高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 綜合檢測 新人教A版選修2-2

第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用綜合檢測時間120分鐘，滿分150分。一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1(2010·全國文，7)若曲線yx2axb在點(0，b)處的切線方程是xy10，則()Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1答案A解析y2xa，y|x0(2xa)|x0a1，將(0，b)代入切線方程得b1.2一物體的運動方程為s2tsintt，則它的速度方程為()Av2sint2tcost1 Bv2sint2tcostCv2sint Dv2sint2cost1答案A解析因為變速運動在t0的瞬時速度就是路程函數(shù)ys(t)在t0的導(dǎo)數(shù)，S2sint2tcost1，故選A.3曲線yx23x在點A(2,10)處的切線的斜率是()A4 B5C6 D7答案D解析由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線yx23x在點A(2,10)處的切線的斜率就是函數(shù)yx23x在x2時的導(dǎo)數(shù)，y|x27，故選D.4函數(shù)yx|x(x3)|1()A極大值為f(2)5，極小值為f(0)1B極大值為f(2)5，極小值為f(3)1C極大值為f(2)5，極小值為f(0)f(3)1D極大值為f(2)5，極小值為f(3)1，f(1)3答案B解析yx|x(x3)|1yx變化時，f(x)，f(x)變化情況如下表：x(，0)0(0,2)2(2,3)3(3，)f(x)000f(x)無極值極大值5極小值1f(x)極大f(2)5，f(x)極小f(3)1故應(yīng)選B.5(2009·安徽理，9)已知函數(shù)f(x)在R上滿足f(x)2f(2x)x28x8，則曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程是()Ay2x1 ByxCy3x2 Dy2x3答案A解析本題考查函數(shù)解析式的求法、導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線方程的點斜式f(x)2f(2x)x28x8，f(2x)2f(x)x24x4，f(x)x2，f(x)2x，曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線斜率為2，切線方程為y12(x1)，y2x1.6函數(shù)f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3時取得極值，則a等于()A2 B3C4 D5答案D解析f(x)3x22ax3，f(x)在x3時取得極值，x3是方程3x22ax30的根，a5，故選D.7設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)當(dāng)x<0時，f(x)g(x)f(x)g(x)>0，且g(3)0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是()A(3,0)(3，)B(3,0)(0,3)C(，3)(3，)D(，3)(0,3)答案D解析令F(x)f(x)·g(x)，易知F(x)為奇函數(shù)，又當(dāng)x<0時，f(x)g(x)f(x)g(x)>0，即F(x)>0，知F(x)在(，0)內(nèi)單調(diào)遞增，又F(x)為奇函數(shù)，所以F(x)在(0，)內(nèi)也單調(diào)遞增，且由奇函數(shù)知f(0)0，F(xiàn)(0)0.又由g(3)0，知g(3)0F(3)0，進而F(3)0于是F(x)f(x)g(x)的大致圖象如圖所示F(x)f(x)·g(x)<0的解集為(，3)(0,3)，故應(yīng)選D.8下面四圖都是同一坐標(biāo)系中某三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象，其中一定不正確的序號是()A BC D答案B解析不正確；導(dǎo)函數(shù)過原點，但三次函數(shù)在x0不存在極值；不正確；三次函數(shù)先增后減再增，而導(dǎo)函數(shù)先負(fù)后正再負(fù)故應(yīng)選B.9(2010·湖南理，5)dx等于()A2ln2 B2ln2Cln2 Dln2答案D解析因為(lnx)，所以 dxlnx|ln4ln2ln2.10已知三次函數(shù)f(x)x3(4m1)x2(15m22m7)x2在x(，)是增函數(shù)，則m的取值范圍是()Am<2或m>4 B4<m<2C2<m<4 D以上皆不正確答案D解析f(x)x22(4m1)x15m22m7，由題意得x22(4m1)x15m22m70恒成立，4(4m1)24(15m22m7)64m232m460m28m284(m26m8)0，2m4，故選D.11已知f(x)x3bx2cxd在區(qū)間1,2上是減函數(shù)，那么bc()A有最大值 B有最大值C有最小值 D有最小值答案B 解析由題意f(x)3x22bxc在1,2上，f(x)0恒成立所以即令bcz，bcz，如圖過A得z最大，最大值為bc6.故應(yīng)選B.12設(shè)f(x)、g(x)是定義域為R的恒大于0的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)g(x)f(x)g(x)<0，則當(dāng)a<x<b時有()Af(x)g(x)>f(b)g(b)Bf(x)g(a)>f(a)g(x)Cf(x)g(b)>f(b)g(x)Df(x)g(x)>f(a)g(x)答案C解析令F(x)則F(x)<0f(x)、g(x)是定義域為R恒大于零的實數(shù)F(x)在R上為遞減函數(shù)，當(dāng)x(a，b)時，>f(x)g(b)>f(b)g(x)故應(yīng)選C.二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分將正確答案填在題中橫線上)13._.