2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第15練 三角恒等變換（Word版含解析）

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1、2023屆大一輪復(fù)習(xí) 第15練 三角恒等變換 一、選擇題（共29小題） 1. 若已知 cos2α=12，其中 α∈?π4,0，則 sinα 的值為 ?? A. 12 B. ?12 C. 32 D. ?32 2. 若 cos2θ=14，則 sin2θ+2cos2θ 的值為 ?? A. 78 B. 1932 C. 138 D. 32 3. 已知 sinx+cosx=325，則 sin2x= ?? A. 1825 B. 725 C. ?725 D. ?1625 4. sin20°cos10°+cos20°sin10°= ?? A. 12

2、B. 32 C. ?12 D. ?32 5. cos2π8?sin2π8 等于 ?? A. 0 B. 22 C. 1 D. ?22 6. 若 cosα=?45，α 是第二象限的角，則 cosα+π4 等于 ?? A. ?210 B. 22 C. ?7210 D. 7210 7. 已知 tanx=?34，則 tan2x 等于 ?? A. 724 B. ?724 C. 247 D. ?247 8. 已知 tanα=2，tanα+β=?1，則 tanβ= ?? A. 3 B. 1 C. ?1 D. ?3 9. 若 sinα=35，且

3、 α∈π2,π，則 tanα+π4= ?? A. ?34 B. 34 C. 7 D. 17 10. 已知角 α 的頂點在坐標(biāo)原點 O，始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，將角 α 的終邊繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn) π3 后，經(jīng)過點 ?3,4，則 sinα= ?? A. 33+410 B. 4?3310 C. 33?410 D. ?4+3310 11. 已知角 α 的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點 P3,4，則 cos2α+βcosβ+sin2α+βsinβ 的值是 ?? A. ?925 B. 725 C. ?725 D. 925 12

4、. 函數(shù) y=sin2x+π4+sin2x?π4 的最小值為 ?? A. 2 B. ?2 C. ?2 D. 3 13. 函數(shù) fx=sin2x+3sinxcosx 在區(qū)間 π4,π2 上的最大值是 ?? A. 1 B. 1+32 C. 32 D. 1+3 14. 函數(shù) y=12+sinx+cosx 的最大值是 ?? A. 22?1 B. ?22?1 C. 1?22 D. 1+22 15. sinπ4+αcosπ4+β 化為和差的結(jié)果是 ?? A. 12sinα+β+12cosα?β B. 12cosα+β+12sinα?β C. 12sinα+

5、β+12sinα?β D. 12cosα+β+12cosα?β 16. 若 3cosπ2?θ+cosπ+θ=0，則 cos2θ+12sin2θ 的值是 ?? A. ?65 B. ?45 C. 65 D. 45 17. 若 ?2π<α0 B. cos2α<0 C. sin2α>0 D. sin2α<0 19. 已知 sinθ+sinθ+π3=1，則 sinθ

6、+π6= ?? A. 12 B. 33 C. 23 D. 22 20. 已知 α∈0,π，且 3cos2α?8cosα=5，則 sinα= ?? A. 53 B. 23 C. 13 D. 59 21. 若 sinα=13，則 cos2α= ?? A. 89 B. 79 C. ?79 D. ?89 22. 已知 sinα，cosα 是方程 5x2?5x?2=0 的兩個實根，且 α∈0,π，則 cosα+π4= ?? A. 1010 B. ?1010 C. 31010 D. ?31010 23. 若 sinα+cosα=13，0<α<

7、π，則 sin2α+cos2α= ?? A. ?8?179 B. ?8±179 C. ?8+179 D. 8+179 24. 已知函數(shù) fx=sin∣2x∣+2∣sinx∣cosx，給出下列四個命題： ① fx 是偶函數(shù) ② fx 在區(qū)間 π4,π2 上單調(diào)遞增 ③ fx 在 ?2π,2π 有 7 個零點 ④ fx 的最大值為 2 其中真命題的個數(shù)是 ?? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 25. 已知函數(shù) fx=sinωx+3cosωxω>0，x1，x2 為函數(shù) fx 的兩個極值點，若 x1?x2 的最小值為 π2，則 ?? A.

