2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.5 平面向量應(yīng)用舉例1課件 新人教A版必修4.ppt

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1、2.5.1 平面幾何中的向量方法,向量方法解決平面幾何問題 問題思考 1.想一想:向量可以解決哪些常見的平面幾何問題? 提示(1)解決有關(guān)夾角、長度等的計算或度量問題;(2)解決直線平行、垂直、三點共線、三線共點等位置關(guān)系的判斷與證明問題. 2.填空:由于向量的線性運算和數(shù)量積運算具有鮮明的幾何背景,平面幾何圖形的許多性質(zhì),如平移、全等、相似、長度、夾角等都可以由向量的線性運算及數(shù)量積表示出來,因此,可用向量方法解決平面幾何中的一些問題.,,,,,3.平面幾何問題與平面向量之間的對應(yīng)關(guān)系:,4.填空:用平面向量方法解決幾何問題的三個步驟. 第一步,建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及

2、的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題; 第二步,通過向量運算,研究幾何元素之間的關(guān)系; 第三步,把運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系. 5.用向量方法解決平面幾何問題的兩個基本方向: (1)幾何法:選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知?；驃A角),將題中涉及的向量用基底表示,利用向量的運算法則、運算律或性質(zhì)計算. (2)坐標法:建立平面直角坐標系,實現(xiàn)向量的坐標化,將幾何問題中的長度、垂直、平行、夾角等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.,,,,,,,,,6.矩形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間有何關(guān)系?這一結(jié)論能否推廣到一般的平行四邊形呢?能否用向量證明這一結(jié)論呢? 提示若四邊形ABCD是矩形,則其對角線AC,BD

3、的長度與兩條鄰邊長度之間的關(guān)系是AC2+BD2=2(AB2+AD2),這一結(jié)論對于一般的平行四邊形也是成立的,可以借助向量的方法對這一結(jié)論進行證明. 7.填空:平行四邊形兩條對角線長的平方和等于兩條鄰邊長的平方和的兩倍.這一結(jié)論,可以用向量表示為:|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).,,,,,,,8.做一做:(1)已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),則△ABC的形狀是( ) A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.等邊三角形 (2)在平面直角坐標系xOy中,已知點A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),以線段AB,AC為鄰邊的平行四邊形的兩條

4、對角線的長分別是 , .,思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“”.,答案(1) (2) (3)√ (4)√ (5)√ (6) (7),探究一,探究二,探究三,探究四,平行或共線問題,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,證明A,B,C三點共線的步驟: (1)證明其中兩點組成的向量與另外兩點組成的向量共線. (2)說明兩向量有公共點. (3)下結(jié)論,即A,B,C三點共線.,探究一,探究二,探究三,探究四,變式訓(xùn)練1如圖,已知AD,BE,CF是△ABC的三條高,且交于點O, DG⊥BE于G,DH⊥CF于H.求證:HG∥EF.,探

5、究一,探究二,探究三,探究四,垂直問題 【例2】如圖,在正方形ABCD中,P是對角線BD上的一點,四邊形PECF是矩形,用向量證明:PA⊥EF.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,變式訓(xùn)練2如圖所示,在正方形ABCD中,E,F分別是AB,BC的中點,求證:AF⊥DE.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,長度問題 【例3】 如圖,在平行四邊形ABCD中,已知AD=1,AB=2,對角線BD=2,求對角線AC的長.,分析本題是求線段長度的問題,它可以轉(zhuǎn)化為求向量的模來解決.,探

6、究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,在解決求長度的問題時,可利用向量的數(shù)量積及模的知識,解題過程中用到的整體代入使問題得到簡捷、明了的解決.,探究一,探究二,探究三,探究四,答案B,探究一,探究二,探究三,探究四,夾角問題 【例4】已知矩形ABCD,AB= ,AD=1,E為DC上靠近D的三等分點,求∠EAC的大小. 分析可建立直角坐標系,通過坐標運算運用夾角公式求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,利用平面向量解決幾何中的夾角問題時,本質(zhì)是將平面圖形中的角視為兩個向量的夾角,借助夾角公式進行求解,這類問題也有兩種方向,一是利用基底法,二是利用坐標運算.在求解過程中,務(wù)必注意向量的方向.,探究一,探究二,探究三,探究四,延伸探究本例中,條件不變,試問:在BC上是否存在點M,使得∠EAM=45?若存在,求出點M的位置;若不存在,說明理由.,1,2,3,4,5,答案B,1,2,3,4,5,答案B,1,2,3,4,5,答案(-3,1)或(-1,-3),1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.在平行四邊形ABCD的對角線BD的延長線及反向延長線上,取點F,E,使BE=DF(如圖).用向量的方法證明四邊形AECF也是平行四邊形.,