實(shí)驗(yàn)十三探究單擺的擺長與周期的關(guān)系

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1、實(shí)驗(yàn)十三　探究單擺的擺長與周期的關(guān)系 考綱解讀 1.知道把單擺的運(yùn)動看做簡諧運(yùn)動的條件.2.會探究與單擺的周期有關(guān)的因素.3.會用單擺測定重力加速度． 基本實(shí)驗(yàn)要求 1．實(shí)驗(yàn)原理 當(dāng)偏角很小時，單擺做簡諧運(yùn)動，其運(yùn)動周期為T＝2π ，它與偏角的大小及擺球的質(zhì)量無關(guān)，由此得到g＝.因此，只要測出擺長l和振動周期T，就可以求出當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭的值． 2．實(shí)驗(yàn)器材 帶有鐵夾的鐵架臺、中心有小孔的金屬小球，不易伸長的細(xì)線(約1米)、秒表、毫米刻度尺和游標(biāo)卡尺． 3．實(shí)驗(yàn)步驟 (1)讓細(xì)線的一端穿過金屬小球的小孔，然后打一個比小孔大一些的線結(jié)，做成單擺． (2)把細(xì)線的上端用鐵夾

2、固定在鐵架臺上，把鐵架臺放在實(shí)驗(yàn)桌邊，使鐵夾伸到桌面以外，讓擺球自然下垂，在單擺平衡位置處作上標(biāo)記，如實(shí)驗(yàn)原理圖所示． (3)用毫米刻度尺量出擺線長度l′，用游標(biāo)卡尺測出擺球的直徑，即得出金屬小球半徑r，計(jì)算出擺長l＝l′＋r. (4)把單擺從平衡位置處拉開一個很小的角度(不超過5°)，然后放開金屬小球，讓金屬小球擺動，待擺動平穩(wěn)后測出單擺完成30～50次全振動所用的時間t，計(jì)算出金屬小球完成一次全振動所用時間，這個時間就是單擺的振動周期，即T＝(N為全振動的次數(shù))，反復(fù)測3次，再算出周期＝. (5)根據(jù)單擺周期公式T＝2π 計(jì)算當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭＝. (6)改變擺長，重做幾次實(shí)驗(yàn)，計(jì)

3、算出每次實(shí)驗(yàn)的重力加速度值，求出它們的平均值，該平均值即為當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎担? (7)將測得的重力加速度值與當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣戎迪啾容^，分析產(chǎn)生誤差的可能原因． 　　　規(guī)律方法總結(jié) 1．注意事項(xiàng) (1)構(gòu)成單擺的條件：細(xì)線的質(zhì)量要小、彈性要小，選用體積小、密度大的小球，擺角不超過5°. (2)要使擺球在同一豎直面內(nèi)擺動，不能形成圓錐擺，方法是將擺球拉到一定位置后由靜止釋放． (3)測周期的方法：①要從擺球過平衡位置時開始計(jì)時．因?yàn)榇颂幩俣却?、?jì)時誤差小，而最高點(diǎn)速度小、計(jì)時誤差大． ②要測多次全振動的時間來計(jì)算周期．如在擺球過平衡位置時開始計(jì)時，且在數(shù)“零”的同時按下秒表，以后每當(dāng)

4、擺球從同一方向通過平衡位置時計(jì)數(shù)1次． (4)本實(shí)驗(yàn)可以采用圖象法來處理數(shù)據(jù)．即用縱軸表示擺長l，用橫軸表示T2，將實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)在坐標(biāo)平面上標(biāo)出，應(yīng)該得到一條傾斜直線，直線的斜率k＝.這是在眾多的實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常采用的科學(xué)處理數(shù)據(jù)的重要辦法． 2．?dāng)?shù)據(jù)處理 處理數(shù)據(jù)有兩種方法：(1)公式法：測出30次或50次全振動的時間t，利用T＝求出周期；不改變擺長，反復(fù)測量三次，算出三次測得的周期的平均值，然后代入公式g＝求重力加速度． (2)圖象法： 由單擺周期公式不難推出：l＝T2，因此，分別測出一系列擺長l對應(yīng)的周期T，作l－T2的圖象，圖象應(yīng)是一條通過原點(diǎn)的直線，求出圖線的斜率k＝，即可利用g

