02.0,04.0yx10詳細(xì)課資內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1.微分定義:),(yxfz zyyxfxyxfyx),(),(zdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yx2.重要關(guān)系:)(o偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)11詳細(xì)課資機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)函數(shù)),(yxfz 在),(00

7、yx可微的充分條件是();),(),()(00連續(xù)在yxyxfA),(),(,),()(00yxyxfyxfByx在的某鄰域內(nèi)存在;yyxfxyxfzCyx),(),()(00000)()(22yx當(dāng)時(shí)是無窮小量;220000)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx當(dāng)時(shí)是無窮小量.1.選擇題D12詳細(xì)課資機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zfyfxffzyyd)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(d)0,0,0(2.設(shè),coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0,0,0(f求解解:xxxfcos3)0,0,(0cos3

8、)0,0,0(xxxfx41利用輪換對稱性,可得41)0,0,0()0,0,0(zyff)dd(d41zyx注意注意:x,y,z 具有 輪換對稱性輪換對稱性 13詳細(xì)課資機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束.d,arctanzyxyxz求答案答案:22dddyxyxxyz3.已知在點(diǎn)(0,0)可微.備用題備用題在點(diǎn)(0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),),(yxf而),(yxf)0,0(),(,1sin22yxyxyx)0,0(),(,0yx證證:1)因221sinyxxy0),(lim00yxfyx)0,0(f故函數(shù)在點(diǎn)(0,0)連續(xù);但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(0,0)不連 證明函數(shù)xy222yx 所以14詳細(xì)

9、課資機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束),(yxf)0,0(),(,1sin22yxyxxy)0,0(),(,0yx),(yxfx,)0,0(),(時(shí)當(dāng)yx,)0,0(),(時(shí)趨于沿射線當(dāng)點(diǎn)xyyxP,0)0,(xf;0)0,0(xf.0)0,0(yf同理y221sinyx 3222)(yxyx221cosyx),(lim)0,0(),(yxfxxx極限不存在,),(yxfx在點(diǎn)(0,0)不連續(xù);同理,),(yxfy在點(diǎn)(0,0)也不連續(xù).xx(lim0|21sinx33|22xx)|21cosx2)3)15詳細(xì)課資機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,)()(22yx4)下面證明)0,0(),

10、(在點(diǎn)yxf可微:yfxffyx)0,0()0,0(1sinyx x 00.)0,0(),(可微在點(diǎn)yxf說明說明:此題表明,偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.令則16詳細(xì)課資機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一元復(fù)合函數(shù))(),(xuufy求導(dǎo)法則xuuyxydddddd本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法則8.3.2、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t17詳細(xì)課資)(),(ttfz定理定理.若函數(shù),)(,)(可導(dǎo)在點(diǎn)ttvtu),(vufz 處

11、偏導(dǎo)連續(xù),),(vu在點(diǎn)在點(diǎn) t 可導(dǎo),tvvztuuztzddddddz則復(fù)合函數(shù)且有鏈?zhǔn)椒▌tvutt機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束(全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)數(shù)公式)18詳細(xì)課資推廣推廣:1)中間變量多于兩個(gè)的情形.例如,),(wvufz 設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微.tzdd321fff2)中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,),(,),(,),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束)(,)(,)(twtvtu19詳細(xì)課資3),(,),(yxvvxfz當(dāng)它們都

12、具有可微條件時(shí),有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意:這里xzxfxz表示固定 y 對 x 求導(dǎo),xf表示固定 v 對 x 求導(dǎo)xfxvvfyvvf與不同,v機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 口訣口訣:連線相乘,分叉相加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)20詳細(xì)課資例例1.設(shè)設(shè),sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21詳細(xì)課資例例2.設(shè),sintvuz.ddtzzt

13、vutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全導(dǎo)數(shù),teu,costv 解解:tusintcos機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4 4.)1(cos2的全導(dǎo)數(shù)設(shè)xxz解解:令 u=1+x2,v=cos x,則vuz xzddxuuzddxvvzdd)sin(ln21xuuxuvvv)1ln(sin)1(cos2)1(221cos2xxxxxxxzvuxx22詳細(xì)課資例例3.求 yxyxz2422)3(的偏導(dǎo)數(shù).解解:設(shè),24,322yxvyxu于是zvuyxyxxzxuuzxvvz,vuz 1vvux6uuvln4yzyuuzyvvz12422)

