人教版八下數(shù)學 期末高效復習 專題2 勾股定理

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1、 人教版八下數(shù)學 期末高效復習 專題2 勾股定理 1. 在直角三角形中，如果有一個角是 30°，那么下列各比值中，是這個直角三角形的三邊之比的是 ?? A． 1:2:3 B． 2:3:4 C． 1:4:9 D． 1:3:2 2. 一直角三角形的一直角邊長為 6，斜邊長比另一直角邊長大 2，則該三角形的面積為 ?? A． 8 B． 10 C． 24 D． 48 3. 如圖，在四邊形 ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，則 AB= ?? A． 4 B． 5 C． 23 D． 833 4.

2、如圖①是用硬紙片做成的兩個全等的直角三角形，兩條直角邊長分別為 a 和 b，斜邊為 c；圖②是以 c 為直角邊的等腰直角三角形．請你開動腦筋，將它們拼成一個能驗證勾股定理的圖形． (1) 畫出拼成的這個圖形的示意圖，并用它驗證勾股定理； (2) 假設圖①中的直角三角形有若干個，你能運用圖中所給的直角三角形拼出另一種能夠驗證勾股定理的圖形嗎？畫出拼成圖形的示意圖（不寫驗證過程）． 5. 如圖是英國牧師佩里加爾證明勾股定理的“水車翼輪法”，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，互相垂直的線段 MN，PQ 將正方形 BFHC 分為面積相等的四部分，這四個部分和以 AC 為邊的正方

3、形恰好拼成一個以 AB 為邊的正方形．若正方形 ACDE 的面積為 5，△CQM 的面積為 1，則正方形 CBFH 的面積為 ?? A． 11 B． 12 C． 13 D． 14 6. 如圖，每個小正方形的邊長為 1． (1) 求四邊形 ABCD 的周長； (2) 求證：∠BCD=90°． 7. 已知三角形的三邊分別為 a，b，c，且 a=m-1，b=2m，c=m+1m>1． (1) 請判斷這個三角形的形狀； (2) 試找出一組直角三角形的三邊的長，使它的最小邊不小于 20，另兩邊的差為 2，三邊均為正整數(shù)． 8. 如圖，已知：在正方形

4、ABCD 中，點 E 是 BC 中點，點 F 在 AB 上，且 AF:FB=3:1． (1) 請你判斷 EF 與 DE 的位置關系，并說明理由； (2) 若此正方形的面積為 16，求 DF 的長． 9. 如圖，高速公路的同側有 A，B 兩個村莊，它們到高速公路所在直線 MN 的距離分別為 AA1=2?km，BB1=4?km，A1B1=8?km．現(xiàn)要在高速公路上的 A1B1 之間設一個出口 P，使 A，B 兩個村莊到 P 的距離之和最短，則這個最短距離是多少千米？ 10. 如圖，已知直線 a∥b，且 a 與 b 之間的距離為 4，點 A 到直線 a 的距離為 2，點

5、B 到直線 b 的距離為 3，試在直線 a 上找一點 C，直線 b 上找一點 D，滿足 CD⊥a，AC+CD+DB 的長度和最短，且 AC+DB=8．則 AB 長 ?? A． 313 B． 330 C． 213 D． 230 11. 某工廠的大門如圖所示，其中四邊形 ABCD 是長方形，上部是以 AB 為直徑的半圓，已知 AD=2.3?m，AB=2?m，現(xiàn)有一輛裝滿貨物的卡車，高 2.5?m，寬 1.6?m，問：這輛車能否通過廠門？請說明理由． 12. 如圖，把一個矩形紙片 OABC 放入平面直角坐標系中，使 OA，OC 分別落在 x 軸、 y 軸上，連接 O