8、 fx 在 ?5π12,π12 上單調(diào)遞減 B. fx 在 ?5π12,π12 上單調(diào)遞增 C. fx 在 ?2π3,π3 上單調(diào)遞減 D. fx 在 ?2π3,π3 上單調(diào)遞增 26. 若 cosα+β=35，sinβ?π4=513，α,β∈0,π2，則 cosα+π4= ?? A. ?3365 B. 3365 C. 5665 D. ?1665 27. 已知 2tanθ?tanθ+π4=7，則 tanθ= ?? A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2 28. 已知 α∈0,π2，2sin2α=cos2α+1，則 sinα= ??

9、 A. 15 B. 55 C. 33 D. 255 29. 若 fx=cosx?sinx 在 0,a 是減函數(shù)，則 a 的最大值是 ?? A. π4 B. π2 C. 3π4 D. π 二、選擇題（共4小題） 30. 函數(shù) y=sinxcosx+3cos2x?3 的圖象的一個對稱中心為 ?? A. π3,?32 B. 5π6,?32 C. ?2π3,32 D. 2π3,?3 31. 在 △ABC 中，C=120°，tanA+tanB=233，下列各式正確的是 ?? A. A+B=2C B. tanA+B=?3 C. tanA=tanB D.

10、cosB=3sinA 32. 已知 α，β 是銳角，cosα=55，cosα?β=31010，則 cosβ= ?? A. 22 B. 7210 C. 210 D. ?22 33. 設(shè)函數(shù) fx=sin2x+π4+cos2x+π4，則 fx ?? A. 是偶函數(shù) B. 在區(qū)間 0,π2 上單調(diào)遞增 C. 最大值為 2 D. 其圖象關(guān)于點 π4,0 對稱 三、填空題（共5小題） 34. 已知 tanα=3,tanβ=2，則 tanα?β 等于 ?． 35. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知一個角 α 的頂點在坐標(biāo)原點

11、，始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點 P5,?12，則 sin2α= ?． 36. 已知 cosα+β=15，cosα?β=35，則 tanαtanβ 的值為 ?． 37. 若 π4

12、?2sin2α,cos2α=12， 所以 sinα=±1?cos2α2=±12． 因為 α∈?π4,0，所以 sinα=?12． 2. C 【解析】sin2θ+2cos2θ=1?cos2θ2+2×1+cos2θ2=32+cos2θ2=32+18=138, 故選：C． 3. C 【解析】sinx+cosx=325?sinx+cosx2=1825?1+2sinxcosx=1825?sin2x=?725, 故選C． 4. A 【解析】sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin20°+10°=sin30°=12，故選A． 5. B 【解析】根據(jù)余弦的

13、二倍角公式可得 cos2π8?sin2π8=cosπ4=22，故選B． 6. C 【解析】因為 α 是第二象限角， 所以 sinα=1?cos2α=35， 因此， cosα+π4=cosαcosπ4?sinαsinπ4=?45×22?35×22=?7210. 故選：C． 7. D 【解析】tan2x=2tanx1?tan2x=2×?341??342=?247． 8. A 【解析】tanα+β=tanα+tanβ1?tanα?tanβ， 代入 tanα=2， 得：2+tanβ1?2tanβ=?1， 解得：tanβ=3． 故選：A． 9. D 【解析】若

14、 sinα=35，且 α∈π2,π，則 cosα=?1?sin2α=?1?352=?45， 所以 tanα=sinαcosα=35?45=?34， 故 tanα+π4=tanα+tanπ41?tanαtanπ4=?34+11??34×1=17． 故選：D． 10. B 【解析】因為角 α 的終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn) π3 后得到的角為 α?π3， 所以由三角函數(shù)的定義，可得：cosα?π3=?3?32+42=?35，sinα?π3=4?32+42=45， 所以 sinα=sinα?π3+π3=sinα?π3cosπ3+cosα?π3sinπ3=45×12+?35×32=4?33

15、10, 故選：B． 11. C 【解析】由題意知，cosα=332+42=35， cos2α+βcosβ+sin2α+βsinβ=cos2α+β?β=cos2α=2cos2α?1=1825?1=?725． 故選：C． 12. C 【解析】原式=sin2x+π4+sin2x?π4=sin2xcosπ4+cos2xsinπ4+sin2xcosπ4?cos2xsinπ4=2sin2x, 所以 y 的最小值為 ?2． 13. C 【解析】由 fx=1?cos2x2+32sin2x=12+sin2x?π6， 因為 π4≤x≤π2?π3≤2x?π6≤5π6， 所以 fx

