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1、8,一般周期函數的傅里葉級數,一、,周期為,的周期函數的傅里葉級數,定理,設,是周期為,的周期函數，,且滿足收斂定理的條件，,則它的傅里葉級數,在,上收斂,且,(1),(2),當,為連續(xù)點時，,級數收斂于,為間斷點時，,級數收斂于,當,其中,(1),(2),證,,,,作換元,，則在此變換下,區(qū)間,變?yōu)?區(qū)間,是周期為,的周期函數,可以驗證：,的傅氏級數,在,上收斂，且,其中,(*),由,與,復合而成,是,的連續(xù)點,是,的連續(xù)點,由,與,復合而成,是,的連續(xù)點,是,的連續(xù)點,即：,是,的連續(xù)點,是,的連續(xù)點,,,將,代入,(*)式，,得,的連續(xù)點,,,,,是,的間斷點,是,其中,即(1)(2)式
2、。,證畢。,說明,(1),當,上是奇函數時，,奇函數的傅氏級數是正弦級數,在,(3),其中，,按(3)式計算。,當,上是偶函數時，,偶函數的傅氏級數是余弦級數,在,(4),其中，,按(4)式計算。,(2),若,只在,上有定義，,且滿足收斂,定理的條件，,也可將它展開為傅氏級數。,方法：,首先，,將,進行周期延拓，,將它,拓廣為周期為,的周期函數,；,然后,將,展開成傅氏級數；,最后，,再將,限制在,上，,就得到,的傅氏級數,展開式。,即：,按(1)、(2)式求出,從而得到,的,傅氏級數,在點,，,是,的連續(xù)點時，,級數收斂于,；,是,的間斷點時，,級數收斂于,在端點,，,級數收斂于,(3),若
3、,只在,上有定義，,且滿足收斂,定理的條件，,可將它展開成正弦級數和余弦,首先，,將,進行奇延拓，,將它拓廣,為,上的奇函數,；,然后，,將,展開成傅氏級數(正弦級數)；,最后，,再將,限制在,上，,就得到,的正弦級數,即：,級數。,展開成正弦級數的方法：,展開式。,按(3)式求出,從而得到,的正弦級數,在點,，,是,的連續(xù)點時，,級數收斂于,；,是,的間斷點時，,級數收斂于,在端點,，,級數收斂于,首先，,將,進行偶延拓，,將它拓廣,為,上的偶函數,；,然后，,將,展開成傅氏級數(余弦級數)；,最后，,再將,限制在,上，,就得到,的余弦級數,即：,展開成余弦級數的方法：,展開式。,按(4)式
4、求出,從而得到,的余弦級數,在點,，,是,的連續(xù)點時，,級數收斂于,是,的間斷點時，,級數收斂于,在端點,，,級數收斂于,，,級數收斂于,例1,設,是周期為,的周期函數，,它在,上的表達式為,將,展開成傅氏級數。,解,滿足收斂定理的條件，,它在點,處間斷，,在其它點處連續(xù)。,由收斂定理，得,當,時，,傅氏級數收斂于,當,時，,傅氏級數收斂于,計算傅氏系數：,的傅氏級數為：,例2,將函數,展開成余弦級數.,解,將,偶延拓.,在,上連續(xù),當,時，,余弦級數收斂于,在端點,，,余弦級數收斂于,令,在端點,，,余弦級數收斂于,，,求,按公式(4)得：,余弦級數為,例3,將函數,展開成,以,為周期的傅氏級數。,解,令,，則在此變換下，,變?yōu)閰^(qū)間,區(qū)間,這樣，,記,下面將,展開成傅氏級數。,在,上連續(xù),的傅氏級數收斂于,在點,，,在端點,的傅氏級數收斂于,，,,奇函數,,偶函數,的傅氏級數為,將,換回，得,即,補充題：,將函數,展開成傅氏級數。,作業(yè),補充題答案：,
一般周期函數的傅里葉級數.ppt
