見(jiàn)微知著微元法

見(jiàn) 微 知 著用微元思想處理兩類問(wèn)題江蘇省海門市悅來(lái)中學(xué) 袁惠兵 （郵編 226131）解物理問(wèn)題時(shí)，正確選取研究對(duì)象是快捷解好物理題的前提.微元思想就是從某一物理量、物理狀態(tài)或物理過(guò)程中選取一個(gè)足夠小的單元微元作為研究對(duì)象的研究方法.微元的選取是應(yīng)用微元思想解題的關(guān)鍵.本文通過(guò)舉例談?wù)動(dòng)梦⒃枷胩幚韮深悊?wèn)題.一、環(huán)類問(wèn)題環(huán)類問(wèn)題，其主要特點(diǎn)是對(duì)稱性.對(duì)環(huán)類問(wèn)題，通常我們選取長(zhǎng)度元（或者角度元）為研究對(duì)象.例1：如圖1所示，將質(zhì)量為的勻質(zhì)鏈條套在一表面光滑的圓錐上，圓錐頂角為，設(shè)圓錐底面水平，鏈條靜止時(shí)也成水平,求鏈條內(nèi)張力.解：設(shè)鏈條圓半徑為取無(wú)窮小部分鏈條元為研究對(duì)象，受重力、支持力、兩側(cè)拉力作用，受力圖如圖2所示，其中,由平衡條件水平方向 ，（1）豎直方向 （2）聯(lián)列（1）（2），得 點(diǎn)評(píng)：本題中正確作出受力示意圖很重要.另外本題中用到一個(gè)近似思想，當(dāng)較小時(shí)，（弧度），這個(gè)結(jié)論要記住.同類練習(xí)：1. 如圖31所示，均勻帶電圓環(huán)的帶電量為+,半徑為，圓心為，為垂直于圓環(huán)平面的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，試求點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).（答案：，方向沿OP向外）解析：將圓環(huán)等分為個(gè)小段，當(dāng)相當(dāng)大時(shí)，每小段可視為電電荷，其帶電量為.由點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式可得每一小段帶電環(huán)在處的場(chǎng)強(qiáng)為.如圖4所示.由對(duì)稱性可知，各小段帶電環(huán)在處的場(chǎng)強(qiáng)，其垂直于軸向的分量相互抵消，而的軸向的分量之和即為帶電圓環(huán)在處的場(chǎng)強(qiáng).所以，方向沿向外.2如圖5所示，有一個(gè)質(zhì)量均勻分布的細(xì)圓環(huán)，半徑為，質(zhì)量為，均勻帶著總電量為的正電荷，如果將此環(huán)平放在水平光滑桌面上，以角速度繞豎直中心軸旋轉(zhuǎn)，桌面附近存在著豎直向下的磁感強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，那么環(huán)上將有多大的張力？（答案：） 解析：取環(huán)上一小段質(zhì)量為的圓環(huán)為研究對(duì)象，如圖6所示。其水平方向共受三個(gè)力：兩側(cè)圓環(huán)對(duì)它的拉力和洛倫茲力.三力合力提供向心力.，.因很小，所以有. 3如圖7所示，金屬環(huán)半徑為，電阻為，當(dāng)環(huán)的軸線與條形磁鐵的軸線保持重合的情況下，讓環(huán)下落到圖示位置，環(huán)的速度為，環(huán)所在處的磁感強(qiáng)度，方向與軸線成，則此時(shí)環(huán)內(nèi)感應(yīng)電流大小為多少？環(huán)所受的磁場(chǎng)力為多少？（答案：，）解析：取環(huán)上一小段的圓環(huán)為研究對(duì)象.作出受力圖如圖8所示。將分解為和兩分量。易得。二、流體問(wèn)題流體，是指能流動(dòng)的物質(zhì).本文中的流體，指廣義上的連續(xù)體問(wèn)題.處理流體問(wèn)題，通常我們選取體積元（或者質(zhì)量元）為研究對(duì)象，建立柱體模型.例2：水力采煤就是利用從高壓水槍中噴出來(lái)的強(qiáng)力水柱沖擊煤層而使煤層碎裂.設(shè)水槍的直徑為，水速為，水的密度為，水柱垂直地沖擊到豎直煤壁上后沿豎直煤壁流下，求水柱施于煤層上的沖力大小.解析：如圖9所示，取時(shí)間內(nèi)射到煤層的水為研究對(duì)象，設(shè)這部分水的質(zhì)量為，則 這部分水經(jīng)時(shí)間，其水平方向的動(dòng)量由變?yōu)榱?，根?jù)動(dòng)量定理，有，（表示水受到煤層的作用力，以水噴出的方向?yàn)檎较颍┕?