16、max=12+1=32，故選C． 14. D 【解析】y=12+sinx+cosx=12+2sinx+π4≤12?2=2+22. 15. B 16. C 【解析】因為 3cosπ2?θ+cosπ+θ=0， 由誘導(dǎo)公式可得 3sinθ?cosθ=0，即 tanθ=13， 所以 cos2θ+12sin2θ=cos2θ+sinθcosθsin2θ+cos2θ=1+tanθ1+tan2θ=1+131+19=65. 故選：C． 17. D 【解析】1?cosα?π2=1+cosα2=cosα2． 因為 ?2π<α

17、α2<0，所以 cosα2=?cosα2． 18. D 【解析】α 為第四象限角， 則 ?π2+2kπ<α<2kπ，k∈Z， 則 ?π+4kπ<2α<4kπ， 所以 2α 是第三或第四象限角或為 y 軸負(fù)半軸上的角， 所以 sin2α<0． 19. B 【解析】因為 sinθ+sinθ+π3=1， 所以 sinθ+12sinθ+32cosθ=1， 即 32sinθ+32cosθ=1，得 312cosθ+32sinθ=1， 即 3sinθ+π6=1，得 sinθ+π6=33． 故選：B． 20. C 【解析】由 3cos2α?8cosα=5，得 32cos2α?

18、1?8cosα?5=0， 即 3cos2α?4cosα?4=0，解得 cosα=2（舍去），或 cosα=?23． 因為 α∈0,π， 所以 α∈π2,π， 則 sinα=1?cos2α=1??232=53． 故選：A． 21. B 【解析】因為 sinα=13， 所以 cos2α=1?2sin2α=1?2×19=79． 故選：B． 22. D 【解析】因為 sinα，cosα 是方程 5x2?5x?2=0 的兩個實根， 所以 sinα+cosα=55，sinα?cosα=?25， 因為 α∈0,π，且 sinα?cosα<0，所以 sinα>0 且 cosα<0

19、， 所以 cosα?sinα<0， 所以 cosα+π4=cosαcosπ4?sinαsinπ4=22cosα?sinα=?22cosα?sinα2=?22cosα+sinα2?4sinα?cosα=?22552+4×25=?22×355=?31010. 23. A 【解析】因為 sinα+cosα=13,???① 所以 1+2sinαcosα=19，即 2sinαcosα=sin2α=?89， 所以 1?2sinαcosα=sinα?cosα2=179． 因為 sinαcosα<0，且 0<α<π， 所以 sinα>0，cosα<0， 所以 sinα?cosα=17

20、3． ① × ②變形得 cos2α?sin2α=cos2α=?179， 所以 sin2α+cos2α=?89?179=?8?179． 故選：A． 24. C 【解析】因為 f?x=sin∣2x∣+2sin∣x∣cosx=fx，故 fx 為 R 上的偶函數(shù)，故①正確． 當(dāng) x≥0 時，fx=sin2x+2∣sinx∣cosx=2sin2x,sinx≥00,sinx<0， 又在 0,+∞ 上，fx=fx+2π 總成立，故可考慮 fx 在 0,2π 上的圖象和性質(zhì)． 又 fx=2sin2x,x∈0,π0,x∈π,2π， 其圖象如下： 由圖象可知④對，②錯， 而 fx 在

21、?2π,2π 有無數(shù)個零點，故③錯， 故選：C． 25. B 【解析】函數(shù)的解析式 fx=2sinωx+π3， 由題意可得：T2=π2?T=π， 即 2πω，則 ω=2， 函數(shù)的解析式為：fx=2sin2x+π3， 由 2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π2， 即 kπ?512π≤x≤kπ+π12k∈Z， 令 k=0 可得函數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為 ?512π,π12， 2kπ+π2≤2x+π3≤2kπ+3π2， 即 kπ+π12≤x≤kπ+7π12k∈Z， 不存在滿足題意的單調(diào)減區(qū)間． 故選：B． 26. C 【解析】因為 α+β?β?π4=α+π4， 所

22、以 cosα+π4=cosα+β?β?π4=cosα+β?cosβ?π4+sinα+β?sinβ?π4, 因為 α?β∈0,π2， 所以 0<α+β<π，?π2<β?π4<π2， 所以 sinα+β=45，cosβ?π4=1213， 所以 cosα+π4=35?1213+45?513=5665， 故選：C． 27. D 【解析】由 2tanθ?tanθ+π4=7，得 2tanθ?tanθ+11?tanθ=7， 即 2tanθ?2tan2θ?tanθ?1=7?7tanθ， 得 2tan2θ?8tanθ+8=0， 即 tan2θ?4tanθ+4=0， 即 tanθ?2

