2020年中考數(shù)學(xué)題型專練五 反比例函數(shù)綜合題

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1、 1.??如圖，反比例函數(shù)?y＝?的圖象過(guò)格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))A，一次函數(shù)?y＝ax＋b?的圖象經(jīng)過(guò)格點(diǎn)?A，B. 題型五 反比例函數(shù)綜合題 類型一 反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合 k x (1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； (2)在圖中用直尺和?2B?鉛筆畫(huà)出兩個(gè)矩形(不寫(xiě)畫(huà)法)，要求每個(gè)矩形均需滿足下列兩個(gè)條件： ①四個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且其中兩個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn)?A，點(diǎn)?B； ②矩形的面積等于△AOB?面積的整數(shù)倍. 第?1?題圖

2、2.??如圖，已知反比例函數(shù)?y＝?(k＞0)的圖象和一次函數(shù)?y＝－x＋b?的圖象都過(guò)點(diǎn)?P(1，m)，過(guò)點(diǎn)?P?作?y k x 軸的垂線，垂足為?A，O?為坐標(biāo)原點(diǎn)，△OAP?的面積為?1. (1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； (2)設(shè)反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的另一交點(diǎn)為?M，過(guò)?M?作?x?軸的垂線，垂足為?B，求五邊形?OAPMB 的面積. 第?2?題圖 3.??如圖，一次函數(shù)?y＝kx＋b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)?y＝?????? (m≠0?

3、且?m≠3)的圖象在第一象限交 m2－3m x 1 于點(diǎn)?A、B，且該一次函數(shù)的圖象與?y?軸正半軸交于點(diǎn)?C，過(guò)?A、B?分別作?y?軸的垂線，垂足分別為?E、D. 已知?A(4，1)，CE＝4CD. (1)求?m?的值和反比例函數(shù)的解析式； (2)若點(diǎn)?M?為一次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，求?OM?長(zhǎng)度的最小值. 第?3?題圖 4.??如圖，在平面直角坐標(biāo)系?xOy?中，直線?y＝kx＋k?與雙曲線?y＝??(x>0)交于點(diǎn)?A(1，a).

4、 x?軸、y?軸的平行線，交雙曲線?y＝??(x>0)于點(diǎn)?M、N，雙曲線在點(diǎn)?M、N?之間的部分與線段?PM、PN?所圍成 4 x (1)求?a，k?的值； (2)已知直線?l?過(guò)點(diǎn)?D(2，0)且平行于直線?y＝kx＋k，點(diǎn)?P(m，n)(m>3)是直線?l?上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)?P?分別作 4 x 的區(qū)域(不含邊界)記為?W.橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫整點(diǎn). ①當(dāng)?m＝4?時(shí)，直接寫(xiě)出區(qū)域?W?內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)； ②若區(qū)域?W?內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)正好是?8?個(gè)，結(jié)合圖象，求?m?的取值范圍. 第

5、?4?題圖 2 x 類型二 反比例函數(shù)與幾何圖形結(jié)合 k 1.?如圖，反比例函數(shù)?y＝?(x<0)的圖象過(guò)格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))P?. (1)求反比例函數(shù)的解析式； (2)在圖中用直尺和?2B?鉛筆畫(huà)出兩個(gè)等腰三角形(不寫(xiě)畫(huà)法)，要求每個(gè)三角形均需滿足下列兩個(gè)條件： ①三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且其中兩個(gè)頂點(diǎn)分別是點(diǎn)?O?，P?； ②三角形的面積等于|k|的值. 第?1?題圖

6、 x x k 2.?(2019?蘭州)?如圖，在平面直角坐標(biāo)系?xOy?中，反比例函數(shù)?y＝?(k≠0)的圖象過(guò)等邊三角形?BOC?的 頂點(diǎn)?B?，OC?＝2，點(diǎn)?A?在反比例函數(shù)圖象上，連接?AC?，AO?. k (1)求反比例函數(shù)?y＝?(k≠0)的表達(dá)式； (2)若四邊形?ACBO?的面積是?3?3，求點(diǎn)?A?的坐標(biāo). 第?2?題圖 x k 3.?(2019蘇州)如圖，A?為反比例函數(shù)?y＝?(其中?x>