5、＝4π2k求得重力加速度值，如圖1所示． 圖1 3．誤差分析 (1)系統(tǒng)誤差的主要來源：懸點(diǎn)不固定，球、線不符合要求，振動是圓錐擺而不是在同一豎直平面內(nèi)的振動等． (2)偶然誤差主要來自時間的測量上，因此，要從擺球通過平衡位置時開始計(jì)時，不能多計(jì)或漏計(jì)振動次數(shù)． 考點(diǎn)一　實(shí)驗(yàn)操作與誤差分析 例1　(2012·天津·9(2))某同學(xué)用實(shí)驗(yàn)的方法探究影響單擺周期的因素． ①他組裝單擺時，在擺線上端的懸點(diǎn)處，用一塊開有狹縫的橡皮夾牢擺線，再用鐵架臺的鐵夾將橡皮夾緊，如圖2所示．這樣做的目的是________(填字母代號)． 圖2 A．保證擺動過程中擺長不變 B．可使周期測

6、量得更加準(zhǔn)確 C．需要改變擺長時便于調(diào)節(jié) D．保證擺球在同一豎直平面內(nèi)擺動 ②他組裝好單擺后在擺球自然懸垂的情況下，用毫米刻度尺從懸點(diǎn)量到擺球的最低端的長度L＝0.999 0 m，再用游標(biāo)卡尺測量擺球直徑，結(jié)果如圖3所示，則該擺球的直徑為________mm，單擺擺長為________m. 圖3 ③下列振動圖象真實(shí)地描述了對擺長約為1 m的單擺進(jìn)行周期測量的四種操作過程，圖中橫坐標(biāo)原點(diǎn)表示計(jì)時開始，A、B、C均為30次全振動的圖象，已知sin 5°＝0.087，sin 15°＝0.26，這四種操作過程合乎實(shí)驗(yàn)要求且誤差最小的是____(填字母代號)． 解析?、僭凇疤骄坑绊憜?/p>

7、擺周期的因素”實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)使單擺在擺動過程中擺長不變，而且擺長便于調(diào)節(jié)，故選項(xiàng)A、C正確，選項(xiàng)B、D錯誤． ②擺球的直徑 d＝12 mm＋0×0.1 mm＝12.0 mm 擺長l＝L－＝0.999 0 m－0.006 0 m＝0.993 0 m. ③單擺振動的擺角θ≤5°，當(dāng)θ＝5°時單擺振動的振幅A＝lsin 5°＝0.087 m＝8.7 cm，且為了計(jì)時準(zhǔn)確，應(yīng)在擺球擺至平衡位置時開始計(jì)時，故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B、C、D錯誤． 答案?、貯C?、?2.0　0.993 0?、跘 變式題組 1．[實(shí)驗(yàn)操作](2013·安徽·21Ⅰ)根據(jù)單擺周期公式T＝2π，可以通過實(shí)驗(yàn)測量當(dāng)?shù)氐闹亓?/p>

8、速度．如圖4甲所示，將細(xì)線的上端固定在鐵架臺上，下端系一小鋼球，就做成了單擺． 圖4 (1)用游標(biāo)卡尺測量小鋼球直徑，示數(shù)如圖乙所示，讀數(shù)為________mm. (2)以下是實(shí)驗(yàn)過程中的一些做法，其中正確的有________． a．?dāng)[線要選擇細(xì)些的、伸縮性小些的，并且盡可能長一些 b．?dāng)[球盡量選擇質(zhì)量大些、體積小些的 c．為了使擺的周期大一些，以方便測量，開始時拉開擺球，使擺線相距平衡位置有較大的角度 d．拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于5°，在釋放擺球的同時開始計(jì)時，當(dāng)擺球回到開始位置時停止計(jì)時，此時間間隔Δt即為單擺周期T e．拉開擺球，使擺線偏離平衡位置不大于

