小學(xué)數(shù)學(xué)知識點例題精講《時鐘問題》教師版

11行程問題中時鐘的標(biāo)準(zhǔn)制定;2時鐘的時針與分針的追及與相遇問題的判斷及計算;3時鐘的周期問題.時鐘問題知識點說明時鐘問題可以看做是一個特殊的圓形軌道上 2 人追及或相遇問題,不過這里的兩個“人”分別是時鐘的分針和時針.我們通常把研究時鐘上時針和分針的問題稱為時鐘問題,其中包括時鐘的快慢,時鐘的周期,時鐘上時針與分針?biāo)傻慕嵌鹊鹊?時鐘問題有別于其他行程問題是因為它的速度和總路程的度量方式不再是常規(guī)的米每秒或者千米每小時,而是 2 個指針“每分鐘走多少角度”或者“每分鐘走多少小格”.對于正常的時鐘,具體為：整個鐘面為 360 度,上面有 12 個大格,每個大格為 30 度;60 個小格,每個小格為 6 度.分針?biāo)俣龋好糠昼娮?1 小格,每分鐘走 6 度時針?biāo)俣龋好糠昼娮?12小格,每分鐘走 0.5 度注意：但是在許多時鐘問題中,往往我們會遇到各種“怪鐘”,或者是“壞了的鐘”,它們的時針和分針每分鐘走的度數(shù)會與常規(guī)的時鐘不同,這就需要我們要學(xué)會對不同的問題進(jìn)行獨立的分析.要把時鐘問題當(dāng)做行程問題來看,分針快,時針慢,所以分針與時針的問題,就是他們之間的追及問題.另外,在解時鐘的快慢問題中,要學(xué)會十字交叉法.例如：時鐘問題需要記住標(biāo)準(zhǔn)的鐘,時針與分針從一次重合到下一次重合,所需時間為56511分.模塊一、時針與分針的追及與相遇問題【例例 1】當(dāng)時鐘表示 1 點 45 分時,時針和分針?biāo)傻拟g角是多少度?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】1 星 【題型】解答【解析】142.5 度【答案】142.5 度【鞏固】在 16 點 16 分這個時刻,鐘表盤面上時針和分針的夾角是_度.例題精講例題精講知識點撥知識點撥教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)時鐘問題時鐘問題2【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】1 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,六年級,一試【解析】16 點的時候夾角為 120 度,每分鐘,分針轉(zhuǎn) 6 度,時針轉(zhuǎn) 0.5 度,16：16 的時候夾角為 120-616+0.516=32 度.【答案】32 度【例例 2】有一座時鐘現(xiàn)在顯示 10 時整那么,經(jīng)過多少分鐘,分針與時針第一次重合;再經(jīng)過多少分鐘,分針與時針第二次重合?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】在 10 點時,時針?biāo)谖恢脼榭潭?10,分針?biāo)谖恢脼榭潭?12;當(dāng)兩針重合時,分針必須追上 50 個小刻度,設(shè)分針?biāo)俣葹椤發(fā)”,有時針?biāo)俣葹椤?12”,于是需要時間：1650(1)541211所以,再過65411分鐘,時針與分針將第一次重合第二次重合時顯然為 12 點整,所以再經(jīng)過65(12 10)6054651111分鐘,時針與分針第二次重合標(biāo)準(zhǔn)的時鐘,每隔56511分鐘,時針與分針重合一次 我們來熟悉一下常見鐘表(機械)的構(gòu)成：一般時鐘的表盤大刻度有 12 個,即為小時數(shù);小刻度有 60 個,即為分鐘數(shù)所以時針一圈需要 12 小時,分針一圈需要 60 分鐘(1 小時),時針的速度為分針?biāo)俣鹊?12如果設(shè)分針的速度為單位“l(fā)”,那么時針的速度為“112”【答案】65411分鐘【鞏固】鐘表的時針與分針在 4 點多少分第一次重合?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】此題屬于追及問題,追及路程是 20 格,速度差是11111212,所以追及時間是：11920211211（分）.【答案】92111分【鞏固】現(xiàn)在是 3 點,什么時候時針與分針第一次重合?3【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知,3 點時,時針與分針成 90 度,第一次重合需要分針追 90 度,490(60.5)1611（分）9k【答案】41611分【例例 3】鐘表的時針與分針在 8 點多少分第一次垂直?