7、0)圖象上的一點(diǎn)，在?x?軸正半軸上有一點(diǎn)?B?，OB?＝4， 3 (2)過(guò)點(diǎn)?B?作?BC⊥OB，交反比例函數(shù)?y＝?(其中?x>0)的圖象于點(diǎn)?C，連接?OC?交?AB?于點(diǎn)?D，求?? 的值. 連接?OA，AB，且?OA＝AB＝2?10. (1)求?k?的值； k AD x DB 第?3?題圖 4.??如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?OABC?的頂點(diǎn)?C?的坐標(biāo)為(3，0)，∠AOC＝45°，反比例函數(shù)?y＝?(k (2)若

8、點(diǎn)?F?是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且△ABF?的面積等于?OABC?面積的??，求點(diǎn)?F?的坐標(biāo). k x ＞0，x>0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)?A?且交?BC?于點(diǎn)?E，過(guò)點(diǎn)?E?作?ED⊥x?軸于點(diǎn)?D，ED＝1. (1)求反比例函數(shù)的解析式； 1 8 第?4?題圖 5.??如圖，在△AOB?中，∠BAO＝30°，點(diǎn)?C?為?AB?的中點(diǎn)，連接?OC，反比例函數(shù)?y＝?(x＞0)的圖象經(jīng) k x 過(guò)點(diǎn)?B、C，點(diǎn)?B?的縱

9、坐標(biāo)為?4. 4 (1)求反比例函數(shù)的解析式； (2)求△BOC?的面積. 第?5?題圖 5 (4)在(3)的條件下，DE?交?BC?于點(diǎn)?G，反比例函數(shù)?y＝??的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)?G?交?AB?于點(diǎn)

10、?H，連接?OG、OH， 拓展類型 反比例函數(shù)綜合題還會(huì)怎么考 1.?(2018?河南備用卷)小明在研究矩形面積?S?與矩形的邊長(zhǎng)?x，y?之間的關(guān)系時(shí)，得到下表數(shù)據(jù)： x 0.5 1 1.5 2 3 4 6 12 y 12 6 4 3 2 ■ 1 0.5 結(jié)果發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)據(jù)被墨水涂黑了， (1)被墨水涂黑的數(shù)據(jù)為 ； (2)y?與?x?之間的函數(shù)關(guān)系式為 ，且?y?隨?x?的增大而 ； (3)如圖是小明畫(huà)出的?y?關(guān)于?x?的函數(shù)圖象，點(diǎn)?B、E?均在該函數(shù)的圖象上，其中矩形?OABC?的面積記為 S1，矩形?ODEF?的面積記為?S2，請(qǐng)判斷?S1?

11、和?S2?的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由； 2 x 則四邊形?OGBH?的面積為 . 第?1?題圖 如圖，點(diǎn)?A，B?在反比例函數(shù)?y＝??的圖象上，連接?AB，取線段?AB?的中點(diǎn)?C.分別過(guò)點(diǎn)?A，C，B?作?x?軸 的垂線，垂足為?E，F(xiàn)，G，CF?交反比例函數(shù)?y＝??的圖象于點(diǎn)?D.點(diǎn)?E，F(xiàn)，G?的橫坐標(biāo)分別為?n－1，n，n 小紅通過(guò)觀察反比例函數(shù)?y＝??的圖象，并運(yùn)用幾何知識(shí)得出結(jié)論： n－1? n＋1 n 請(qǐng)你選擇一種方法證明(1)中的命題. 2.?(2019?威海)

