高一數(shù)學(xué)(人教A版)必修2能力強(qiáng)化提升:2-3-2 平面與平面垂直的判定
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一、選擇題 1.下列命題中:①兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角;②異面直線a,b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直,則a,b所成的角與這個(gè)二面角相等或互補(bǔ);③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā),分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成角的最小角;④二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒有關(guān)系,其中正確的是( ) A.①③ B.②④ C.③④ D.①② [答案] B [解析] 對(duì)①,顯然混淆了平面與半平面的概念,是錯(cuò)誤的;對(duì)②,由于a,b分別垂直于兩個(gè)面,所以也垂直于二面角的棱,但由于異面直線所成的角為銳角(或直角),所以應(yīng)是相等或互補(bǔ),是正確的;對(duì)③,因?yàn)椴淮怪庇诶?,所以是錯(cuò)誤的;④是正確的,故選B. [點(diǎn)評(píng)] 根據(jù)二面角的相關(guān)概念進(jìn)行分析判定. 2.以下三個(gè)命題中,正確的命題有( ) ①一個(gè)二面角的平面角只有一個(gè);②二面角的棱垂直于這個(gè)二面角的平面角所在的平面;③分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi),且垂直于棱的兩直線所成的角等于二面角的大小 A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè) [答案] B [解析] 僅②正確. 3.正方體ABCD-A1B1C1D1的六個(gè)面中,與平面BC1垂直的面的個(gè)數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] D [解析] 與平面BC1垂直的面有:平面AC,平面A1C1,平面AB1,平面CD1. 4.自二面角內(nèi)任意一點(diǎn)分別向兩個(gè)面引垂線,則兩垂線的夾角與二面角的平面角的關(guān)系是( ) A.相等 B.互補(bǔ) C.互余 D.無(wú)法確定 [答案] B [解析] 如圖,BD、CD為AB、AC所在平面與α、β的交線,則∠BDC為二面角α-l-β的平面角.且∠ABD=∠ACD=90°,∴∠A+∠BDC=180°. 5.已知α,β是平面,m、n是直線,給出下列表述: ①若m⊥α,m?β,則α⊥β; ②若m?α,n?α,m∥β,n∥β,則α∥β; ③如果m?α,n?α,m,n是異面直線,那么n與α相交; ④若α∩β=m,n∥m,且n?α,n?β,則n∥α且n∥β. 其中表述正確的個(gè)數(shù)是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [答案] B [解析]?、偈瞧矫媾c平面垂直的判定定理,所以①正確;②中,m,n不一定是相交直線,不符合兩個(gè)平面平行的判定定理,所以②不正確;③中,還可能n∥α,所以③不正確;④中,由于n∥m,n?α,m?α,則n∥α,同理n∥β,所以④正確. 6.正方體A1B1C1D1-ABCD中,截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1-BD-A的正切值等于( ) A. B. C. D. [答案] C [解析] 設(shè)AC、BD交于O,連A1O,∵BD⊥AC,BD⊥AA1,∴BD⊥平面AA1O,∴BD⊥A1O, ∴∠A1OA為二面角的平面角. tan∠A1OA==,∴選C. 7.在二面角α-l-β中,A∈α,AB⊥平面β于B,BC⊥平面α于C,若AB=6,BC=3,則二面角α-l-β的平面角的大小為( ) A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120° [答案] D [解析] 如圖,∵AB⊥β,∴AB⊥l,∵BC⊥α,∴BC⊥l,∴l(xiāng)⊥平面ABC, 設(shè)平面ABC∩l=D, 則∠ADB為二面角α-l-β的平面角或補(bǔ)角, ∵AB=6,BC=3, ∴∠BAC=30°,∴∠ADB=60°, ∴二面角大小為60°或120°. 8.四邊形ABCD是正方形,以BD為棱把它折成直二面角A-BD-C,E為CD的中點(diǎn),則∠AED的大小為( ) A.45° B.30° C.60° D.90° [答案] D [解析] 設(shè)BD中點(diǎn)為F,則AF⊥BD,CF⊥BD, ∴∠AFC=90°,∴AF⊥面BCD. ∵E、F分別為CD、BD的中點(diǎn), ∴EF∥BC, ∵BC⊥CD,∴CD⊥EF, 又AF⊥CD,∴CD⊥平面AEF,∴CD⊥AE.故選D. 二、填空題 9.下列四個(gè)命題中,正確的命題為________(填序號(hào)). ①α∥β,β⊥γ,則α⊥γ ②α∥β,β∥γ,則α∥γ ③α⊥β,γ⊥β,則α⊥γ ④α⊥β,γ⊥β,則α∥γ [答案] ①② 10.在三棱錐P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如右圖所示,則在三棱錐P-ABC的四個(gè)面中,互相垂直的面有________對(duì). [答案] 3 [解析] ∵PA⊥PB,PA⊥PC,PB∩PC=P, ∴PA⊥平面PBC, ∵PA?平面PAB,PA?平面PAC, ∴平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.同理可證:平面PAB⊥平面PAC. 11.如圖所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,BC=2,AA1=1,E,F(xiàn)分別在AD和BC上,且EF∥AB,若二面角C1-EF-C等于45°,則BF=________. [答案] 1 [解析] ∵AB⊥平面BC1,C1F?平面BC1,CF?