江蘇省揚州屆高三四模5月 數(shù)學(xué) Word版含答案
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1、 江蘇省揚州中學(xué)高三模擬考試 數(shù)學(xué)試題 2016.5.20 一、填空題:(共14題,總分70分) 1.已知集合,,則等于 ▲ . 2.已知虛數(shù)滿足,則 ▲ . 3.對一批產(chǎn)品的長度(單位:毫米)進行抽樣檢測,樣本容量為400,右圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖.根據(jù)產(chǎn)品標準,單件產(chǎn)品長度在區(qū)間[25,30)的為一等品,在區(qū)間[20,25)和[30,35)的為二等品,其余均為三等品.則樣本中三等品的件數(shù)為 ▲ . 10 15 20 25 30 40 35 (第3題) 0.0125 0.
2、0500 0.0625 0.0250 0.0375 長度/毫米 4.在平面直角坐標系xOy中,“雙曲線的標準方程為”是“雙曲線的漸近線方程為”成立的 ▲ 條件.(填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“非充分非必要”中的一種) 5. 下圖是一個算法流程圖,則輸出的的值是 ▲ 。 6.如果實數(shù)滿足線性約束條件,則的最小值等于 ▲ . 7. 為強化安全意識,某校擬在周一至周五的五天中隨機選擇2天進行緊急疏散演練,則選擇的2天恰好為連續(xù)2天的概率是 ▲ . 8. 設(shè),,為三條不同的
3、直線,給出如下兩個命題: ①若,,則;②若,,則. 試類比以上某個命題,寫出一個正確的命題:設(shè),,為三個不同的平面, ▲ . 9..若數(shù)列滿足(為常數(shù)),則稱數(shù)列為等比和數(shù)列,k稱為公比和.已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列,其中,則 ▲ . 10.函數(shù)的所有零點之和為 ▲ . 11.已知,,則的值為 ▲ . 12.如果將直線:向左平移1個單位,再向下平移2個單位,所得直線與圓:相切,則實數(shù)的值構(gòu)成的集合為 ▲ . 13.已知點為△的重心,且,,則的值為 ▲ . 14.若冪函數(shù)(a)及其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0,)上的單調(diào)性一
4、致(同為增函數(shù)或同為減函數(shù)),則實數(shù)a的取值范圍是 ▲ . 二、 解答題:本大題共6小題,共90分. 解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟. 15. (本小題滿分14分) 在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知=,A+3C=π. (1) 求cosC的值; (2) 求sinB的值; (3) 若b=3,求△ABC的面積. 16. (本小題滿分14分) 如圖,四邊形AA1C1C為矩形,四邊形CC1B1B為菱形,且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C,D、E分別為A1B1、C1C的中點.求證: (1) BC1⊥平面AB1C; (2) DE∥平
5、面AB1C. 17.(本小題滿分14分) 如圖,某水域的兩直線型岸邊l1,l2 成定角120o,在該水域中位于該角角平分線上且與頂點A相距1公里的D處有一固定樁.現(xiàn)某漁民準備經(jīng)過該固定樁安裝一直線型隔離網(wǎng)BC(B,C分別在l1和l2上),圍出三角形ABC養(yǎng)殖區(qū),且AB和AC都不超過5公里.設(shè)AB=x公里,AC=y(tǒng)公里. (1)將y表示成x的函數(shù),并求其定義域; (2)該漁民至少可以圍出多少平方公里的養(yǎng)殖區(qū)? 18.(本題滿分16分) 定義:如果一個菱形的四個頂點均在一個橢圓上,那么該菱形叫做這個橢圓的內(nèi)接菱形,且該菱形的對角線的交點為這個橢圓的中心. 如圖,在平
6、面直角坐標系中,設(shè)橢圓的所有內(nèi)接菱形構(gòu)成的集合為. (1)求中菱形的最小的面積; (2)是否存在定圓與中的菱形都相切?若存在,求出定圓的方程;若不存在,說明理由; (3)當(dāng)菱形的一邊經(jīng)過橢圓的右焦點時,求這條 邊所在的直線的方程. 19.(本題滿分16分) 設(shè)函數(shù),的定義域均為,且是奇函數(shù),是偶函數(shù), 其中為自然對數(shù)的底數(shù). (1)求,的表達式; (2)設(shè),,,證明:. 20. 己知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列. (1)若(n∈N*),求證:為等比數(shù)列; (2)設(shè)(n∈N*