12、(1)閱讀理解 1 x 1 x ＋1(n>1). 1 x AE＋BG＝2CF，CF>DF. 1 1 2 由此得出一個(gè)關(guān)于 ， ，?之間數(shù)量關(guān)系的命題：若?n>1，則 . (2)證明命題 小東認(rèn)為：可以通過(guò)“若?a－b≥0，則?a≥b”的思路證明上述命題； 小晴認(rèn)為：可以通過(guò)“若?a>0，b>0，且?a÷b≥1，則?a≥b”的思路證明上述命題. ．． 6 3.??參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過(guò)程與方法，探究函數(shù)?y＝??? (x≠0

13、)的圖象與性質(zhì)，因?yàn)?y＝??? ＝1－??，即?y＝ －??＋1，所以我們對(duì)比函數(shù)?y＝－??來(lái)探究. 第?2?題圖 x－2 x－2 2 x x x 2 2 x x 列表： x  …?－4  －3  －2  －1  － 1 2 1 2  1  2  3  4  … y＝－ 3 2 2 x …??1 2 2 3  1  2  4  －4  －2  －1 2 － 1 －  …

14、 y＝?????? … 3????? 2??? 3??? 5?? －3?? －1?? 0??? 1 2???? … x－2 x 3 2 5  3 1 描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中以自變量?x?的取值為橫坐標(biāo)，以?y＝??? 相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng) ②y＝??? 的圖象是由?y＝－??的圖象向??????? 平移??????? 個(gè)單位而得到的； (3)函數(shù)?y＝??? 與直線?y＝－2x＋1?交于點(diǎn)?A，??，求 AOB?的面積. x－2 x 的點(diǎn)如圖所示； (1)請(qǐng)把?y?軸左邊各點(diǎn)和右邊各點(diǎn)分別用一條光滑曲線，順

15、次連接起來(lái)； (2)觀察圖象并分析表格，回答下列問(wèn)題： ①當(dāng)?x＜0?時(shí)，y?隨?x?的增大而 ；(“增大”或“減小”)； x－2 2 x x ③圖象關(guān)于點(diǎn) 中心對(duì)稱；(填點(diǎn)的坐標(biāo)) x－2 x 第?3?題圖 7 將點(diǎn)?A(1，3)代入反比例函數(shù)?y＝?中，得?k＝3， 故反比例函數(shù)的解析式為?y＝??； ??－3a＋b＝－1， b＝2， 參考答案 類型一 反比例函數(shù)與一次函數(shù)結(jié)合 1.?解：(1)由

16、題圖可知點(diǎn)?A?的坐標(biāo)為(1，3)，點(diǎn)?B?的坐標(biāo)為(－3，－1)， k x 3 x 將?A(1，3)、B(－3，－1)代入一次函數(shù)?y＝ax＋b?中， ì?a＋b＝3 得í ì?a＝1 解得í ? ? ∴一次函數(shù)的解析式為?y＝x＋2； (2)如解圖，答案不唯一(以?A、B?為頂點(diǎn)的四個(gè)矩形任選兩個(gè)即可)． 將?P(1，2)代入?y＝?中，得?k＝2. ∴反比例函數(shù)的解析式為?y＝??. ì?y＝2 (2)聯(lián)立反比例函數(shù)和一次函數(shù)得í x 第?1?題解

17、圖 1 1 ＝ 2.?解：(1)∵?OAP?2OA·AP＝2m＝1， ∴m＝2. ∴P(1，2)， k x 2 x 將?P(1，2)代入?y＝－x＋b?中，得?b＝3. ∴一次函數(shù)的解析式為?y＝－x＋3； ， ??y＝－x＋3 8 ì?x1＝1? ì?x2＝2 解得í ，í ， ? ?y1＝2 ??y2＝1 ∴M(2，1)． 如解圖，過(guò)點(diǎn)?P?作?PD⊥x?軸交?x?軸于點(diǎn)?D. ∴PD＝2，OB＝2，BM＝1，OD＝AP＝1，BD＝OB－OD