6、B，將紙片 OABC 沿 OB 折疊，使點 A 落在 A? 的位置上．若 OA=10，AB=5，則點 A? 的坐標為 ． 13. 如圖所示，已知在三角形紙片 ABC 中，BC=9，AC=12，∠BCA=90°，在 AC 邊上取一點 E，以 BE 為折痕，使 AB 的一部分與 BC 重合，A 與 BC 延長線上的點 D 重合，則 DE 的長度為 ?? A． 7.5 B． 8 C． 8.5 D． 9 14. 如圖，AC 為矩形 ABCD 的對角線，將邊 AB 沿 AE 折疊，使點 B 落在 AC 上的點 M 處，將邊 CD 沿 CF 折疊，使點 D 落在 A

7、C 上的點 N 處． (1) 求證：四邊形 AECF 是平行四邊形； (2) 若 AB=6，AC=10，求四邊形 AECF 的面積及 AE 與 CF 之間的距離． 15. 如圖，一圓柱高 6?cm，底面周長為 4?cm，一只螞蟻從點 A 沿側面爬到點 B 處吃食，要爬行的最短路程是 ． 16. 如圖，長寬高分別為 2，1，1 的長方體木塊上有一只小蟲從頂點 A 出發(fā)沿著長方體的外表面爬到頂點 B，則它爬行的最短路程是 ?? A． 10 B． 5 C． 22 D． 3 17. 在 Rt△ABC 中，已知其兩直角邊長 a=5，b=3，那么斜

8、邊 c 的長為 ?? A． 3 B． 4 C． 27 D． 34 18. 下列選項中，不能用來證明勾股定理的是 ?? A． B． C． D． 19. 勾股定理是人類最偉大的科學發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書《周髀算經》中早有記載，如圖①，以直角三角形的各邊為邊向外作等邊三角形，再把較小的兩個等邊三角形按如圖②的方式放置在最大等邊三角形內．若知道圖②中陰影部分的面積，則一定能求出圖②中 ?? A．最大等邊三角形與直角三角形面積的和 B．最大等邊三角形的面積 C．較小兩個等邊三角形重疊部分的面積 D．直角三角形的面積 20. 如圖，△ABC 和

9、△DCE 都是邊長為 4 的等邊三角形，點 B，C，E 在同一條直線上，連接 BD，則 BD 的長為 ?? A． 3 B． 23 C． 33 D． 43 21. 如果三角形的三邊分別為 2，6，2，那么這個三角形的最大角的度數(shù)為 ． 22. 如圖，已知某山的高度 AC 為 800?m，在山上 A 處與山下 B 處各建一個索道口，且 BC=1500?m，歡歡從山下索道口坐纜車到山頂，已知纜車每分鐘走 50?m，那么大約多少分鐘后，歡歡才能達到山頂？ 23. 一個零件的形狀如圖①所示，按規(guī)定這個零件中 ∠A 和 ∠DBC 都應為直角．工人師傅量得這個零

10、件各邊尺寸如圖②所示． (1) 你認為這個零件符合要求嗎？為什么？ (2) 求這個零件的面積． 24. 如圖，在邊長為 4 的菱形 ABCD 中，∠A=120°，M 是邊 AD 的中點，N 是 DC 邊上的一動點，將 △DMN 沿 MN 所在直線翻折得到 △D?MN，連接 BD?，則 BD? 長度的最小值是 ?? A． 23 B． 7-1 C． 927-1 D． 27-2 25. 在底面直徑為 2?cm，高為 3?cm 的圓柱體側面上，用一條無彈性的絲帶從 A 至 C 按如圖所示的圈數(shù)纏繞，則絲帶的最短長度為 cm．（結果保留 π）

11、26. 課間，小聰拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心掉到兩墻之間（如圖），∠ACB=90°，AC=BC，從三角板的刻度可知 AB=20?cm，小聰很快就知道了砌墻磚塊的厚度的平方（每塊磚的厚度相等）為 ． 27. 如圖所示，一張建立了平面直角坐標系的圖紙被損壞，所幸有兩個標志點 A0,2，B0,-3 清晰可見． (1) 若點 C 在點 A 的南偏東 45° 方向，距離 A 點 32 個單位，請在圖中標出點 C 的位置； (2) 連接 AB，AC，BC，問：△ABC 是直角三角形嗎？請說明理由． 28. 如圖，在離水面高度為 5?m 的岸上，有人用繩子拉船靠岸，