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】32711此題屬于追及問題,但是追及路程是 440 1525格（由原來的 40 格變?yōu)?15 格）,速度差是11111212,所以追及時間是：11325271211（分）.【答案】32711分【鞏固】2 點鐘以后,什么時刻分針與時針第一次成直角?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知,2 點時,時針與分針成 60 度,第一次垂直需要 90 度,即分針追了 90+60=150（度）,3150(60.5)2711（分）【答案】32711分【例例 4】時鐘的時針和分針在 6 點鐘反向成一直線,問：它們下次反向成直線是在什么時間?(準(zhǔn)確到秒)【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽,初賽【解析】時針、分針下一次反向成一直線是在 7 點以后,這時分針應(yīng)比時針多走鐘面上 5 格,分針每分鐘走 1 格,時針每分鐘走112格.【解析】5(1112)60115511,5116027.【解析】即在 7 點 5 分 27 秒,時針、分針再次反向成一直線.【答案】7 點 5 分 27 秒4【例例 5】8 時到 9 時之間時針和分針在“8”的兩邊,并且兩針?biāo)纬傻纳渚€到“8”的距離相等問這時是 8 時多少分?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】8 點整的時候,時針較分針順時針方向多 40 格,設(shè)在滿足題意時,時針走過 x 格,那么分針走過40-x 格,所以時針、分針共走過 x+(40-x)=40 格于是,所需時間為11240(1)361213分鐘,即在 8 點123613分鐘為題中所求時刻【答案】8 點123613分【例例 6】現(xiàn)在是 10 點,再過多長時間,時針與分針將第一次在一條直線上?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】時針的速度是 3601260=0.5(度/分),分針的速度是 36060=6(度/分),即 分針與時針的速度差是 6-0.5=5.5(度/分),10 點時,分針與時針的夾角是 60 度,第一次在一條直線時,分針與時針的夾角是 180 度,即 分針與時針從 60 度到 180 度經(jīng)過的時間為所求.,所以 答案為 9(18060)5.52111(分)【答案】92111分【鞏固】在在在 9 9 9 點與點與點與 101010 點之間的什么時刻點之間的什么時刻點之間的什么時刻,分針與時針在一條直線上分針與時針在一條直線上分針與時針在一條直線上?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知,9 點時,時針與分針成 90 度,第一次在一條直線上需要分針追 90 度,第二次在一條直線上需要分針追 270 度,答案為490(60.5)1611（分）和1270(60.5)4911（分）【答案】14911分【例例 7】晚上 8 點剛過,不一會小華開始做作業(yè),一看鐘,時針與分針正好成一條直線.做完作業(yè)再看鐘,還不到 9 點,而且分針與時針恰好重合.小華做作業(yè)用了多長時間?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知,從在一條直線上追到重合,需要分針追 180 度,8180(60.5)3211（分）【答案】83211分5【例例 8】某人下午六時多外出買東西,出門時看手表,發(fā)現(xiàn)表的時針和分針的夾角為 1100,七時前回家時又看手表,發(fā)現(xiàn)時針和分針的夾角仍是 1100那么此人外出多少分鐘?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】如下示意圖,開始分針在時針左邊 1100位置,后來追至?xí)r針右邊 1100位置于是,分針追上了 1100+1100=2200,對應(yīng)2206格所需時間為2201(1)40612分鐘所以此人外出 40 分鐘評注：通過上面的例子,看到有時是將格數(shù)除以1(1)12,有時是將格數(shù)除以1(1)12,這是因為有時格數(shù)是時針、分針共同走過的,對應(yīng)速度和;有時格數(shù)是分針追上時針的,對應(yīng)速度差對于這個問題,大家還可以將題改為:“在 9 點多鐘出去,9 點多鐘回來,兩次的夾角都是 1100”,答案還是 40 分鐘【答案】40 分鐘【例例 9】上午 9 點多鐘,當(dāng)鐘表的時針和分針重合時,鐘表表示的時間是 9 點幾分?