18、＝2－1＝1. 1 1 3 7 ∴S?五邊形?OAPMB＝S?四邊形?OAPD＋S?四邊形?PDBM＝AP·?OA＋2BD·(PD＋BM)＝1×2＋2×1×(2＋1)＝2＋2＝2. 3.??解：(1)將點(diǎn)?A(4，1)代入反比例函數(shù)?y＝m2－3m ∴反比例函數(shù)解析式為?y＝??； ∴?CD BD 第?2?題解圖 x ， 得?m2－3m＝4， 解得?m1＝4，m2＝－1， 4 x (2)∵BD⊥y?軸，AE⊥y?軸， ∴BD∥AE， ∴△CDB∽△CEA， CE?＝AE

19、?， ∵CE＝4CD， ∴AE＝4BD， ∵A(4，1)， ∴AE＝4， ∴BD＝1， ∴xB＝1， 4 ∴yB＝x＝4， ∴B(1，4)， 將?A(4，1)，B(1，4)代入一次函數(shù)?y＝kx＋b， ? ì?4k＋b＝1 ìk＝－1 得í ，解得í ， ? ?k＋b＝4 ??b＝5 9 即?OM＝??CF＝??? . ∴OM?長(zhǎng)度的最小值為??? . ∴直線?AB?的解析式為?y＝－x＋5， 如解圖，設(shè)直線?AB?與?x?軸的交點(diǎn)為?F， 當(dāng)?x＝0?時(shí)，y＝5，當(dāng)?

20、y＝0?時(shí)，x＝5， ∴C(0，5)，F(xiàn)(5，0)， 則?OC＝OF＝5， ∴△OCF?為等腰直角三角形， ∴CF＝?2OC＝5?2， 則當(dāng)?OM⊥CF?于點(diǎn)?M?時(shí)，由垂線段最短可知，OM?有最小值， 1 5?2 2 2 5?2 2 4.??解：(1)∵點(diǎn)?A(1，a)在雙曲線?y＝??上， ∴a＝??＝4. 第?3?題解圖 4 x 4 1 ∴點(diǎn)?A?的坐標(biāo)為(1，4)， 將?A(1，4)代入?y＝kx＋k，得?k＋k＝4， ∴k＝2； (2

21、)①3?個(gè)； 【解法提示】∵直線?l?過(guò)點(diǎn)?D(2，0)且平行于直線?y＝2x＋2，∴直線?l?的解析式為?y＝2x－4.當(dāng)?m＝4?時(shí)， n＝2m－4＝4，∴點(diǎn)?P?的坐標(biāo)為(4，4)．依照題意畫(huà)出圖象，如解圖①所示，觀察圖形，可知：區(qū)域W?內(nèi)的 整點(diǎn)個(gè)數(shù)是?3. 第?4?題解圖① 10 ②如解圖②所示，當(dāng)?2x－4＝4?時(shí)，即?x＝4，此時(shí)線段?PM?和?PN?上有?5?個(gè)整點(diǎn)； 當(dāng)?2x－4＝5?時(shí)，即?x＝4.5，此時(shí)線段?P′M′和?P′N′上

22、有整點(diǎn)； 觀察圖形可知：若區(qū)域?W?內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)正好是?8?個(gè)，m?的取值范圍為?4

23、. ∴OD＝OB·cos∠BOC＝2×??＝1，BD＝OB·sin∠BOC＝2× ∵反比例函數(shù)?y＝?的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)?B(－1，－???3)， ∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為?y＝????3 第?1?題解圖 2.?解：(1)如解圖，過(guò)點(diǎn)?B?作?BD⊥OC?于點(diǎn)?D， ∵△BOC?為等邊三角形， ∴OB＝BC＝OC＝2，∠BOC＝60°. 1 3 2 ∵點(diǎn)?B?在第三象限， ∴B(－1，－?3)． k x ∴k＝?3. x?； 11 設(shè)點(diǎn)?A?的坐