平面BC1,∴AB⊥C1F,AB⊥CF,又EF∥AB, ∴C1F⊥EF,CF⊥EF, ∴∠C1FC是二面角C1-EF-C的平面角, ∴∠C1FC=45°, ∴△FCC1是等腰直角三角形, ∴CF=CC1=AA1=1. 又BC=2,∴BF=BC-CF=2-1=1. 12.如圖,四邊形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=a. (1)二面角A-PD-C的度數(shù)為________; (2)二面角B-PA-D的度數(shù)為________; (3)二面角B-PA-C的度數(shù)為________; (4)二面角B-PC-D的度數(shù)為________. [答案] 90°;90°;45°;120° [解析] (1)PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD. 又四邊形ABCD為正方形,∴CD⊥AD,∴CD⊥平面PAD, 又CD?平面PCD,∴平面PAD⊥平面PCD, ∴二面角A-PD-C為90°. (2)∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AD⊥PA, ∴∠BAD為二面角B-AP-D的平面角. 又∠BAD=90°,∴二面角B-AP-D為90°. (3)PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,AC⊥PA, ∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角, 又四邊形ABCD為正方形,∴∠BAC=45°, 即二面角B-PA-C為45°. (4)作BE⊥PC于E,連DE, 則由△PBC≌△PDC知∠BPE=∠DPE, 從而△PBE≌△PDE, ∴∠DEP=∠BEP=90°,且BE=DE, ∴∠BED為二面角B-PC-D的平面角. ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又AB⊥BC, ∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB, ∴BE==a,BD=a, ∴取BD中點(diǎn)O,則sin∠BEO==, ∴∠BEO=60°,∴∠BED=120° ∴二面角B-PC-D的度數(shù)為120°. 三、解答題 13.(2012·江西卷)如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,E,F(xiàn)是線段AB上的兩點(diǎn),且DE⊥AB,CF⊥AB,AB=12,AD=5,BC=4,DE=4.現(xiàn)將△ADE,△CFB分別沿DE,CF折起,使A,B兩點(diǎn)重合與點(diǎn)G,得到多面體CDEFG. (1)求證:平面DEG⊥平面CFG; (2)求多面體CDEFG的體積. [解析] (1)由已知可得AE=3,BF=4,則折疊完后EG=3,GF=4,又因?yàn)镋F=5,所以可得EG⊥GF,又因?yàn)镃F⊥底面EGF,可得CF⊥EG,即EG⊥面CFG所以平面DEG⊥平面CFG. (2)過G作GO垂直于EF,GO即為四棱錐G-EFCD的高,所以所求體積為S矩DECF·GO=×5×4×=16. 14.在如下圖所示的四面體ABCD中,AB,BC,CD兩兩互相垂直,且BC=CD. (1)求證:平面ACD⊥平面ABC; (2)求二面角C-AB-D的大小. [分析] (1)轉(zhuǎn)化為證明CD⊥平面ABC; (2)∠CBD是二面角C-AB-D的平面角. [解析] (1)證明:∵CD⊥AB,CD⊥BC,AB∩BC=B, ∴CD⊥平面ABC. 又∵CD?平面ACD,∴平面ACD⊥平面ABC. (2)∵AB⊥BC,AB⊥CD,且BC∩CD=C, ∴AB⊥平面BCD.∴AB⊥BD. ∴∠CBD是二面角C-AB-D的平面角. ∵在Rt△BCD中,BC=CD,∴∠CBD=45°. ∴二面角C-AB-D的大小為45°. 15.已知PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,PA=AD,M、N分別是AB、PC的中點(diǎn),求證: (1)MN∥平面PAD; (2)平面PMC⊥平面PDC. [解析] (1)取PD的中點(diǎn)Q,連接AQ、QN, ∵PN=NC,∴QN綊DC. ∵四邊形ABCD為矩形, ∴QN綊AM, ∴MN∥AQ, 又∵AQ?平面PAD,MN?平面PAD, ∴MN∥平面PAD. (2)∵PA⊥平面ABCD,∴∠PAD=90°, ∴△PAD為等腰直角三角形, ∵Q為PD中點(diǎn),∴AQ⊥PD, ∵CD⊥AD,CD⊥PA,∴CD⊥平面PAD, ∵AQ?平面PAD,∴CD⊥AQ,∴AQ⊥平面PDC 由(1)MN∥AQ,∴MN⊥平面PDC, 又∵M(jìn)N?平面PMC,∴平面PMC⊥平面PDC. 16.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點(diǎn),PA⊥底面ABCD,PA=. (1)證明:平面PBE⊥平面PAB; (2)求二面角A-BE-P的大?。? [解析] (1)證明:如圖所示,連接BD,由ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等邊三角形. 因?yàn)镋是CD的中點(diǎn),所以BE⊥CD, 又AB∥CD,所以BE⊥AB, 又因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BE?平面ABCD,所以PA⊥BE. 而PA∩AB=A,因此BE⊥平面PAB. 又BE?平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB. (2)由(1)知,BE⊥平面PAB,PB?平面PAB,所以PB⊥BE.又AB⊥BE,所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角. 在Rt△PAB中,tan∠PBA==,∠PBA=60°. 故二面角A-BE-P的大小是60°.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問題本站不予受理。
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