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】時針與分針第一次重合的經(jīng)過的時間為：11451491211（分）,當(dāng)鐘表的時針和分針重合時,鐘表表示的時間是 9 點14911分.【答案】14911分【例例 10】小紅上午 8 點多鐘開始做作業(yè)時,時針與分針正好重合在一起.10 點多鐘做完時,時針與分針正好又重合在一起.小紅做作業(yè)用了多長時間?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】8 點多鐘時,時針和分針重合的時刻為：17401431211（分）10 點多鐘時,時針和分針重合的時刻為：16501541211（分）67101054843210111111時分時分時分,小紅做作業(yè)用了1021011時分時間【答案】1021011分分【例例 11】小紅在 9 點與 10 點之間開始解一道數(shù)學(xué)題,當(dāng)時時針和分針正好成一條直線,當(dāng)小紅解完這道題時,時針和分針剛好第一次重合,小紅解這道題用了多少時間?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答 6【解析】9 點和 10 點之間分針和時針在一條直線上的時刻為：14151161211（分）,時針與分針第一次重合的時刻為：11451491211（分）,所以這道題目所用的時間為：148491632111111（分）【答案】83211分【例例 12】一部動畫片放映的時間不足 1 時,小明發(fā)現(xiàn)結(jié)束時手表上時針、分針的位置正好與開始時時針、分針的位置交換了一下.這部動畫片放映了多長時間?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知,時針恰好走到分針的位置,分針恰好走到時針的位置,它們一共走了一圈,即5360(60.5)5513（分）【答案】55513分【例例 13】在一段時間里,時針、分鐘、秒針轉(zhuǎn)動的圈數(shù)之和恰好是 1466 圈,那么這段時間有 秒.【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯,4 年級,1 試【解析】解：它們的速度比為 1:12:720,所以秒針轉(zhuǎn)了 1466（720+12+1）720=1440 秒.【答案】1440 秒.86400 秒模塊二、時間標(biāo)準(zhǔn)及鬧鐘問題【例例 14】星期天早晨,小明發(fā)現(xiàn)鬧鐘因電池能量耗盡停走了.他換上新電池,估計了一下時間,將鬧鐘的指針撥到 8：00.然后,小明離家前往天文館.小明到達(dá)天文館時,看到天文館的標(biāo)準(zhǔn)時鐘顯示的時間是 9：15.一個半小時后,小明從天文館以同樣的速度返回家中,看到鬧鐘顯示的時間是11：20.請問,這時小明應(yīng)該把鬧鐘調(diào)到什么時間才是準(zhǔn)確的?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】希望杯,四年級,二試【解析】由小明的鬧鐘顯示的時間可知小明出門共用了 3 小時 20 分鐘.來回路上共用去 1 小時 50 分鐘,回家路上用去 55 分鐘 從小明到達(dá)天文館,到回到家中共經(jīng)歷 2 小時 25 分鐘,小明到達(dá)天文館時是 9:15,所以回到家中的時間是 11 時 40 分,即應(yīng)把鬧鐘調(diào)到 11:40 【答案】11:40【例例 15】王叔叔有一只手表,他發(fā)現(xiàn)手表比家里的鬧鐘每小時快 30 秒.而鬧鐘卻比標(biāo)準(zhǔn)時間每小時慢 30 秒,那么王叔叔的手表一晝夜比標(biāo)準(zhǔn)時間差多少秒?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】6 秒【答案】6 秒7【鞏固】小春有一塊手表,這塊表每小時比標(biāo)準(zhǔn)時間慢 2 分鐘.某天晚上 9 點整,小春將手表對準(zhǔn),到第二天上午手表上顯示的時間是 7 點 38 分的時候,標(biāo)準(zhǔn)時間是_.【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯,六年級,一試【解析】從晚上 9 點到第二天 7：38,分針一共劃過 6010+38=638,而這塊表每小時比標(biāo)準(zhǔn)時間慢 2 分鐘,即每轉(zhuǎn) 58 格,標(biāo)準(zhǔn)鐘轉(zhuǎn) 60 格,所以標(biāo)準(zhǔn)鐘分針轉(zhuǎn)了 6385860=660,所以此時是 8 點.【答案】8 點【鞏固】小強家有一個鬧鐘,每時比標(biāo)準(zhǔn)時間快 3 分.