7、),其中是公差為2的整數(shù)項數(shù)列,,若 ,且當(dāng)時,是遞減數(shù)列,求數(shù)列的通項公式; (3)若數(shù)列使得是等比數(shù)列,數(shù)列的前項和為,且數(shù)列滿足:對任意,N*,或者恒成立或者存在正常數(shù),使恒成立,求證:數(shù)列為等差數(shù)列. 附加題 1. (本小題滿分10分)已知矩陣 (1)求; (2)滿足AX=二階矩陣X 2. (本小題滿分10分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),且曲線上的點對應(yīng)的參數(shù),以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求曲線的普通方程; (2)若是曲線上的兩點,求的值. 3、(本小題滿分10分)
8、某公司有10萬元資金用于投資,如果投資甲項目,根據(jù)市場分析知道:一年后可能獲利10%,可能損失10%,可能不賠不賺,這三種情況發(fā)生的概率分別為,,;如果投資乙項目,一年后可能獲利20%,也可能損失20%,這兩種情況發(fā)生的概率分別為α和β(α+β=1). (1) 如果把10萬元投資甲項目,用X表示投資收益(收益=回收資金-投資資金),求X的概率分布列及數(shù)學(xué)期望E(X); (2) 若10萬元資金投資乙項目的平均收益不低于投資甲項目的平均收益,求α的取值范圍. 4.(本小題滿分10分) 設(shè)為虛數(shù)單位,為正整數(shù). (1)證明:; (2)結(jié)合等式“”證明: .
9、 江蘇省揚州中學(xué)高三數(shù)學(xué)五月質(zhì)量檢測參考答案 一、填空題:(共14題,總分70分) 1.已知集合,,則等于 ▲ . 1. 2.已知虛數(shù)滿足,則 ▲ . 2. 3. 對一批產(chǎn)品的長度(單位:毫米)進行抽樣檢測,樣本容量為400,右圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖.根據(jù)產(chǎn)品標準,單件產(chǎn)品長度在區(qū)間[25,30)的為一等品,在區(qū)間[20,25)和[30,35)的為二等品,其余均為三等品.則樣本中三等品的件數(shù)為 ▲ . 3. 【答案】100
10、 4.在平面直角坐標系xOy中,“雙曲線的標準方程為”是“雙曲線的漸近線方程為”成立的 ▲ 條件.(填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“非充分非必要”中的一種) 4.【答案】充分非必要 5. 下圖是一個算法流程圖,則輸出的的值是 5.59 6.如果實數(shù)滿足線性約束條件,則的最小值等于 . 6. 7. 為強化安全意識,某校擬在周一至周五的五天中隨機選擇2天進行緊急疏散演練,則選擇的2天恰好為連續(xù)2天的概率是 .[來源:學(xué)#科#網(wǎng)Z#X#X#K] 7. 8. 設(shè),,為三條不同的直線,給出如下兩個命題:
11、 ①若,,則;②若,,則. 試類比以上某個命題,寫出一個正確的命題:設(shè),,為三個不同的平面, ▲ . 8.若,,則 9..若數(shù)列滿足(為常數(shù)),則稱數(shù)列為等比和數(shù)列,k稱為公比和.已知數(shù)列是以3為公比和的等比和數(shù)列,其中,則 . 9. 10.函數(shù)的所有零點之和為 . 10.答案:8 方程即,令,,這兩個函數(shù)的圖象都關(guān)于點對稱,在區(qū)間內(nèi)共有8個零點,從左往右記為,則,故所有零點和為8. 11.已知,,則的值為 ▲ . 11.【解析】 . 12.如果將直線:向左平移1個單位,再向下平移2個單位,所得直線
12、與圓:相切,則實數(shù)的值構(gòu)成的集合為 ▲ . 12.易得直線:,即,圓:的圓心到直線:的距離,解得或. 13.如圖,點為△的重心,且,,則的值為 ▲ . 13.以AB的中點M為坐標原點,AB為x軸建立 平面直角坐標系,則,, 設(shè),則, 因為OAOB,所以,從而, 化簡得,, 所以. 14.若冪函數(shù)(a)及其導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(0,)上的單調(diào)性一致(同為增函數(shù)或同為減函數(shù)),則實數(shù)a的取值范圍是 ▲ . 14.【答案】 【解析】易得,,當(dāng)時,,;當(dāng)時,,;當(dāng)時,,;當(dāng)時,, ;當(dāng)時,,,綜上得,. 二、 解答題:本大題共6小題,共90分. 解答時應(yīng)寫出必要的文字說
