《創(chuàng)新設計高考總復習》配套學案拋物線

第 7 講拋物線最新考綱1掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程及簡單幾何性質2理解數形結合的思想3了解拋物線的實際背景及拋物線的簡單應用.知 識 梳 理1拋物線的定義(1)平面內與一個定點 F 和一條定直線 l(F l)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線點 F 叫做拋物線的焦點，直線 l 叫做拋物線的準線(2)其數學表達式：|MF|d(其中 d 為點 M 到準線的距離)2拋物線的標準方程與幾何性質圖形標準y22px (p>0)       y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)方程續(xù)表p 的幾何意義：焦點 F 到準線 l 的距離頂點O(0,0)對稱軸y0x0Fç2，0÷Fç2，0÷Fç0，2÷Fç0，2÷性質焦點æp  öè    øæ  p  öè      øæ pöè    øæ pöè      ø離心率e1x2      px2y2      py2準線方程pp范圍x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR開口方向向右        向左辨 析 感 悟向上        向下1對拋物線定義的認識(1)平面內與一個定點 F 和一條定直線 l 的距離相等的點的軌跡一定是拋物線(×)(2)拋物線 y24x 的焦點到準線的距離是 4.(×)2對拋物線的標準方程與幾何性質的理解1(3)(2013· 北京卷改編)若拋物線 yax2 的焦點坐標為(0,1)，則 a4，準線方程為y1.()(4)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形(×)(5)過拋物線的焦點與拋物線對稱軸垂直的直線被拋物線截得的線段叫做拋物線的通徑，那么拋物線 x22ay(a0)的通徑長為 2a.()感悟· 提升1一點提醒拋物線方程中，字母 p 的幾何意義是拋物線的焦點 F 到準線的距p離，2等于焦點到拋物線頂點的距離牢記它對解題非常有益如(2)2兩個防范一是求拋物線方程時，首先弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線的標準方程；二是求拋物線的焦點坐標時，首先要把拋物線方程化為標準方程，如(3).考點一拋物線的定義及其應用【例 1】 (2014· 深圳一模)已知點 A(2,0)，拋物線 C：x24y 的焦點為 F，射線 FA與拋物線 C 相交于點 M，與其準線相交于點 N，則|FM|MN|()A2 5C1 5B12D13解析如圖所示，由拋物線定義知|MF|MH|，所以|MF|MN|MH|MN|.由MHNFOA，|MH|OF|1則 |HN| |OA|2，則|MH|MN|1 5，即|MF|MN|1 5.答案C規(guī)律方法 拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離 )進行等量轉化如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯系起來，那么用拋物線定義就能解決問題【訓練 1】 (2014· 山東省實驗中學診斷)已知點 P 是拋物線 y24x 上的動點，點P 在 y 軸上的射影是 M，點 A 的坐標是(4，a)，則當|a|4 時，|PA|PM|的最小值是_解析將 x4 代入拋物線方程 y24x，得 y±4，|a|4，所以 A 在拋物線的外部，如圖，x|由題意知 F(1,0)，則拋物線上點 P 到準線 l： 1 的距離為|PN|，由定義知，PA|PM|PA|PN|1|PA|PF|1.當 A，P，F 三點共線時，|PA|PF|取最小值，此時|PA|PM|也最小，最小值為|AF|1答案9a219a21.