24、標(biāo)為(a，????3 ∴????3 ∴a＝??. ∴A(??，2???3)． ∴OE＝BE＝??OB＝2， ∵點(diǎn)?A?是反比例函數(shù)?y＝?圖象上的點(diǎn)， ∴6＝??，解得?k＝12； 第?2?題解圖 1 1 (2)由(1)可得，S△BOC＝2OC·BD＝2×2×?3＝?3. ∴?COA＝S?四邊形?ACBO－?BOC＝3?3－?3＝2?3. a?)， 1 3 3 ∵?COA＝2×2×?a?＝?a?， a?＝2?3. 1 2 1 2 3.?解：(1)如解圖，過(guò)點(diǎn)?A?作?AE⊥OB?于點(diǎn)?E，交?OC?于點(diǎn)?F. ∵OA＝

25、AB＝2?10，OB＝4， 1 2 在? OAE?中，AE＝?OA2－OE2＝?（2?10）2－22＝6， ∴點(diǎn)?A?的坐標(biāo)為(2，6)． k x k 2 第?3?題解圖 (2)∵OB＝4?且?BC⊥OB， ∴點(diǎn)?C?的橫坐標(biāo)為?4， 12 又∵點(diǎn)?C?為反比例函數(shù)?y＝12 將?C(4，3)代入可得?m＝??， ∴直線?OC?的表達(dá)式為?y＝??x， 將?x＝2?代入?y＝??x?可得?y＝??，即?EF＝??. ∴

26、AF＝AE－EF＝6－??＝??. ∴?AD＝AF? 2＝3. 把?E(4，1)代入?y＝?中，得?k＝4×1＝4， ∴反比例函數(shù)的解析式為?y＝??； x?圖象上的點(diǎn)， ∴點(diǎn)?C?的坐標(biāo)為(4，3)． ∴BC＝3. 設(shè)直線?OC?的表達(dá)式為?y＝mx， 3 4 3 4 ∵AE⊥OB，OE＝2， ∴點(diǎn)?F?的橫坐標(biāo)為?2， 3 3 3 4 2 2 3 9 2 2 ∵AE，BC?都與?x?軸垂直， ∴AE∥BC， ∴∠AFD＝∠BCD，∠FAD＝∠CBD， ∴△ADF∽△BDC， 9 DB

27、BC 3 2 4.?解：(1)∵四邊形?OABC?為平行四邊形， ∴OA∥BC， ∴∠BCD＝∠AOC＝45°， 在? CDE?中， ∴CD＝DE＝1， ∵C(3，0)， ∴E(4，1)， k x 4 x (2)如解圖，過(guò)點(diǎn)?A?作?AH⊥x?軸于點(diǎn)?H， 13 設(shè)?F(t，??)， ∵△ABF?的面積等于?OABC?面積的??， ∴點(diǎn)?F?的坐標(biāo)為(??，??)或(??，??)． ∴EA＝? BE ∴CD＝??BE＝2，DA＝ED

28、＝??EA＝2???3， 設(shè)點(diǎn)?B?的坐標(biāo)為(??，4)， ∴點(diǎn)?C?的坐標(biāo)為(??＋2???3，2)， ∴(??＋2???3)×2＝k， ∴反比例函數(shù)的解析式為?y＝8???3 第?4?題解圖 ∵∠AOH＝45°，∴OH＝AH， 設(shè)?A(a，a)，則?a·?a＝4，解得?a＝2(負(fù)值舍去)， ∴A(2，2)， ∴S?OABC＝AH·?OC＝2×3＝6， 4 t ∵四邊形?OABC?為平行四邊形， ∴AB∥OC，AB＝OC＝3， 1 8 1 4 1 8 8 ∴2×3×|?t?－2|＝8×6，解得?t1＝3，t2＝5， 8