由牛頓第三定律，水柱對(duì)煤層的作用力為例3：如圖10所示，長(zhǎng)為，質(zhì)量為的柔軟繩子盤放在水平桌面上，用手將繩子的一端以恒定的速度向上提起，求當(dāng)提起高度為時(shí)手的提力.解：當(dāng)提起高度為時(shí)，空中繩子的總重量，在時(shí)間內(nèi)提力中的一部分產(chǎn)生沖量使質(zhì)量的繩子獲得速度，則得 故當(dāng)提起高度為時(shí)手的提力 點(diǎn)評(píng)：本題中繩子的物理特性類似流體，故本文將繩子歸類于本模型.錯(cuò)解：對(duì)即將運(yùn)動(dòng)起來(lái)的一小段水平繩用動(dòng)能定理得.兩種解法答案不一樣，應(yīng)注意：下面一小段繩子由靜到動(dòng)實(shí)際上是一個(gè)范性過(guò)程，這個(gè)過(guò)程中會(huì)有一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能.類似于：圖11所示，在水平光滑的地面上有、兩個(gè)物體，中間由一根松弛的繩子相連，原來(lái)不動(dòng)，以速度向右運(yùn)動(dòng).當(dāng)繩子張緊后，、兩物以相同的速度一起運(yùn)動(dòng).在這個(gè)過(guò)程中，肯定有部分機(jī)械能轉(zhuǎn)變?yōu)閮?nèi)能，所以后一種解法是錯(cuò)誤的.同類練習(xí)：4.如圖12所示，一根均勻柔軟的鏈條懸掛在天花板上，且下端正好接觸地板.若松開(kāi)懸點(diǎn)，讓鏈條自由下落.試證明，在下落過(guò)程中，鏈條對(duì)地板的作用力等于已落在地板上的那段鏈條重量的3倍. 解析：鏈條柔軟，即已經(jīng)落地的那部分鏈條，以及正在下落的那部分鏈條之間，可以認(rèn)為無(wú)相互作用.所以，鏈條對(duì)地板的作用力，決定于已落地那段的重力與正在著地那部分的沖力，而與還在自由下落的那段無(wú)關(guān). 設(shè)鏈條單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為，當(dāng)有長(zhǎng)為的鏈條落地時(shí)，落地部分的重力為，即其對(duì)地板的壓力為 .這時(shí)，鏈條的下落速度，也即正著地的質(zhì)量元的速度為.設(shè)在時(shí)間內(nèi)，質(zhì)量元的速度減為零，在不計(jì)重力的條件下，它對(duì)地板平均沖力為，所以鏈條對(duì)地板的作用力為，正好等于已落地那段鏈條重力的三倍.5.如圖13所示是陰極射線管的示意圖，陰極加熱后產(chǎn)生熱電子.電子質(zhì)量為，電量為，經(jīng)電壓加速后，打在陽(yáng)極板上.設(shè)陽(yáng)極附近單位體積內(nèi)電子數(shù)為，電子打在陽(yáng)極上即被陽(yáng)極吸收，求陽(yáng)極受到的壓強(qiáng).（答案：）解析：在陽(yáng)極附近建立很小的“電流柱模型”.取“電流柱”中所有電子為研究對(duì)象，（式中表示“電流柱模型”的橫截面積）.取電子的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，設(shè)陽(yáng)極對(duì)“電流柱”的作用力為，由動(dòng)量定理，得.電子從極到極運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由動(dòng)能定理，故：.據(jù)牛頓第三定律“電流柱”對(duì)陽(yáng)極的壓力陽(yáng)極受到的壓強(qiáng)6有一宇宙飛船，它的正面面積，該飛船以的速度飛入一宇宙微粒塵區(qū)，此塵區(qū)每立方米空間有一個(gè)微粒，每個(gè)微粒平均質(zhì)量.若要使飛船速度保持不變，飛船的牽引力應(yīng)增加多少？（設(shè)微粒塵與飛船外殼碰撞后即附于飛船上） （答案：）7.某地強(qiáng)風(fēng)的風(fēng)速為，設(shè)空氣的密度為，如果把通過(guò)橫截面積為的風(fēng)的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為電能，求相應(yīng)的電功率？（答案：）8試用磁場(chǎng)對(duì)電流的安培力公式推導(dǎo)出電荷垂直于磁場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)的洛倫茲力.參考文獻(xiàn)：1.張大同. 金牌之路競(jìng)賽輔導(dǎo) 高中物理. 陜西：陜西師范大學(xué)出版社.2003 2.范小輝. 新編奧林匹克物理競(jìng)賽指導(dǎo). 江蘇：南京師范大學(xué)出版社.19995