考點二拋物線的標準方程與幾何性質【例 2】 (2014· 鄭州一模)如圖，過拋物線 y22px(p>0)的焦點 F的直線交拋物線于點 A，B，交其準線 l 于點 C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，則此拋物線的方程為()Ay29xBy26xCy23xDy2 3x解析如圖，分別過 A，B 作 AA1l 于 A1，BB1l 于 B1，由拋物線的定義知：|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130°，AFx60°，連接 A1F，則AA1F 為等邊三角形，過 F 作 FF1AA1 于 F1，則 F1113為 AA1 的中點，設 l 交 x 軸于 K，則|KF|A1F1|2|AA1|2|AF|，即 p2，拋物線方程為 y23x，故選 C.答案C規(guī)律方法 (1)求拋物線標準方程的常用方法是待定系數法，其關鍵是判斷焦點位置，開口方向，在方程的類型已經確定的前提下，由于標準方程只有一個參數 p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程(2)在解決與拋物線的性質有關的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此11【訓練 2】 (2014· 蘭州一模)已知圓 x2y2mx40 與拋物線 y4x2 的準線相切，則 m()A±2 2B. 3              C. 2               D± 3解析拋物線的標準方程為 x24y，所以準線為 y1.圓的標準方程為çx 2 ÷2æmöèøæ  m  öy2m21è 2 ，0ø4  ，所以圓心為ç       ÷，半徑為m212.所以圓心到直線的距離為 1，即  m2121，解得 m± 3.解(1)由題意知，拋物線 E 的焦點為 Fç0，2÷，直線 l1 的方程為 yk1x2.ìïïîx22py    得 x22pk1xp20.答案D考點三直線與拋物線的位置關系lll【例 3】 (2013· 湖南卷)過拋物線 E：x22py(p0)的焦點 F 作斜率分別為 k1，k2的兩條不同直線 l1，2，且 k1k22，1 與 E 相交于點 A，B，2 與 E 相交于點 C，D，以 AB，CD 為直徑的圓 M，圓 N(M，N 為圓心)的公共弦所在直線記為 l. (1)若 k10，k20，證明：FM· FN2p2；7 5(2)若點 M 到直線 l 的距離的最小值為 5 ，求拋物線 E 的方程審題路線(1)寫出直線 l1 的方程與拋物線聯立用根與系數的關系求 M，N 的坐標寫出FM，FN的坐標求FM· FN用基本不等式求得結論(2)由拋物線定義求|AB|，|CD|得到圓 M 與圓 N 的半徑求出圓 M 與圓 N 的方程得出圓 M 與圓 N 的公共弦所在直線 l 的方程點 M 到直線 l 的距離求出其關于 k1 的函數式求其最小值求得 p.æpöpèøp由íyk1x2，pö22所以點 M 的坐標為çpk1，pk12÷，FM(pk1，pk1)pö2同理可得點 N 的坐標為çpk2，pk22÷，FN(pk2，pk22)，æk k2ö21所以 0k1k2ç2|2pk21pk1p|p|2k1k11| k14÷2  úç   è2ø 2故圓 M 的方程為(xpk1)2çypk212÷設 A，B 兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則 x1，x2 是上述方程的兩個實數根從而 x1x22pk1，y1y2k1(x1x2)p2pk21p.æèøæèø 于是FM· FNp2(k1k2k21k2)因為 k1k22，k10，k20，k1k2，÷ 1. 故FM· FNp2(112)2p2.pp|(2)由拋物線的定義得|FA|y12，FB|y22，所以|AB|y1y2p2pk212p，從而圓 M 的半徑 r1pk21p.æpöèø(pk21p)2，32化簡得 x2y22pk1xp(2k11)y4p20.3同理可得圓 N 的方程為 x2y22pk2xp(2k21)y4p20.1于是圓 M，圓 N 的公共弦所在直線 l 的方程為(k2k1)x(k22k2)y0.又 k2k10，k1k22，則 l 的方程為 x2y0.因為 p0，所以點 M 到直線 l 的距離d55é æ1ö7ùëpê2èø8û.517p8   5故當 k14時，d 取最小值.由拋物線定義知|AD|FA|  |AB|.7p7 5   由題設，8 5 5 ，解得 p8.故所求的拋物線 E 的方程為 x216y.