12、開始時繩子 BC 的長為 13?m，此人以 0.5?m/s 的速度收繩，10?s 后船移動到點 D 的位置，問船向岸邊移動了多少米？（假設繩子是直的，結果保留根號） 29. 如圖，正方形 ABCD 中，AB=12，點 E 在邊 BC 上，BE=EC，將 △DCE 沿 DE 對折至 △DFE，延長 EF 交邊 AB 于點 G，連接 DG，BF． (1) 求證：△DAG≌△DFG； (2) 求 BG 的長； (3) 求 S△BEF． 30. 在 △ABC 中，AB=25，AC=4，BC=2，以 AB 為邊向 △ABC 外作 △ABD，使 △ABD 為等腰直角三角形，

13、求線段 CD 的長． 答案 1. 【答案】D 2. 【答案】C 3. 【答案】D 4. 【答案】 (1) 答圖略，該圖形是梯形； 梯形的面積 =12a+ba+b． 梯形的面積還可以表示為三個三角形的面積之和，即 12ab+12ab+12c2． 兩者列成等式化簡即可得 a2+b2=c2； (2) 畫邊長為 a+b 的正方形，答圖略，其中 a，b 為直角邊，c 為斜邊． 5. 【答案】C 6. 【答案】 (1) 根據(jù)勾股定理可知 AB=32，BC=34，CD=34，AD=52， ∴ 四邊形 ABCD 的周長為 82+234． (

14、2) 連接 BD， ∵BC=34，CD=34，DB=68， ∴BC2+CD2=BD2， ∴△BCD 是直角三角形，即 ∠BCD=90°． 7. 【答案】 (1) ∵m-12+2m2=m2-2m+1+4m=m2+2m+1=m+12， ∴a2+b2=c2， ∴ 這個三角形是直角三角形． (2) 取 b=20，即 2m=20， ∴m=100， ∴a=m-1=99，c=m+1=101． 8. 【答案】 (1) EF⊥DE，理由如下： 連接 DF，設正方形邊長為 a，則 AD=DC=a，AF=34a，BF=14a，BE=EC=12a， 在

15、 Rt△DAF 中，DF2=AD2+AF2=2516a2， 在 Rt△CDE 中，DE2=CD2+CE2=54a2， 在 Rt△EFB 中，EF2=FB2+BE2=516a2， ∵DE2+EF2=54a2+516a2=2516a2=DF2， ∴△DFE 為直角三角形. ∴EF⊥DE． (2) ∵ 正方形的面積為 16， ∴a2=16， ∵DF2=2516a2=2516×16=25， ∴DF=5． 9. 【答案】答圖略． 作 B 點關于 MN 的對稱點 B'，連接 AB' 交 A1B1 于點 P，則 AP+BP=AP+PB'=AB'，易知 P 點即為到

16、 A，B 距離之和最短的點． 過 A 作 AE⊥BB' 于點 E， 則 AE=A1B1=8，B'E=AA1+BB1=2+4=6， 由勾股定理，得 AB'=AE2+EB'2=82+62=10， 即 AP+BP=AB'=10， 故出口 P 到 A，B 兩個村莊的最短距離之和是 10?km． 10. 【答案】D 11. 【答案】能通過，理由如下： 設 AB 的中點為 O，F(xiàn) 為 AB 上一點， 設 OF=1.6÷2=0.8m， 過點 F 作 FG⊥AB 交半圓于點 G，答圖略． ∵OG=AB2=1?m，OF=0.8?m， ∴FG2=OG2-OF2=12-0.8