14、3)(24(6yxyxyxx)3ln()3(4222422yxyxyx1vvuy2uuvln223詳細(xì)課資例例4.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 24詳細(xì)課資),(1zyxzyxf例例5.設(shè) f 具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),),(zyxzyxfw求.xw解解:令,zyxvzyxuxwwvuzy

15、xzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則21,ff機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 25詳細(xì)課資機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 多元復(fù)合函數(shù)的全微分多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)),(,),(,),(yxvyxuvufz的全微分為yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可見無論 u,v 是自變量還是中間變量,)dd(yyuxxu)dd(yyvxxv則復(fù)合函數(shù))(fz),(,),(yxyxudvzvd都可微,其全微分表達(dá) 形式都一樣,這性質(zhì)叫做全微分形式不變性全微分形式不變性.26詳細(xì)課資機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

16、例例6.設(shè)設(shè),sinyxvyxuvezu.dz求 )cos()sin(yxyxeyx例例1.,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:)(dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos()sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx)cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy27詳細(xì)課資8.3.3 一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)定理定理1.1.設(shè)函數(shù)),(00yxP),(yxF;0),(00yxF

17、則方程00),(xyxF在點(diǎn)單值連續(xù)函數(shù) y=f(x),)(00 xfy 并有連續(xù)yxFFxydd(隱函數(shù)求導(dǎo)公式)定理證明從略，僅就求導(dǎo)公式推導(dǎo)如下：具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);的某鄰域內(nèi)某鄰域內(nèi)可唯一確定一個(gè)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)滿足,0),(00yxFy滿足條件導(dǎo)數(shù)28詳細(xì)課資0)(,(xfxF兩邊對 x 求導(dǎo)0ddxyyFxFyxFFxydd0yF,0),()(所確定的隱函數(shù)為方程設(shè)yxFxfy在),(00yx的某鄰域內(nèi)則29詳細(xì)課資若F(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù)也都連續(xù),22ddxy2yF3222yxyyyxyxyxxFFFFFFFFyxFFxydd)(yxFFy2yF二階導(dǎo)數(shù):)(yxFFxxyxxy

18、dd則還可求隱函數(shù)的 xxyyxxFFFFxyyyyxFFFF)(yxFF30詳細(xì)課資例例4.求由方程0 xxeyy解法一解法一 令所確定的y是x的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).),(yxFxxeyyxFyFyxe11yeyxFFxyddyyxee11yyxee11解法二解法二 方程兩邊對 x 求導(dǎo)01)dd(ddxyxeexyyyxyddyyxee1131詳細(xì)課資定理定理2.若函數(shù)),(000zyxP),(zyxFzyzxFFyzFFxz,的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);則方程0),(zyxF在點(diǎn)),(00yx并有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),),(000yxfz 定一個(gè)單值連續(xù)函數(shù) z=f(x,y),定理證明從略,僅就求

19、導(dǎo)公式推導(dǎo)如下:滿足;0),(000zyxF,0),(000zyxFz 在點(diǎn)滿足:某一鄰域內(nèi)可唯一確32詳細(xì)課資0),(,(yxfyxF兩邊對 x 求偏導(dǎo)xFzxFFxzzyFFyz同樣可得,0),(),(所確定的隱函數(shù)是方程設(shè)zyxFyxfz則zFxz00),(000zFzyx的某鄰域內(nèi)在33詳細(xì)課資例例5.設(shè),04222zzyx解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)(2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再對 x 求導(dǎo)34詳細(xì)課資解法解法2 利用公式設(shè)zzyxzyxF4),(222則,2xFxzxFFxz兩邊對 x 求偏導(dǎo))2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx242 zFz35詳細(xì)課資內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)0),(yxFyxFFxydd0),(zyxF1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段用乘,分叉用加,單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)”例如例如,),(,),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.隱函數(shù)求導(dǎo)(1)(2),zxFFxzzyFFyz時(shí),時(shí),36詳細(xì)課資 作業(yè)作業(yè) P117 1(2),(6);8;9;10;17；18.37詳細(xì)課資