規(guī)律方法 (1)直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系；(2)有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式【訓練 3】 設拋物線 C：x22py(p0)的焦點為 F，準線為 l，A 為 C 上一點，已知以 F 為圓心，FA 為半徑的圓 F 交 l 于 B，D 兩點.(1)若BFD90°，ABD 的面積為 42，求 p 的值及圓 F 的方程；(2)若 A，B，F 三點在同一直線 m 上，直線 n 與 m 平行，且 n 與 C 只有一個公共點，求坐標原點到 m，n 距離的比值解(1)由已知可得BFD 為等腰直角三角形，|BD|2p，圓 F 的半徑|FA| 2p.由拋物線定義可知 A 到 l 的距離 d|FA|2p.1因為ABD 的面積為 42，所以2|BD|· d42，1即2·2p·2p42，解得 p2(舍去)或 p2.所以 F(0,1)，圓 F 的方程為 x2(y1)28.(2)因為 A，B，F 三點在同一直線 m 上，所以 AB 為圓 F 的直徑，ADB90°.1233所以ABD30°，m 的斜率為 3 或 3 .3323當 m 的斜率為 3 時，由已知可設 n：y 3 xb，代入 x22py 得 x2 3 px2pb0.4由于 n 與 C 只有一個公共點，故 3p28pb0，p解得 b6.p|b |因為 m 的縱截距 b12， |b1 3，所以坐標原點到 m，n 距離的比值也為 3.3當 m 的斜率為 3 時，由圖形對稱性可知，坐標原點到 m，n 距離的比值為 3.綜上，坐標原點到 m，n 距離的比值為 3.1認真區(qū)分四種形式的標準方程(1)區(qū)分 yax2(a0)與 y22px(p0)，前者不是拋物線的標準方程(2)求標準方程要先確定形式，必要時要進行分類討論，標準方程有時可設為 y2mx 或 x2my(m0)2拋物線的離心率 e1，體現了拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉化為點到準線的距離，這樣就可以使問題簡單化p拋物線上的點到焦點的距離根據定義轉化為到準線的距離，即|PF|x|2或|PF|p|y|2，它們在解題中有重要的作用，注意運用教你審題 9靈活運用拋物線焦點弦巧解題【典例】 已知過拋物線 y22px(p0)的焦點，斜率為 2 2的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)兩點，且|AB|9.(1)求該拋物線的方程；(2)O 為坐標原點，C 為拋物線上一點，若OCOAOB，求  的值審題一審：由直線過拋物線焦點可利用焦點弦長公式求解解(1)直線 AB 的方程是 y2   2çx2÷，與 y22px 聯立，從而有 4x25pxp2二審：由點 C 為拋物線上一點，可設出 C 點坐標，利用OCOA OB表示出點 C 坐標，將點 C 坐標代入拋物線方程求解æpöèø5p0，所以 x1x2 4 ，5p由拋物線定義得：|AB|x1x2p 4 p9，所以 p4，從而拋物線方程為 y28x.(2)由于 p4,4x25pxp20 可簡化為 x25x40，從而 x11，x24，y12 2，y24 2，從而 A(1，2 2)，B(4,4 2)；2設 C(x3，y3)，則OC(x3，y3)(1，2 2)(4,4 2)(41,4 22 2)，又 y38x3，即2 2(21)28(41)，即(21)241，解得 0 或 2.p2y|反思感悟 (1)解決與拋物線的焦點弦有關問題，常用到 x1x2 4 ， 1y2p2，AB|2p112|x1x2psin2( 為 AB 的傾斜角)，AF|BF|p這些結論，就會帶來意想不到的效果(2)解析幾何中像這樣可以引申推廣的規(guī)律有很多，只要我們平時善于總結、歸納同類題的解題方法，并注意探究和發(fā)掘變換事物中所蘊涵的一般規(guī)律，就一定會有更多發(fā)現【自主體驗】1(2012· 安徽卷)過拋物線 y24x 的焦點 F 的直線交該拋物線于 A，B 兩點若|AF|3，則|BF|_.25|AF|·|BF|ïî，解得|AF|  ，|BF|  .1123解析法一由|AF|BF|p.得|BF|2.