有一天晚上 10 點整,小強對準(zhǔn)了鬧鐘,他想第二天早晨 600 起床,他應(yīng)該將鬧鐘的鈴定在幾點幾分?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】6：24【答案】6：24【鞏固】小翔家有一個鬧鐘,每時比標(biāo)準(zhǔn)時間慢 3 分.有一天晚上 9 點整,小翔對準(zhǔn)了鬧鐘,他想第二天早晨 630 起床,于是他就將鬧鐘的鈴定在了 630.這個鬧鐘響鈴的時間是標(biāo)準(zhǔn)時間的幾點幾分?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】7 點【答案】7 點【例例 16】（1997 年第六屆華杯賽初賽第 7 題）輛汽車的速度是每小時 50 千米,現(xiàn)有一塊每 5 小時慢 2分的表,若用該表計時,測得這輛汽車的時速是多少?(得數(shù)保留一位小數(shù))【解析】正常表走 5 小時,慢表只走了：5602298(分),【解析】因此,用慢表測速度,這輛汽車的速度是：5052986050.3(千米/小時)【例例 17】鐘敏家有一個鬧鐘,每時比標(biāo)準(zhǔn)時間快 2 分.星期天上午 9 點整,鐘敏對準(zhǔn)了鬧鐘,然后定上鈴,想讓鬧鐘在 11 點半鬧鈴,提醒她幫助媽媽做飯.鐘敏應(yīng)當(dāng)將鬧鐘的鈴定在幾點幾分上?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】鬧鐘與標(biāo)準(zhǔn)時間的速度比是 62:60=31:30,11 點半與 9 點相差 150 分,根據(jù)十字交叉法,鬧鐘走了 1503130=155(分),所以 鬧鐘的鈴應(yīng)當(dāng)定在 11 點 35 分上.【答案】11 點 35 分【例例 18】小翔家有一個鬧鐘,每時比標(biāo)準(zhǔn)時間慢 2 分.有一天晚上 9 點整,小翔對準(zhǔn)了鬧鐘,他想第二天早晨 640 起床,于是他就將鬧鐘的鈴定在了 640.這個鬧鐘響鈴的時間是標(biāo)準(zhǔn)時間的幾點幾分?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】鬧鐘與標(biāo)準(zhǔn)時間的速度比是 58:60=29:30 晚上 9 點與次日早晨 6 點 40 分相差 580 分,即 標(biāo)準(zhǔn)時間過了 5803029=600(分),所以 標(biāo)準(zhǔn)時間是 7 點.8【答案】7 點【例例 19】有一個時鐘每時快 20 秒,它在 3 月 1 日中午 12 時準(zhǔn)確,下一次準(zhǔn)確的時間是什么時間?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】時鐘與標(biāo)準(zhǔn)時間的速度差是 20 秒/時,因為經(jīng)過 12 小時,時鐘的指針回到起始的位置,所以到下一次準(zhǔn)確時間時,時鐘走了 12360020=2160(小時)即 90 天,所以 下一次準(zhǔn)確的時間是5 月 30 日中午 12 時.【答案】5 月 30 日中午 12 時【鞏固】有一個時鐘,它每小時慢 25 秒,今年 3 月 21 日中午十二點它的指示正確.請問：這個時鐘下一次指示正確的時間是幾月幾日幾點鐘?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽,初賽【解析】當(dāng)這個時鐘慢 12 個小時的時候,它又指示準(zhǔn)確的時間,慢 12 個小時需【解析】60 60 1225121212(小時)【解析】相當(dāng)于：12 12 122472(天)【解析】注意 3 月份有 31 天,4 月份有 30 天,5 月份有 31 天,到 6 月 1 日中午,恰好是 72 天【解析】答：下一次指示正確時間是 6 月 1 日中午 12 點.【答案】6 月 1 日中午 12 點【例例 20】輛汽車的速度是每小時 50 千米,現(xiàn)有一塊每 5 小時慢 2 分的表,若用該表計時,測得這輛汽車的時速是多少?(得數(shù)保留一位小數(shù))【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】華杯賽,初賽【解析】正常表走 5 小時,慢表只走了：5602298(分),【解析】因此,用慢表測速度,這輛汽車的速度是：5052986050.3(千米/小時)【答案】50.3 千米/小時【例例 21】小明家有兩個舊掛鐘,一個每天快 20 分,另一個每天慢 30 分.現(xiàn)在將這兩個舊掛鐘同時調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時間,它們至少要經(jīng)過多少天才能再次同時顯示標(biāo)準(zhǔn)時間?