9、5°，釋放擺球，當(dāng)擺球擺動穩(wěn)定后，從平衡位置開始計(jì)時，記下擺球做50次全振動所用的時間Δt，則單擺周期T＝ 答案　(1)18.6　(2)abe 解析　(1)十分度游標(biāo)尺的第6個刻度線與主尺刻度線對齊，所以讀數(shù)為18.6 mm.(2)對于單擺，擺線質(zhì)量可忽略且不可伸長，所以應(yīng)選伸縮性小的細(xì)線，擺球應(yīng)選密度較大、體積小的鋼球；為使擺的周期大一些，由T＝2π 知，擺線應(yīng)長些，所以選項(xiàng)a、b正確，為使單擺具有等時性，擺角應(yīng)小于5°，要減小測量周期的誤差，計(jì)時起點(diǎn)應(yīng)選在擺球的平衡位置，且測量多次(N)全振動的總時間(Δt)，然后再算出周期T＝，選項(xiàng)e正確． 2．[誤差分析]某實(shí)驗(yàn)小組在利用單擺測定

10、當(dāng)?shù)刂亓铀俣鹊膶?shí)驗(yàn)中： 圖5 (1)用游標(biāo)卡尺測定擺球的直徑，測量結(jié)果如圖5所示，則該擺球的直徑為________cm. (2)小組成員在實(shí)驗(yàn)過程中有如下說法，其中正確的是________(填選項(xiàng)前的字母)． A．把單擺從平衡位置拉開30°的擺角，并在釋放擺球的同時開始計(jì)時 B．測量擺球通過最低點(diǎn)100次的時間t，則單擺周期為 C．用懸線的長度加擺球的直徑作為擺長，代入單擺周期公式計(jì)算得到的重力加速度值偏大 D．選擇密度較小的擺球，測得的重力加速度值誤差較小 答案　(1)0.97　(2)C 解析　(1)由游標(biāo)尺的“0”刻線在主尺上的位置讀出擺球直徑的整毫米數(shù)為9mm=0

11、.9 cm，游標(biāo)尺中第7條刻度線與主尺刻度線對齊，所以應(yīng)為0.07 cm，所以擺球直徑為0.9 cm＋0.07 cm＝0.97 cm. (2)單擺應(yīng)從最低點(diǎn)計(jì)時，故A錯；因一個周期內(nèi)，單擺有2次通過最低點(diǎn)，故B錯；由T＝2π得，g＝，若用懸線的長度加擺球的直徑作為擺長，則g偏大，C對；因空氣阻力的影響，選密度小的擺球，測得的g值誤差大，D錯． 考點(diǎn)二　實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理 例2　在探究單擺周期與擺長關(guān)系的實(shí)驗(yàn)中， (1)關(guān)于安裝儀器及測量時的一些實(shí)驗(yàn)操作，下列說法中正確的是(　　) A．用米尺測出擺線的長度，記為擺長l B．先將擺球和擺線放在水平桌面上測量擺長l，再將單擺懸掛在鐵架臺上

12、 C．使擺線偏離豎直方向某一角度α(接近5°)，然后由靜止釋放擺球 D．測出擺球兩次通過最低點(diǎn)的時間間隔記為此單擺振動的周期 (2)實(shí)驗(yàn)測得的數(shù)據(jù)如下表所示： 次數(shù) 1 2 3 4 5 擺長l/cm 80.00 90.00 100.00 110.00 120.00 30次全振動時間t/s 53.8 56.9 60.0 62.8 65.7 振動周期T/s 1.79 1.90 2.00 2.09 2.19 振動周期的平方T2/s2 3.20 3.61 4.00 4.37 4.80 請將測量數(shù)據(jù)標(biāo)在圖6中，并在圖中作出T2隨l變化的關(guān)

