人教版九年級下冊數(shù)學(xué) 28.2.2 第1課時(shí) 解直角三角形的簡單應(yīng)用 教案

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1、28.2.2 應(yīng)用舉例 第1課時(shí) 解直角三角形的簡單應(yīng)用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．通過生活中的實(shí)際問題體會銳角三角函數(shù)在解題過程中的作用；(重點(diǎn)) 2．能夠把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用解直角三角形求解．(難點(diǎn)) 一、情境導(dǎo)入 為倡導(dǎo)“低碳生活”，人們常選擇以自行車作為代步工具．圖①所示的是一輛自行車的實(shí)物圖，圖②是這輛自行車的部分幾何示意圖，其中車架檔AC與CD的長分別為45cm和60cm，且它們互相垂直，座桿CE的長為20cm.點(diǎn)A、C、E在同一條直線上，且∠CAB＝75°. 你能求出車架檔AD的長嗎？ 二、合作探究 探

2、究點(diǎn)：解直角三角形的簡單應(yīng)用 【類型一】 求河的寬度 根據(jù)網(wǎng)上消息，益陽市為了改善市區(qū)交通狀況，計(jì)劃在康富路的北端修建通往資江北岸的新大橋．如圖，新大橋的兩端位于A、B兩點(diǎn)，小張為了測量A、B之間的河寬，在垂直于新大橋AB的直線型道路l上測得如下數(shù)據(jù)：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的長(精確到0.1米)．參考數(shù)據(jù)：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0；sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5. 解析：設(shè)AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根據(jù)三角函

3、數(shù)得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)得到AB＝4x，依此得到關(guān)于x的方程，進(jìn)一步即可求解． 解：設(shè)AD＝xm，則AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝.∴AB＝4x＝4×≈546.7m. 答：AB的長約為546.7m. 方法總結(jié)：解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造出直角三角形，通過測量角的度數(shù)和測量邊的長度，計(jì)算出所要求的物體的高度或長度． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練” 第3題

4、 【類型二】 求不可到達(dá)的兩點(diǎn)的高度 如圖，放置在水平桌面上的臺燈的燈臂AB長為30cm，燈罩BC長為20cm，底座厚度為2cm，燈臂與底座構(gòu)成的∠BAD＝60°.使用發(fā)現(xiàn)，光線最佳時(shí)燈罩BC與水平線所成的角為30°，此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度CE是多少(結(jié)果精確到0.1cm，參考數(shù)據(jù)：≈1.732)? 解析：首先過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，作BG⊥AD于點(diǎn)G，進(jìn)而求出FC的長，再求出BG的長，即可得出答案． 　　解：過點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F，作BG⊥AD于點(diǎn)G，∴四邊形BFDG是矩形，∴BG＝FD.在Rt△BCF中，∠CBF＝30°，∴CF＝BC·sin30°＝20×＝10c

5、m.在Rt△ABG中，∵∠BAG＝60°，∴BG＝AB·sin60°＝30×＝15cm，∴CE＝CF＋FD＋DE＝10＋15＋2＝12＋15≈38.0(cm)． 答：此時(shí)燈罩頂端C到桌面的高度CE約是38.0cm. 方法總結(jié)：將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，畫出平面圖形，構(gòu)造出直角三角形轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第6題 【類型三】 方案設(shè)計(jì)類問題 小鋒家有一塊四邊形形狀的空地(如圖③，四邊形ABCD)，其中AD∥BC，BC＝1.6m，AD＝5.5m，CD＝5.2m，∠C＝90°，∠A＝53°.小鋒的爸爸想買一輛長4.9m，寬1.9m的汽車停

6、放在這塊空地上，讓小鋒算算是否可行．小鋒設(shè)計(jì)了兩種方案，如圖①和圖②所示． (1)請你通過計(jì)算說明小鋒的兩種設(shè)計(jì)方案是否合理； (2)請你利用圖③再設(shè)計(jì)一種有別于小鋒的可行性方案，并說明理由(參考數(shù)據(jù)：sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，tan53°＝)． 解析：(1)方案1，如圖①所示，在Rt△AGE中，依據(jù)正切函數(shù)求得AG的長，進(jìn)而求得DG的長，然后與汽車的寬度比較即可；方案2，如圖②所示，在Rt△ALH中，依據(jù)正切函數(shù)求得AL的長，進(jìn)而求得DL的長，然后與汽車的長度比較即可；(2)讓汽車平行于AB停放，如圖③，在Rt△AMN中，依據(jù)正弦函數(shù)求得AM的長，進(jìn)而求得DM的長

7、．在Rt△PDM中，依據(jù)余弦函數(shù)求得PM的長，然后與汽車的長度比較即可． 解：(1)如圖①，在Rt△AGE中，∵∠A＝53°，∴AG＝＝m≈3.68m，∴DG＝AD－AG＝5.5－3.68＝1.82m＜1.9m，故此方案不合理；如圖②，在Rt△ALH中，∵∠A＝53°，LH＝1.9m，∴AL＝＝≈1.43m，∴DL＝AD－AL＝5.5－1.43＝4.07m＜4.9m，故此方案不合理； (2)如圖③，過DA上一點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N，過CD上一點(diǎn)P作PQ⊥AB于點(diǎn)Q，連PM，在Rt△AMN中，∵∠A＝53°，MN＝1.9m，∴AM＝＝≈2.4，∴DM＝5.5－2.4＝3.1m.在Rt△PDM中，∵∠PMD＝∠A＝53°，DM＝3.1m，∴PM＝＝≈5.1m＞4.9m，故此方案合理． 方法總結(jié)：本題主要是利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題，利用三角函數(shù)解決問題． 變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第7題 三、板書設(shè)計(jì) 1．求河寬和物體的高度； 2．其他應(yīng)用類問題． 本節(jié)課為了充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，可引導(dǎo)學(xué)生通過小組討論，大膽地發(fā)表意見，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．能夠使學(xué)生自己構(gòu)造實(shí)際問題中的直角三角形模型，并通過解直角三角形解決實(shí)際問題.