ìï|AF|p|AF|cos ，法二設BFO，則íïî|BF|p|BF|cos ，13由|AF|3，p2，得 cos 3，|BF|2.3答案22(2012· 重慶卷)過拋物線 y22x 的焦點 F 作直線交拋物線于 A，B 兩點，若|AB|2512，|AF|BF|，則|AF|_.1122525解析由 |AF|  |BF|  p  2 及 |AB|  |AF|  |BF|  12 ，得 |AF|·|BF|  24 ，再由12ìï|AF|BF|25，í2455645答案6基礎鞏固題組(建議用時：40 分鐘)一、選擇題y21(2013· 四川卷)拋物線 y24x 的焦點到雙曲線 x2 3 1 的漸近線的距離是()13A.2B. 2C1D. 3y2解析拋物線 y24x 的焦點 F(1,0)，雙曲線 x2 3 1 的漸近線方程是 y± 3x，即 3x±y0，故所求距離為| 3±0|( 3)2(±1)23 2 .選 B.解析拋物線的焦點為ç2，0÷，準線為 x2.雙曲線的右焦點為(3,0)，所以2答案B2 (2014· 濟寧模擬)已知圓 x2y26x70 與拋物線 y22px(p0)的準線相切，則 p 的值為()1A1B2C.2D4解析圓的標準方程為(x3)2y216，圓心為(3,0)，半徑為 4.圓心到準線的距æpöèø離為 3ç2÷4，解得 p2.答案B3點 M(5,3)到拋物線 yax2 的準線的距離為 6，那么拋物線的方程是()Ay12x2By12x2 或 y36x211Cy36x2Dy12x2 或 y36x211解析分兩類 a>0，a<0 可得 y12x2，y36x2.答案Dx2y24(2014· 濰坊一模)已知拋物線 y22px(p0)的焦點 F 與雙曲線 4  5 1 的右焦點重合，拋物線的準線與 x 軸的交點為 K，點 A 在拋物線上且|AK| 2|AF|，則A 點的橫坐標為()A2 2B3C2 3D4æpöppèø3，即 p6，即 y212x.過 A 做準線的垂線，垂足為 M，則|AK| 2|AF| 2|AM|，即|KM|AM|，設 A(x，y)，則 yx3，代入 y212x，解得 x3.答案Bx2y25(2013· 天津卷 )已知雙曲線 a2b21(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線 y22px(p>0)的準線分別交于 A，B 兩點，O 為坐標原點若雙曲線的離心率為 2，AOB 的面積為 3，則 p()3A1B.2C2D3c解析由已知得雙曲線離心率 ea2，得 c24a2，b2c2a23a2，即 b 3bpa.又雙曲線的漸近線方程為 y±ax± 3x，拋物線的準線方程為 x2，所以æp3 öæp3pöè  2   ø，Bèø不妨令 Aç2，p÷ç2， 2 ÷，于是|AB| 3p由 AOB 的面積為 3可得1p2· 3p· 2 3，所以 p24，解得 p2 或 p2(舍去)答案C二、填空題6若點 P 到直線 y1 的距離比它到點(0,3)的距離小 2，則點 P 的軌跡方程是_解析由題意可知點 P 到直線 y3 的距離等于它到點(0,3)的距離，故點 P 的軌跡是以點(0,3)為焦點，以 y3 為準線的拋物線，且 p6，所以其標準方程為 x212y.答案x212y7已知拋物線 y24x 上一點 M 與該拋物線的焦點 F 的距離|MF|4，則點 M 的橫坐標 x0_.解析拋物線 y24x 的焦點為 F(1,0)，準線為 x1.根據拋物線的定義，點 M 到準線的距離為 4，則 M 的橫坐標為 3.答案3x2y28拋物線 x22py(p0)的焦點為 F，其準線與雙曲線 3  3 1 相交于 A，B 兩點，若ABF 為等邊三角形，則 p_.y22px(p0)，則焦點 Fç2，0÷.2ìm 6p，pö故í2ç32÷ m25，  2p23解析如圖，在等邊三角形 ABF 中，DFp，BD 3 p，1æ 3pö3p4è 3øB 點坐標為çp，2÷.又點 B 在雙曲線上，故 3  3 1.解得 p6.答案6三、解答題9已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是 x 軸，拋物線上的點 M(3，m)到焦點的距離為 5，求拋物線的方程和 m 的值解法一根據已知條件，拋物線方程可設為æpöèø點 M(3，m)在拋物線上，且|MF|5，ïæîïèøìp4，ìp4，解得í或íîm2 6îm2 6.拋物線方程為 y28x，m±2 6.p法二設拋物線方程為 y22px(p>0)，則準線方程為 x2，由拋物線定義，Mp點到焦點的距離等于 M 點到準線的距離，所以有2(3)5，p4.