答案解析取F(x)，從而F(x)則F(1)F(2).14若函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)，則實數(shù)a的取值范圍是_答案a0解析f(x)a，由題意得，a0，對x(0，)恒成立，a，x(0，)恒成立，a0.15(2009·陜西理，16)設(shè)曲線yxn1(nN*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標(biāo)為xn，令anlgxn，則a1a2a99的值為_答案2解析本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和對數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)ky|x1n1，切線l：y1(n1)(x1)，令y0，x，anlg，原式lglglglg×××lg2.16如圖陰影部分是由曲線y，y2x與直線x2，y0圍成，則其面積為_答案ln2解析由，得交點A(1,1)由得交點B.故所求面積Sdxdxxlnxln2.三、解答題(本大題共6個小題，共74分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本題滿分12分)(2010·江西理，19)設(shè)函數(shù)f(x)lnxln(2x)ax(a>0)(1)當(dāng)a1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在(0,1上 的最大值為，求a的值解析函數(shù)f(x)的定義域為(0,2)，f (x)a，(1)當(dāng)a1時，f (x)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(，2)；(2)當(dāng)x(0,1時，f (x)a>0，即f(x)在(0,1上單調(diào)遞增，故f(x)在(0,1上的最大值為f(1)a，因此a.18(本題滿分12分)求曲線y2xx2，y2x24x所圍成圖形的面積解析由得x10，x22.由圖可知，所求圖形的面積為S(2xx2)dx|(2x24x)dx|(2xx2)dx(2x24x)dx.因為2xx2，2x24x，所以S4.19(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)x33axb(a0)(1)若曲線yf(x)在點(2，f(2)處與直線y8相切，求a，b的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點分析考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值點的性質(zhì)，以及分類討論思想解析(1)f(x)3x23a.因為曲線yf(x)在點(2，f(2)處與直線y8相切，所以即解得a4，b24.(2)f(x)3(x2a)(a0)當(dāng)a<0時，f(x)>0，函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞增，此時函數(shù)f(x)沒有極值點當(dāng)a>0時，由f(x)0得x±.當(dāng)x(，)時，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(，)時，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(，)時，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增此時x是f(x)的極大值點，x是f(x)的極小值點20(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)x2lnx.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當(dāng)x>1時，x2lnx<x3.解析(1)依題意知函數(shù)的定義域為x|x>0，f(x)x，故f(x)>0，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)(2)設(shè)g(x)x3x2lnx，g(x)2x2x，當(dāng)x>1時，g(x)>0，g(x)在(1，)上為增函數(shù)，g(x)>g(1)>0，當(dāng)x>1時，x2lnx<x3.21(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)x3x26xa.(1)對于任意實數(shù)x, f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)若方程f(x)0有且僅有一個實根，求a的取值范圍分析本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想，以及求參數(shù)的范圍問題解析(1)f(x)3x29x63(x1)(x2)因為x(，)f(x)m，即3x29x(6m)0恒成立所以8112(6m)0，得m，即m的最大值為.(2)因為當(dāng)x<1時，f(x)>0；當(dāng)1<x<2時，f(x)<0；當(dāng)x>2時f(x)>0.所以當(dāng)x1時，f(x)取極大值f(1)a，當(dāng)x2時，f(x)取極小值f(2)2a.故當(dāng)f(2)>0或f(1)<0時，方程f(x)0僅有一個實根，解得a<2或a>.22(本題滿分14分)已知函數(shù)f(x)x3ax21(aR)(1)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，求a的值；(2)當(dāng)x0,1時，設(shè)函數(shù)yf(x)圖象上任意一點處的切線的傾斜角為，若給定常數(shù)a，求的取值范圍；(3)在(1)的條件下，是否存在實數(shù)m，使得函數(shù)g(x)x45x3(2m)x21(mR)的圖象與函數(shù)yf(x)的圖象恰有三個交點若存在，請求出實數(shù)m的值；若不存在，試說明理由解析(1)依題意f0，由f(x)3x22ax，得322a·0，即a1.(2)當(dāng)x0,1時，tanf(x)3x22ax32.由a，得.當(dāng)，即a時，f(x)max，f(x)minf(0)0.此時0tan.當(dāng)(1，)，即a(3，)時，f(x)maxf(1)2a3，f(x)minf(0)0，此時，0tan2a3.又0，)，當(dāng)<a3時，當(dāng)a>3時，0，arctan(2a3)(3)函數(shù)yf(x)與g(x)x45x3(2m)x21(mR)的圖象恰有3個交點，等價于方程x3x21x45x3(2m)x21恰有3個不等實根，x44x3(1m)x20，顯然x0是其中一個根(二重根)，方程x24x(1m)0有兩個非零不等實根，則m>3且m1故當(dāng)m>3且m1時，函數(shù)yf(x)與yg(x)的圖象恰有3個交點- 11 -