高考數(shù)學(xué)人教A版(理)一輪復(fù)習(xí):第六篇 第3講 等比數(shù)列及其前n項和
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第3講 等比數(shù)列及其前n項和 A級 基礎(chǔ)演練 (時間:30分鐘 滿分:55分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1.在等比數(shù)列{an}中,a1=8,a4=a3a5,則a7= ( ). A. B. C. D. 解析 在等比數(shù)列{an}中a=a3a5,又a4=a3a5, 所以a4=1,故q=,所以a7=. 答案 B 2.已知等比數(shù)列{an}的前三項依次為a-1,a+1,a+4,則an= ( ). A.4·n B.4·n C.4·n-1 D.4·n-1 解析 (a+1)2=(a-1)(a+4)?a=5,a1=4,q=, ∴an=4·n-1. 答案 C 3.(2013·泰安模擬)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列.若a1>0,且2(an+an+2)=5an+1,則數(shù)列{an}的公比q= ( ). A.2 B. C.2或 D.3 解析 ∵2(an+an+2)=5an+1,∴2an+2anq2=5anq, 化簡得,2q2-5q+2=0,由題意知,q>1.∴q=2. 答案 A 4.(2013·江西盟校二模)在正項等比數(shù)列{an}中,Sn是其前n項和.若a1=1,a2a6=8,則S8= ( ). A.8 B.15(+1) C.15(-1) D.15(1-) 解析 ∵a2a6=a=8,∴aq6=8,∴q=,∴S8==15(+1). 答案 B 二、填空題(每小題5分,共10分) 5.(2013·廣州綜合測試)在等比數(shù)列{an}中,a1=1,公比q=2,若an=64,則n的值為________. 解析 因?yàn)閍n=a1qn-1且a1=1,q=2,所以64=26=1×2n-1,所以n=7. 答案 7 6.(2012·遼寧)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,且a=a10,2(an+an+2)=5an+1,則數(shù)列{an}的通項公式an=________. 解析 根據(jù)條件求出首項a1和公比q,再求通項公式.由2(an+an+2)=5an+1?2q2-5q+2=0?q=2或,由a=a10=a1q9>0?a1>0,又?jǐn)?shù)列{an}遞增,所以q=2.a=a10>0?(a1q4)2=a1q9?a1=q=2,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n. 答案 2n 三、解答題(共25分) 7.(12分)(2013·長春調(diào)研)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1(n∈N*). (1)求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,并寫出數(shù)列{an}的通項公式; (2)若數(shù)列{bn}滿足4b1-1·4b2-1·4b3-1·…·4bn-1=(an+1)n,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. (1)證明 ∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1), 又a1=1,∴a1+1=2≠0,an+1≠0, ∴=2, ∴數(shù)列{an+1}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列. ∴an+1=2n,可得an=2n-1. (2)解 ∵4b1-1·4b2-1·4b3-1·…·4bn-1=(an+1)n, ∴4b1+b2+b3+…+bn-n=2n2, ∴2(b1+b2+b3+…+bn)-2n=n2, 即2(b1+b2+b3+…+bn)=n2+2n, ∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=n2+n. 8.(13分)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,在數(shù)列{bn}中,b1=a1,bn=an-an-1(n≥2),且an+Sn=n. (1)設(shè)cn=an-1,求證:{cn}是等比數(shù)列; (2)求數(shù)列{bn}的通項公式. (1)證明 ∵an+Sn=n, ① ∴an+1+Sn+1=n+1, ② ②-①得an+1-an+an+1=1, ∴2an+1=an+1,∴2(an+1-1)=an-1, ∴=. ∵首項c1=a1-1,又a1+a1=1. ∴a1=,∴c1=-,公比q=. ∴{cn}是以-為首項,公比為的等比數(shù)列. (2)解 由(1)可知cn=·n-1=-n, ∴an=cn+1=1-n. ∴當(dāng)n≥2時,bn=an-an-1=1-n- =n-1-n=n. 又b1=a1=代入上式也符合,∴bn=n. B級 能力突破 (時間:30分鐘 滿分:45分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.(2012·全國)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,Sn=2an+1,則Sn= ( ). A.2n-1 B.n-1 C.n-1 D. 解析 當(dāng)n=1時,a1=1. 當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=2an+1-2an, 解得3an=2an+1,∴=. 又∵S1=2a2,∴a2=,∴=, ∴{an}從第二項起是以為公比的等比數(shù)列, ∴an= ∴Sn=n-1. 答案 B 2.(2013·威海模擬)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中,若a3a4a5=3π,則sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)的值為 ( ). A. B. C.1 D.- 解析 因?yàn)閍3a4a5=3π=a,所以a4=3. log3a1+log3a2+…+log3a7=log3(a1a2…a7)=log3a=7log33=,所以sin(log3a1+log3a2+…+log3a7)=. 答案 B 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù),且對任意的實(shí)數(shù)x,y∈R,都有f(x)·f(y)=f(x+y),若a1=,an=f(n)(n∈N*),則數(shù)列{an}的前n項和Sn的取值范圍是________. 解析 由已知可得a1=f(1)=,a2=f(2)=[f(1)]2=2,a3=f(3)=f(2)·f(1)=[f(1)]3=3,…,an=f(n)=[f(1)]n=n, ∴Sn=+2+3+…+n ==1-n, ∵n∈N*,∴≤Sn<1. 答案 4.(2012·蘇州二模)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,前n項和為Sn,給出下列四個命題:①數(shù)列為等比數(shù)列;②若a2+a12=2,則S13=13;③Sn=nan-d;④若d>0,則Sn一定有最大值. 其中真命題的序號是________(寫出所有真命題的序號). 解析 對于①,注意到=an+1-an=d是一個非零常數(shù),因此數(shù)列是等比數(shù)列,①正確.對于②,S13===13,因此②正確.對于③,注意到Sn=na1+d=n[an-(n-1)d]+d=nan-d,因此③正確.對于④,Sn=na1+d,d>0時,Sn不存在最大值,因此④不正確.綜上所述,其中正確命題的序號是①②③. 答案 ①②③ 三、解答題(共25分) 5.(12分)(2011·江西)已知兩個等比數(shù)列{an},{bn},滿足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3. (1)若a=1,求數(shù)列{an}的通項公式; (2)若數(shù)列{an}唯一,求a的值. 解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2,由b1,b2,b3成等比數(shù)列得(2+q)2=2(3+q2). 即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-. 所以數(shù)列{an}的通項公式為an=(2+)n-1或an=(2-)n-1. (2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0(*), 由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有兩個不同的實(shí)根. 由數(shù)列{an}唯一,知方程(*)必有一根為0, 代入(*)得a=. 6.(13分)(2012·合肥模擬)數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,a1=t,點(diǎn)(Sn,an+1)在直線y=3x+1上,n∈N*. (1)當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時,數(shù)列{an}是等比數(shù)列. (2)在(1)的結(jié)論下,設(shè)bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn是數(shù)列{cn}的前n項和,求Tn. 解 (1)∵點(diǎn)(Sn,an+1)在直線y=3x+1上, ∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1,且n∈N*). ∴an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,∴an+1=4an(n>1,n∈N*),a2=3S1+1=3a1+1=3t+1, ∴當(dāng)t=1時,a2=4a1,數(shù)列{an}是等比數(shù)列. (2)在(1)的結(jié)論下,an+1=4an,an+1=4n,bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4n-1+n, ∴Tn=c1+c2+…+cn=(40+1)+(41+2)+…+(4n-1+n) =(1+4+42+…+4n-1)+(1+2+3+…+n) =+. 特別提醒:教師配贈習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)計·高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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