所求拋物線方程為 y28x，又點 M(3，m)在拋物線上，故 m2(8)×(3)，m±2 6.10設拋物線 C：y24x，F 為 C 的焦點，過 F 的直線 l 與 C 相交于 A，B 兩點(1)設 l 的斜率為 1，求|AB|的大??； (2)求證：OA· OB是一個定值(1)解由題意可知拋物線的焦點 F 為(1,0)，準線方程為 x1，直線 l 的設 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由í方程為 yx1，ìyx1，îy24x得 x26x10，x1x26，由直線 l 過焦點，則|AB|AF|BF|x1x228.(2)證明設直線 l 的方程為 xky1，ìxky1，由íîy24x得 y24ky40.x22py  的焦點坐標為ç0，2÷，a2b21 的漸近線方程為 y±ax，即 y±   3x.y1y24k，y1y24，OA(x1，y1)，OB(x2，y2) OA· OBx1x2y1y2(ky11)(ky21)y1y2k2y1y2k(y1y2)1y1y24k24k2143. OA· OB是一個定值能力提升題組(建議用時：25 分鐘)一、選擇題x2y21已知雙曲線 C1：a2b21(a>0，b>0)的離心率為 2.若拋物線 C2：x22py(p>0)的焦點到雙曲線 C1 的漸近線的距離為 2，則拋物線 C2 的方程為()8 316 3Ax2 3 yBx2 3 yCx28yDx216yx2y2解析a2b21 的離心率為 2，cc2a2b2ba2，即a2 a24，a 3.æpöx2y2bèø由題意，得p22，1( 3)2p8.故 C2：x216y，選 D.答案D2(2014· 洛陽統(tǒng)考)已知 P 是拋物線 y24x 上一動點，則點 P 到直線 l：2xy30 和 y 軸的距離之和的最小值是()A. 3B. 5C2D. 51解析由題意知，拋物線的焦點為 F(1,0)設點 P 到直線 l 的距離為 d，由拋物線的定義可知，點 P 到 y 軸的距離為|PF|1，所以點 P 到直線 l 的距離與到 y軸的距離之和為 d|PF|1.易知 d|PF|的最小值為點 F 到直線 l 的距離，故 d|PF|的最小值為|23|22(1)2 5，所以 d|PF|1 的最小值為 51.11，所以 yA2   3.因為 PAl，所以 yPyA2   3，代答案D二、填空題x2y23(2014· 鄭州二模)已知橢圓 C： 4  3 1 的右焦點為 F，拋物線 y24x 的焦點為 F，準線為 l，P 為拋物線上一點，PAl，A 為垂足如果直線 AF 的傾斜角為 120°，那么|PF|_.解析拋物線的焦點坐標為 F(1,0)，準線方程為 x1.因為直線 AF 的傾斜角為120°，所以 tan 120°yA入 y24x，得 xA3，所以|PF|PA|3(1)4.答案4三、解答題4(2013· 遼寧卷)如圖，拋物線 C1：x24y，C2：x22py(p0)點 M(x0，y0)在拋物線 C2 上，過 M 作 C1 的切線，切點為 A，B(M 為原點 O 時，A，B 重合于 O)當 x01 2MA 的斜率為2，所以 A 點坐標為ç1，4÷，(2)設 N(x，y)，Açx1， 4 ÷，Bçx2， 4 ÷，x1x2，1時，切線 MA 的斜率為2.(1)求 p 的值；(2)當 M 在 C2 上運動時，求線段 AB 中點 N 的軌跡方程(A，B 重合于 O 時，中點為 O)x解(1)因為拋物線 C1：x24y 上任意一點(x，y)的切線斜率為 y2，且切線1æ1öèø11故切線 MA 的方程為 y2(x1)4.因為點 M(1 2，y0)在切線 MA 及拋物線 C2 上，1132 2于是 y02(2 2)44，(1 2)232 2y02p2p.由得 p2.  1x2öææx2öèøèø2  .由 N 為線段 AB 中點知 xx1x2x21x228  .y 2 (xx1) 4 ，y 2 (xx2) 4 .所以 x1x2 6 .y切線 MA，MB 的方程為x1x21x2x22由得 MA，MB 的交點 M(x0，y0)的坐標為x xx x1x0 1 22，y0 4 2.2因為點 M(x0，y0)在 C2 上，即 x04y0，x21x2因此 AB 中點 N 的軌跡方程為 x   y.24由得 x23y，x0.4當 x1x2 時，A，B 重合于原點 O，AB 中點 N 為 O，坐標滿足 x23y.43