29、3 8 5 3 2 5 2 5.?解：(1)如解圖，過(guò)點(diǎn)?C?作?CD⊥x?軸于點(diǎn)?D，過(guò)點(diǎn)?B?作?BE⊥x?軸于點(diǎn)?E， ∵∠BAO＝30°，BE＝4， tan30°＝4?3， ∵BE⊥x?軸，CD⊥x?軸， ∴CD∥BE， ∵點(diǎn)?C?為?AB?的中點(diǎn)， ∴CD?是△ABE?的中位線， 1 1 2 2 k 4 k 4 k 4 解得?k＝8?3， x?； 14 (2)∵反比例函數(shù)的解析式為?y＝??? ， ∴將?

30、y＝4?代入?y＝??? 中， (2)y＝??(x>0)；減?。? 【解法提示】由?xy＝6，得到?y＝??(x>0)，當(dāng)?x>0?時(shí)，y?隨?x?的增大而減?。? 第?5?題解圖 8?3 x 8?3 x 得?x＝2?3， ∴OE＝2?3， ∴OA＝OE＋EA＝6?3， 1 1 ∴?AOB＝2OA·BE＝2×6?3×4＝12?3， 1 1 ?AOC＝2OA·CD＝2×6?3×2＝6?3， ∴?BOC＝S△AOB－?AOC＝12?3－6?3＝6?3. 拓展類型 反比例函數(shù)綜合題還會(huì)怎么考 1.?解：(1)1.5； 【解法

31、提示】從表格可以看出?xy＝6，∴墨水蓋住的數(shù)據(jù)是?1.5. 6 x 6 x (3)S1＝S2；理由如下： ∵S1＝OA·?OC＝k＝6， S2＝OD·?OF＝k＝6， ∴S1＝S2； (4)4. 【解法提示】∵S 1?????????1??????????????1?????????1 四邊形?OCBA＝OA·?OC＝6，?OCG＝2OD·OC＝2×2＝1，?OAH＝2OA·AH＝2×2＝1， 2.??解：(1)?? 1 n n－1?? n＋1 n－1?? n＋1 n ∴S?四邊形?OGBH＝S?四邊形?OCBA

32、－?OCG－S△OAH＝6－1－1＝4. 1 2 ＋ ＞ ； (2)證法一： 1 1 2 證明： ＋ － n－1 n??? n＋1 n ＝( 1???1????1???1 －?)＋(???－?) n（n－1） n（n＋1） ＝ ＝ 1?????????1 － n＋1－（n－1） n（n＋1）（n－1） 15 n（n＋1）（n－1）， ∴????1???＋????1 即????1 n－1 n＋1??n 證明：?? 1 （n－1）（n＋1）＋???? n

33、－1 （n－1）（n＋1）， （n－1）（n＋1）÷???2 ＝?????? 2n ·n ＝ 2 ∵n>1， ∴n＋1>0，n－1>0， 2 n－1 n＋1－n>0， 1 2 ＋ >?. 證法二： 1 n－1＋?n＋1 ＝ n＋1 （n－1）（n＋1） ＝ 2n 2n n （n－1）（n＋1） 2 ＝ n2 （n－1）（n＋1） n2－1， ＝ n2 ∵n＞1， ∴n2?＞n2－1， ∴ n2 n2－1＞1， ∴?? 1 1

34、2 n－1＋?n＋1?＞?n. 3.?解：(1)函數(shù)圖象如解圖所示： 第?3?題解圖 (3)根據(jù)題意得x－2 (2)①增大；②上，1；③(0，1)； x ＝－2x＋1，解得?x＝±1. 16 當(dāng)?y＝0?時(shí)，－2x＋1＝0，x＝??， ∴△AOB?的面積＝??×(3＋1)×??＝1. 當(dāng)?x＝1?時(shí)，y＝－2x＋1＝－1. 當(dāng)?x＝－1?時(shí)，y＝－2x＋1＝3. ∴交點(diǎn)為(1，－1)，(－1，3)． 1 2 1 1 2 2 17