13、明、證明過程或演算步驟. 15. (本小題滿分14分) 在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知c(b)=3(3),A+3C=π. (1) 求cosC的值; (2) 求sinB的值; (3) 若b=3,求△ABC的面積. 15. 解:(1) 因為A+B+C=π,A+3C=π,所以B=2C.(2分) 又由正弦定理,得sinB(b)=sinC(c),c(b)=sinC(sinB),3(3)=sinC(2sinCcosC),化簡,得cosC=3(3).(5分) (2) 因為C∈(0,π),所以sinC==3(1)=3(6). 所以sinB=sin2C=2sinCcos
14、C=2×3(6)×3(3)=3(2).(8分) (3) 因為B=2C,所以cosB=cos2C=2cos2C-1=2×3(1)-1=-3(1).(10分) 因為A+B+C=π, 所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=3(2)×3(3)+3(1)×3(6)=9(6).(12分) 因為c(b)=3(3),b=3,所以c=2(9). 所以△ABC的面積S=2(1)bcsinA=2(1)×3×2(9)×9(6)=4(2).(14分) 16. (本小題滿分14分) 如圖,四邊形AA1C1C為矩形,四邊形CC1B1B為菱形,且平面CC1B1B⊥平面AA1C1C,
15、D、E分別為A1B1、C1C的中點.求證: (1) BC1⊥平面AB1C; (2) DE∥平面AB1C. 16. 證明:(1) ∵ 四邊形AA1C1C為矩形,∴ AC⊥C1C.(1分) 又平面CC1B1B⊥平面AA1C1C,平面CC1B1B∩平面AA1C1C=CC1, ∴ AC⊥平面CC1B1B.(3分) ∵ C1B平面CC1B1B, ∴ AC⊥C1B.(4分) 又四邊形CC1B1B為菱形,∴ B1C⊥BC1.(5分) ∵ B1C∩AC=C,AC平面AB1C, B1C平面AB1C,∴ BC1⊥平面AB1C.(7分) (2) 取AA1的中點F,連結(jié)DF,EF. ∵ 四邊
16、形AA1C1C為矩形,E,F(xiàn)分別為C1C,AA1的中點,∴ EF∥AC. 又EF平面AB1C,AC平面AB1C,∴ EF∥平面AB1C.(9分) ∵ D,F(xiàn)分別為邊A1B1,AA1的中點,∴ DF∥AB1. 又DF平面AB1C,AB1平面AB1C,∴ DF∥平面AB1C. ∵ EF∩DF=F,EF平面DEF,DF平面DEF, ∴ 平面DEF∥平面AB1C.(12分) ∵ DE平面DEF, ∴ DE∥平面AB1C.(14分) 17.(本小題滿分14分) 如圖,某水域的兩直線型岸邊l1,l2 成定角120o,在該水域中位于該角角平分線上且與頂點A相距1公里的D處有一固定樁.現(xiàn)某漁
17、民準備經(jīng)過該固定樁安裝一直線型隔離網(wǎng)BC(B,C分別在l1和l2上),圍出三角形ABC養(yǎng)殖區(qū),且AB和AC都不超過5公里.設(shè)AB=x公里,AC=y(tǒng)公里. (1)將y表示成x的函數(shù),并求其定義域; (2)該漁民至少可以圍出多少平方公里的養(yǎng)殖區(qū)? 試題解析:解:(1)由SΔABD+SΔACD=SΔABC 得xsin60o+ysin60o=xysin120o …………… 2分 所以x+y=xy,所以y= …………… 4分 又0<y≤5,0<x≤5,所以≤x≤5 所以定義
18、域為{x|≤x≤5} ……………… 6分 18.(本題滿分16分) 定義:如果一個菱形的四個頂點均在一個橢圓上,那么該菱形叫做這個橢圓的內(nèi)接菱形,且該菱形的對角線的交點為這個橢圓的中心. 如圖,在平面直角坐標系中,設(shè)橢圓的所有內(nèi)接菱形構(gòu)成的集合為. (1)求中菱形的最小的面積; (2)是否存在定圓與中的菱形都相切?若存在, 求出定圓的方程;若不存在,說明理由; (3)當(dāng)菱形的一邊經(jīng)過橢圓的右焦點時,求這條 邊所在的直線的方程. 18.解:(1)如圖,設(shè),, 當(dāng)菱形的對角線在坐標軸上時
19、,其面積為; 當(dāng)菱形的對角線不在坐標軸上時,設(shè)直線的方程為:,① 則直線的方程為:, 又橢圓, ② 由①②得,,, 從而, 同理可得,,(3分) 所以菱形的面積為 (當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立), 綜上得,菱形的最小面積為;(6分) (2)存在定圓與中菱形的都相切,設(shè)原點到菱形任一邊的距離為, 下證:,