13、系圖象． 圖6 (3)根據(jù)數(shù)據(jù)及圖象可知單擺周期的平方與擺長的關(guān)系是________． (4)根據(jù)圖象，可求得當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹開_______m/s2.(π＝3.14，結(jié)果保留3位有效數(shù)字) 解析　(1)本實(shí)驗(yàn)中，應(yīng)將擺球和擺線組成單擺之后再測量其擺長，擺長應(yīng)為懸點(diǎn)到擺球球心的距離，故A、B錯誤；測量單擺的周期時，應(yīng)為相鄰兩次通過最低點(diǎn)并且通過最低點(diǎn)的速度方向相同，即單擺做一次全振動，這段時間才為一個周期，為了減小誤差，須測量單擺的多個周期，然后再取平均值求出一個周期，故D錯誤；單擺在擺角小于5°時可認(rèn)為做簡諧運(yùn)動，故C正確． (2)通過描點(diǎn)、連線可得到單擺的T2－l圖象，近似

14、為一條直線． (3)通過作出的圖象說明單擺周期的平方和擺長成正比． (4)根據(jù)圖象求出圖線的斜率k，再根據(jù)單擺的周期公式可得g＝，進(jìn)而求出重力加速度g. 答案　(1)C　(2)如圖所示 (3)成正比　(4)9.86 變式題組 3．[數(shù)據(jù)處理]下表是用單擺測定重力加速度實(shí)驗(yàn)中獲得的有關(guān)數(shù)據(jù)： 擺長l m 0.5 0.6 0.8 1.1 周期T2 s2 2.0 2.4 3.2 4.4 (1)利用上述數(shù)據(jù)，在圖7的坐標(biāo)系中描繪出l－T2圖象． 圖7 (2)利用圖象，取T2＝4.2 s2時，l＝________ m，重力加速度g＝________ m/s2

15、.(結(jié)果保留三位有效數(shù)字) 答案　(1)見解析圖　(2)1.05　9.86 解析　由T＝2π得l＝T2，所以圖象是過原點(diǎn)且斜率為的一條直線． (1)l－T2圖象如圖所示． (2)T2＝4.2 s2時，從圖中可讀出其擺長l＝1.05 m，將T2和l代入公式g＝，得g≈9.86 m/s2. 4．[數(shù)據(jù)處理]某同學(xué)在“用單擺測定重力加速度”的實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行了如下的操作： (1)用游標(biāo)尺上有10個小格的游標(biāo)卡尺測量擺球的直徑如圖8甲所示，可讀出擺球的直徑為________ cm.把擺球用細(xì)線懸掛在鐵架臺上，測量擺線長，通過計(jì)算得到擺長L. 圖8 (2)用秒表測量單擺的周期．當(dāng)單擺擺

16、動穩(wěn)定且到達(dá)最低點(diǎn)時開始計(jì)時并記為n＝1，單擺每經(jīng)過最低點(diǎn)記一次數(shù)，當(dāng)數(shù)到n＝60時秒表的示數(shù)如圖乙所示，該單擺的周期是T＝________ s(結(jié)果保留三位有效數(shù)字)． (3)測量出多組周期T、擺長L的數(shù)值后，畫出T2－L圖線如圖丙，此圖線斜率的物理意義是(　　) A．g B. C. D. (4)在(3)中，描點(diǎn)時若誤將擺線長當(dāng)作擺長，那么畫出的直線將不通過原點(diǎn)，由圖線斜率得到的重力加速度與原來相比，其大小(　　) A．偏大 B．偏小 C．不變 D．都有可能 (5)該小組的另一同學(xué)沒有使用游標(biāo)卡尺也測出了重力加速度，他采用的方法是：先測出一擺線較長的單擺的振動周期T1，