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】快的掛鐘與標(biāo)準(zhǔn)時間的速度差是 20 分/天,慢的掛鐘與標(biāo)準(zhǔn)時間的速度差是 30 分/天,快的每標(biāo)準(zhǔn)一次需要 126030=24(天),慢的每標(biāo)準(zhǔn)一次需要 126020=36(天),24 與 36 的最小公倍數(shù)是 72,所以 它們至少要經(jīng)過 72 天才能再次同時顯示標(biāo)準(zhǔn)時間.【答案】72 天【例例 22】某科學(xué)家設(shè)計了只怪鐘,這只怪鐘每晝夜 10 時,每時 100 分（如右圖所示）.當(dāng)這只鐘顯示 5 點時,實際上是中午 12 點;當(dāng)這只鐘顯示 6 點 75 分時,實際上是什么時間?9【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】標(biāo)準(zhǔn)鐘一晝夜是 2460=1440（分）,怪鐘一晝夜是 10010=1000（分）,怪鐘從 5 點到 6 點 75分,經(jīng)過 175 分,根據(jù)十字交叉法,14401751000=252（分）,即 4 點 12 分.【答案】4 點 12 分【例例 23】手表比鬧鐘每時快 60 秒,鬧鐘比標(biāo)準(zhǔn)時間每時慢 60 秒.8 點整將手表對準(zhǔn),12 點整手表顯示的時間是幾點幾分幾秒?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】按題意,鬧鐘走 3600 秒手表走 3660 秒,而在標(biāo)準(zhǔn)時間的一小時中,鬧鐘走了 3540 秒.所以在標(biāo)準(zhǔn)時間的一小時中手表走 366036003599=3599（秒）即手表每小時慢 1 秒,所以 12 點時手表顯示的時間是 11 點 59 分 56 秒.【答案】11 點 59 分 56 秒【例例 24】高山氣象站上白天和夜間的氣溫相差很大,掛鐘受氣溫的影響走的不正常,每個白天快 30 秒,每個夜晚慢 20 秒.如果在 10 月一日清晨將掛鐘對準(zhǔn),那么掛鐘最早在什么時間恰好快 3 分?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】2 星 【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知,一晝夜快 10 秒,（360-30）10=15（天）,所以掛鐘最早在第 15+1=16（天）傍晚恰好快 3 分鐘,即 10 月 16 日傍晚.【答案】10 月 16 日傍晚【例例 25】一個快鐘每時比標(biāo)準(zhǔn)時間快 1 分,一個慢鐘每時比標(biāo)準(zhǔn)時間慢 3 分.將兩個鐘同時調(diào)到標(biāo)準(zhǔn)時間,結(jié)果在 24 時內(nèi),快鐘顯示 9 點整時,慢鐘恰好顯示 8 點整.此時的標(biāo)準(zhǔn)時間是多少?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知,標(biāo)準(zhǔn)時間過 60 分鐘,快鐘走了 61 分鐘,慢鐘走了 57 分鐘,即標(biāo)準(zhǔn)時間每 60 分鐘,快鐘比慢鐘多走 4 分鐘,604=15（小時）經(jīng)過 15 小時快鐘比標(biāo)準(zhǔn)時間快 15 分鐘,所以現(xiàn)在的標(biāo)準(zhǔn)時間是 8 點 45 分.【答案】8 點 45 分【例例 26】小明上午 8 點要到學(xué)校上課,可是家里的鬧鐘早晨 6 點 10 分就停了,他上足發(fā)條但忘了對表就急急忙忙上學(xué)去了,到學(xué)校一看還提前了 10 分.中午 12 點放學(xué),小明回到家一看鐘才 11 點整.如果小明上學(xué)、下學(xué)在路上用的時間相同,那么,他家的鬧鐘停了多少分?【考點】行程問題之時鐘問題 【難度】3 星 【題型】解答【解析】根據(jù)題意可知,小明從上學(xué)到放學(xué)一共經(jīng)過的時間是 290 分鐘（11 點減去 6 點 10 分）,在校時間為 250 分鐘（8 點到 12 點,再加上提前到的 10 分鐘）所以上下學(xué)共經(jīng)過 290-250=40（分鐘）,即從家到學(xué)校需要 20 分鐘,所以從家出來的時間為 7：30（8：00-10 分-20 分）即他家的鬧鐘停了 1 小時 20 分鐘,即 80 分鐘.【答案】80 分鐘