17、2=0.36， ∴FG=0.6?m， ∴ 點 G 離地面的高度為 0.6+2.3=2.9m>2.5?m， 故車能通過． 12. 【答案】 6,8 13. 【答案】A 14. 【答案】 (1) ∵ 四邊形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠CAB=∠ACD． 由折疊的性質可得 ∠EAB=∠EAC，∠ACF=∠FCD， ∴∠EAC=∠ACF， ∴AE∥CF， ∴ 四邊形 AECF 是平行四邊形． (2) 在 Rt△ABC 中，AB=6，AC=10， 則根據(jù)勾股定理得 BC=8． ∵AM=AB=6， ∴C

18、M=AC-AM=4． 設 CE=x，則 BE=EM=8-x， 在 Rt△EMC 中，利用勾股定理可得 EM2+CM2=CE2， 即 8-x2+42=x2，解得 x=5， 故四邊形 AECF 的面積 =AB?CE=6×5=30． 在 Rt△ABE 中，由勾股定理得 AE=35， 設 AE 與 CF 之間的距離為 h， 則 AE?h=30， 即 35h=30， ∴h=25． 15. 【答案】 210?cm 16. 【答案】C 17. 【答案】D 18. 【答案】D 19. 【答案】C 20. 【答案】D 21. 【答案】

19、 90° 22. 【答案】在 Rt△ABC 中，根據(jù)勾股定理，得 AB=AC2+BC2=8002+15002=1700m． 1700÷50=34min． 答：大約 34?min 后，歡歡才能達到山頂． 23. 【答案】 (1) 這個零符合要求． ∵AB2+AD2=32+42=25，BD2=52=25， ∴AB2+AD2=BD2， ∴∠A=90°， 又 ∵BD2+BC2=52+122=169，DC2=132=169， ∴BD2+BC2=DC2， ∴∠DBC=90°； (2) ∵∠A=90°，∠DBC=90°， ∴ 這個零件的面積為 12

20、×3×4+12×5×12=36． 24. 【答案】D 25. 【答案】 3π2+1 26. 【答案】 20013 27. 【答案】 (1) 答圖略． (2) 不是．理由： ∵AC2=322=18，BC2=32+22=13，AB2=52=25，18+13=31≠25， ∴△ABC 不是直角三角形． 28. 【答案】在 Rt△ABC 中， ∵∠CAB=90°，BC=13?m，AC=5?m， ∴AB=132-52=12m， ∵ 此人以 0.5?m/s 的速度收繩，10?s 后船移動到點 D 的位置， ∴CD=13-0.5×1

21、0=8m， ∴AD=CD2-AC2=64-25=39m， ∴BD=AB-AD=12-39m， 答：船向岸邊移動了 12-39m． 29. 【答案】 (1) 由折疊可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，EF=EC， ∴∠DFG=∠A=90°， ∵AD=DF，DG=DG， ∴Rt△DAG≌Rt△DFGHL． (2) ∵ 正方形邊長是 12， ∴BF=EC=EF=6， 設 AG=FG=x， 則 EG=x+6，BG=12-x， 由勾股定理得 EG2=BE2+BG2， 即 x+62=62+12-x2， 解得 x=4， ∴AG=GF=4，

22、BG=8． (3) ∵S△BGE=12×BG×BE=24，且 GF=4，EF=6， ∴S△BEF=64+6×S△BGE=725． 30. 【答案】∵AC=4，BC=2，AB=25， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB 為直角三角形，∠ACB=90°． 分三種情況： 如圖，過點 D 作 DE⊥CB，垂足為點 E． 易證 △ACB≌△BED，易求 CD=210． 如圖，過點 D 作 DE⊥CA，垂足為點 E． 易證 △ACB≌△DEA，易求 CD=213． 如圖，過點 D 作 DE⊥CB，垂足為點 E．過點 A 作 AF⊥DE，垂足為點 F． 易證 △AFD≌△DEB，易求 CD=32．