17、然后把擺線縮短適當(dāng)?shù)拈L度ΔL，再測出其振動周期T2.用該同學(xué)測出的物理量表示重力加速度g＝________. 答案　(1)2.06　(2)2.28　(3)C (4)C　(5) 解析　(1)擺球的直徑為d＝20 mm＋6× mm＝20.6 mm＝2.06 cm.(2)秒表的讀數(shù)為t＝60 s＋7.4 s＝67.4 s，根據(jù)題意t＝T＝T，所以周期T＝≈2.28 s．(3)根據(jù)單擺周期公式T＝2π，可得＝＝k(常數(shù))，所以選項(xiàng)C正確．(4)因?yàn)椋剑絢(常數(shù))，所以＝＝k，若誤將擺線長當(dāng)作擺長，畫出的直線將不通過原點(diǎn)，但圖線的斜率仍然滿足＝＝k，所以由圖線的斜率得到的重力加速度不變．(5)根據(jù)

18、(4)的分析，＝，所以g＝＝. 5．[數(shù)據(jù)處理]有兩個同學(xué)利用假期分別去參觀北大和南大的物理實(shí)驗(yàn)室，各自利用先進(jìn)的DIS系統(tǒng)較準(zhǔn)確地探究了“單擺的周期T與擺長L的關(guān)系”，他們通過校園網(wǎng)交換了實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并由計(jì)算機(jī)繪制了T2－L圖象，如圖9甲所示 .去北大的同學(xué)們所測實(shí)結(jié)果對應(yīng)的圖線是________(選填“A”或“B”)．另外，在南大做探究的同學(xué)還利用計(jì)算機(jī)繪制了兩種單擺的振動圖象(如圖乙)，由圖可知，兩單擺擺長之比＝________. 圖9 答案　B　2 解析　由T＝2π得，T2＝L，根據(jù)題圖甲可知＞，即gA＜gB，因?yàn)楸贝蟾拷睒O，其所在的重力加速度更大些，所以應(yīng)選B；根據(jù)題圖

19、甲可知＝·＝＝，由題圖乙可得＝，根據(jù)T2＝L得＝2. 考點(diǎn)三　實(shí)驗(yàn)拓展與創(chuàng)新 例3　(1)在“探究單擺周期與擺長的關(guān)系”實(shí)驗(yàn)中，兩位同學(xué)用游標(biāo)卡尺測量小球的直徑的操作如圖10甲、乙所示．測量方法正確的是________(選填“甲”或“乙”)． 圖10 (2)實(shí)驗(yàn)時，若擺球在垂直紙面的平面內(nèi)擺動，為了將人工記錄振動次數(shù)改為自動記錄振動次數(shù)，在擺球運(yùn)動的最低點(diǎn)的左、右兩側(cè)分別放置一激光光源與光敏電阻，如圖11甲所示．光敏電阻與某一自動記錄儀相連，該儀器顯示的光敏電阻阻值R隨時間t的變化圖線如圖乙所示，則該單擺的振動周期為________．若保持懸點(diǎn)到小球頂點(diǎn)的繩長不變，改用直徑是原小球

20、直徑2倍的另一小球進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，則該單擺的周期將________(填“變大”“不變”或“變小”)，圖乙中的Δt將________(填“變大”“不變”或“變小”)． 圖11 解析　(1)游標(biāo)卡尺應(yīng)該用兩外測量爪對齊的地方測量，正確的是圖乙． (2)一個周期內(nèi)小球應(yīng)該兩次經(jīng)過最低點(diǎn)，使光敏電阻的阻值發(fā)生變化，故周期為t1＋2t0－t1＝2t0；小球的直徑變大后，擺長變長，周期變大；同時小球直徑變大后使得每次經(jīng)過最低點(diǎn)時擺球的擋光的時間變長，即Δt變大． 答案　(1)乙　(2)2t0　變大　變大 變式題組 6．[實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新]為了研究滑塊的運(yùn)動，選用滑塊、鉤碼、紙帶、毫米刻度尺、帶滑輪的木板