20、證明:由(1)知,當(dāng)菱形的對角線在坐標軸上時,, 當(dāng)菱形的對角線不在坐標軸上時, ,即得, 綜上,存在定圓與中的菱形都相切;(12分) (3)設(shè)直線的方程為,即, 則點到直線的距離為, 解得, 所以直線的方程為.(16分) 19.(本題滿分16分) 設(shè)函數(shù),的定義域均為,且是奇函數(shù),是偶函數(shù), 其中為自然對數(shù)的底數(shù). (1)求,的表達式; (2)設(shè),,,證明:. 解:(1)由得,, 因為是奇函數(shù),是偶函數(shù), 所以, 從而,(4分)
21、 (2)當(dāng)時,, 所以,.(6分) 由(1)得,,,(8分) 當(dāng)時,, , 設(shè)函數(shù),(10分) 則,(12分) 若,,則,故為上增函數(shù), 所以, 若,,則,故為上減函數(shù), 所以, 綜上知,.(16分) 20. 己知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列. (1)若(n∈N*),求證:為等比數(shù)列; (2)設(shè)(n∈N*),其中是公差為2的整數(shù)項數(shù)列,
22、,若 ,且當(dāng)時,是遞減數(shù)列,求數(shù)列的通項公式; (3)若數(shù)列使得是等比數(shù)列,數(shù)列的前項和為,且數(shù)列滿足:對任意,N*,或者恒成立或者存在正常數(shù),使恒成立,求證:數(shù)列為等差數(shù)列. (1)證明:,設(shè)公差為且,公比為, =常數(shù), 為等比數(shù)列………3分 (2)由題意得:對恒成立且對恒成立,…5分 對恒成立 …… ……7分 對恒成立 ………… ……9分 而 或或. ………… ……10分 (3)證明:設(shè) 不妨
23、設(shè), ,即. ………… ……13分 若,滿足, 若,則對任給正數(shù)M,則取內(nèi)的正整數(shù)時, ,與矛盾. 若,則對任給正數(shù)T=,則取內(nèi)的正整數(shù)時=,與矛盾. ,而是等差數(shù)列,設(shè)公差為, 為定值,為等差數(shù)列. ………… ……16分 附加題答案 1.已知矩陣 (1)求; (2)滿足AX=二階矩陣X 1.解:(1) ………4分 (2) ………10分 2.在平面直
24、角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),且 曲線上的點對應(yīng)的參數(shù),以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)求曲線的普通方程; (2)若是曲線上的兩點,求的值. (1) (2) 3、某公司有10萬元資金用于投資,如果投資甲項目,根據(jù)市場分析知道:一年后可能獲利10%,可能損失10%,可能不賠不賺,這三種情況發(fā)生的概率分別為2(1),4(1),4(1);如果投資乙項目,一年后可能獲利20%,也可能損失20%,這兩種情況發(fā)生的概率分別為α和β(α+β=1). (1) 如果把10萬元投資甲項目,用X表示投資收益(收益=回收資金-投資資金),求X的概率分布列及數(shù)學(xué)
25、期望E(X); (2) 若10萬元資金投資乙項目的平均收益不低于投資甲項目的平均收益,求α的取值范圍. 3. 解:(1) 依題意,X的可能取值為1,0,-1,(2分) X的分布列為 X 1 0 -1 P 2(1) 4(1) 4(1) (4分) E(X)=1×2(1)-1×4(1)=4(1).(5分) (2) 設(shè)Y表示10萬元投資乙項目的收益,則Y的分布列為 Y 2 -2 P α β (8分) E(Y)=2α-2β=4α-2,依題意要求4α-2≥4(1),∴ 16(9)≤α≤1.(10分) 23.(本小題滿分10分)
26、設(shè)為虛數(shù)單位,為正整數(shù). (1)證明:; (2)結(jié)合等式“”證明: . 證明:(1)①當(dāng)時,,即證; ②假設(shè)當(dāng)時,成立, 則當(dāng)時, , 故命題對時也成立, 由①②得,;(5分) (2)由(1)知,, 其實部為; , 其實部為, 根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等,其實部也相等可得: .(10分)
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