23、2=0， 則 tanθ=2， 故選：D． 28. B 【解析】因為 2sin2α=cos2α+1， 所以可得：4sinαcosα=2cos2α， 因為 α∈0,π2，sinα>0，cosα>0， 所以 cosα=2sinα， 因為 sin2α+cos2α=sin2α+2sinα2=5sin2α=1， 所以解得：sinα=55． 故選：B． 29. C 【解析】fx=cosx?sinx=?sinx?cosx=?2sinx?π4， 由 ?π2+2kπ≤x?π4≤π2+2kπ，k∈Z， 得 ?π4+2kπ≤x≤3π4+2kπ，k∈Z， 取 k=0，得 fx 的一個減

24、區(qū)間為 ?π4,3π4， 由 fx 在 0,a 是減函數(shù)，得 a≤3π4． 則 a 的最大值是 3π4． 30. A， B 【解析】y=12sin2x+321+cos2x?3=12sin2x+32cos2x?32=sin2x+π3?32, 令 2x+π3=kπ，x=kπ2?π6k∈Z， 當(dāng) k=1 時，x=π3，對稱中心是 π3,?32； 當(dāng) k=2 時，x=5π6，對稱中心是 5π6,?32． 故答案為：AB． 31. C， D 【解析】因為 C=120°， 所以 A+B=60°， 所以 2A+B=C， 所以 tanA+B=3， 所以選項A，B錯誤；

25、 因為 tanA+tanB=31?tanA?tanB=233， 所以 tanA?tanB=13,???① 又 tanA+tanB=233,???② 所以聯(lián)立①②解得 tanA=tanB=33， 所以 cosB=3sinA，故選項C，D正確； 故選：CD． 32. A， C 【解析】由 α 是銳角，cosα=55，則 sinα=1?cos2α=255， 又 α，β 是銳角，則 ?β∈?π2,0，得 α?β∈?π2,π2， 又 cosα?β=31010，則 sinα?β=±1010， 則 cosβ=cosα?α?β=cosαcosα?β+sinαsinα?β=55×

26、31010±255×1010=32±2210. 得 cosβ=22 或 cosβ=210． 故選：AC． 33. A， D 【解析】fx=sin2x+π4+cos2x+π4=2sin2x+π4+π4=2cos2x 選項A：f?x=2cos?2x=2cos2x=fx，它是偶函數(shù)，正確； 選項B：x∈0,π2，所以 2x∈0,π，因此 fx 是單調(diào)遞減，錯誤； 選項C：fx=2cos2x 的最大值為 2，錯誤； 選項D：函數(shù)的對稱中心為 kπ2+π4,0,k∈Z，當(dāng) k=0，圖象關(guān)于點 π4,0 對稱，正確． 34. 17 【解析】由兩角差的正切公式得 tanα

27、?β=tanα?tanβ1+tanαtanβ=3?21+3×2=17． 35. ?120169 【解析】因為一個角 α 的頂點在坐標(biāo)原點，始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點 P5,?12， 所以由三角函數(shù)定義可得得 sinα=?1225+144=?1213，cosα=525+144=513． 則由正弦二倍角公式可得 sin2α=2sinα?cosα=?120169． 故答案為：?120169． 36. 12 【解析】因為 cosα+β=cosαcosβ?sinαsinβ=15，cosα?β=cosαcosβ+sinαsinβ=35， 所以 cosαcosβ=25，si

28、nαsinβ=15， 相除可得 tanαtanβ=1525=12． 故答案為 12． 37. ?16 【解析】因為 π41， 所以 y=2×2tanx1?tan2x?tan3x=4tan4x1?tan2x， 所以 1y=141tan4x?1tan2x． 令 t=1tan2x，則 t∈0,1， 所以 1y=14t2?t=14t?122?14． 當(dāng) t=12 時，1y 最小值為 ?116， 所以 ?116≤1y<0， 所以 y≤?16． 即 y 的最大值為 ?16． 38. 5，1010 【解析】fx=2sinx?cosx=5sinx?φ，其中 sinφ=55，cosφ=255， 則 fθ=5sinθ?φ=5，即 sinθ?φ=1， 所以 θ?φ=π2+2kπk∈Z，即 θ=φ+π2+2kπk∈Z， 所以 sinθ+π4=sinφ+π2+2kπ+π4=?sinφ?π4=?sinφcosπ4+cosφsinπ4=?55×22+255×22=1010. 故答案為：5；1010． 第13頁（共13 頁）