21、以及由漏斗和細(xì)線構(gòu)成的單擺等組成如圖12甲所示裝置，實(shí)驗(yàn)中，滑塊在鉤碼作用下拖動紙帶做勻加速直線運(yùn)動，同時讓單擺垂直于紙帶運(yùn)動方向做小擺幅擺動，漏斗可以漏出很細(xì)的有色液體，在紙帶上留下的痕跡記錄了漏斗在不同時刻的位置，如圖乙所示． 圖12 (1)漏斗和細(xì)線構(gòu)成的單擺在該實(shí)驗(yàn)中所起的作用與下列哪個儀器相同？________(填寫儀器序號)． A．打點(diǎn)計(jì)時器　B．秒表　C．毫米刻度尺　D．電流表 (2)已知單擺周期T＝2 s，在圖乙中AB＝24.10 cm，BC＝27.90 cm、CD＝31.90 cm、DE＝36.10 cm，則單擺在經(jīng)過D點(diǎn)時，滑塊的瞬時速度為vD＝________

22、 m/s，滑塊的加速度為a＝________ m/s2(結(jié)果保留兩位小數(shù))． 答案　(1)A　(2)0.34　0.04 解析　(1)單擺振動具有周期性，擺球每隔半個周期經(jīng)過紙帶中線一次，單擺在該實(shí)驗(yàn)中所起的作用與打點(diǎn)計(jì)時器相同，故選A. (2)在勻變速直線運(yùn)動中時間中點(diǎn)的瞬時速度大小等于該過程中的平均速度大小，故有vD＝＝0.34 m/s據(jù)勻變速直線運(yùn)動的推論Δx＝aT2，有： x4－x2＝2a1()2 ①　x3－x1＝2a2()2 ② 聯(lián)立①②有：a＝＝ 代入數(shù)據(jù)得a＝0.04 m/s2 7. [實(shí)驗(yàn)創(chuàng)新]將一單擺裝置豎直懸掛于某一深度為h(未知)且開口向下的小筒中(單擺的下部

23、分露于筒外)，如圖13所示，將懸線拉離平衡位置一個小角度后由靜止釋放，單擺振動過程中懸線不會碰到筒壁，如果本實(shí)驗(yàn)的長度測量工具只能測量出筒的下端口到擺球球心的距離L，并通過改變L而測出對應(yīng)的擺動周期T，再以T2為縱軸、L為橫軸作出T2－L函數(shù)關(guān)系圖象，那么就可以通過此圖象得出小筒的深度h和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭. 圖13 (1)如果實(shí)驗(yàn)中所得到的T2－L關(guān)系圖象如圖14所示，那么真正的圖象應(yīng)該是a、b、c中的________； 圖14 (2)由圖可知，小筒的深度h＝________ m，當(dāng)?shù)刂亓λ俣萭＝________ m/s2；(計(jì)算結(jié)果保留三位有效數(shù)字) (3)在實(shí)驗(yàn)中，每次

24、測量時總是錯誤地把擺線加上球直徑當(dāng)成了擺長，如果仍然采用題中圖象方法處理數(shù)據(jù)，你認(rèn)為會對實(shí)驗(yàn)結(jié)果造成怎么樣的影響？對h的影響是________，對g的影響是________． A．無影響　B．比真實(shí)值小　C．比真實(shí)值大　D．不確定 答案　(1)a　(2)0.315　9.86　(3)B　A 解析　(1)由單擺周期公式T＝2π 得T2＝＋ 當(dāng)L＝0時，T2＝＞0，則真正的圖象是a. (2)當(dāng)T2＝0時，L＝－h(huán)，即圖象與L軸交點(diǎn)坐標(biāo)h＝－L＝31.5 cm＝0.315 m．圖線的斜率大小k＝，由圖象可得k＝4，代入解得：g≈9.86 m/s2. (3)根據(jù)(1)中分析可知把擺線加上球直徑當(dāng)成了擺長，即L偏大，導(dǎo)致圖線的縱軸截距偏小，斜率不變．故對h的影響是比真實(shí)值小，對g的值沒有影響．