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1、1,第一篇 復變函數(shù)論,主要內(nèi)容: 復變函數(shù)和解析函數(shù) 復變函數(shù)的積分 復變函數(shù)的級數(shù) 留數(shù)定理 傅立葉變換,2, 1.1 復數(shù)與復數(shù)運算,（一）復數(shù)的基本概念,數(shù)的擴展：正數(shù)負數(shù)實數(shù) 在實數(shù)范圍內(nèi)：方程 ax2 + bx + c = 0 當 = b2 4ac < 0時，沒有實根。 擴大數(shù)域，引進復數(shù),第一章 復變函數(shù),3,,復數(shù)定義：,4,復數(shù)相等：,兩復數(shù)： x1+i y1， x2+i y2 當且僅當： x1 x2 , y1 y2 時，我們才能說兩復數(shù)相等，記為 x1+iy1=x2 iy2,注意：復數(shù)不能夠比較大小。,復數(shù)的共軛,復數(shù)z=x+iy的共軛復數(shù) 為z*=x-iy
2、,共軛復數(shù)z*是復數(shù)z關于實軸的對稱點,5,注意：,1）、,2）、,6,復數(shù)的其它表示法,,7,（2）向量表示法,復數(shù)的模(或絕對值),,8,模的性質,三角不等式,復數(shù)的輻角,,,9,輻角的主值,,10,（3）三角表示法,,11,補充：歐拉公式的證明,設,可以證明級數(shù),在整個復數(shù)范圍是絕對收斂的,定義它的和函數(shù)為,z為純虛數(shù)iy時,12,（二）無限遠點,復平面上有些個點比較特殊，比如：零點和無窮遠點。 (1)復數(shù)零的幅角無意義，模為0。 (2)無窮遠點的模為，幅角沒有意義。關于無窮遠點的定義需要借助測地投影法。,復球面,復平面的無限遠處看成一個“點”無限遠點 包括有無限遠點的復數(shù)平面稱為擴充了
3、的復平面,實數(shù)： (-,+) -,+,模有限的復數(shù)跟復平面上的有限遠點一一對應 模為無限大的復數(shù)也跟復平面上一點對應（無限遠點）,13,如圖，一球的南極與復數(shù)平面的原點相切，平面上任意點 A 與球的北極由一條直線相連，直線與球相交于 A 。由此，每一有限的復數(shù) 投影到球上一點 。這個投影叫測地投影，這個球叫復數(shù)球。,所有的無窮大復數(shù)（平面上無限遠點）投影到唯一的北極 N。故我們?yōu)榉奖?，將無窮遠點看作一個點。其模無窮大，幅角無意義。,無窮遠點,14,設z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是兩個復數(shù),復數(shù)加減法滿足平行四邊形法則，或三角形法則,（三）復數(shù)的運算,交換律、結合律、分配律成立,15
4、,乘法運算,兩個復數(shù)相乘等于它們的模相乘，幅角相加,除法運算,兩個復數(shù)相除等于它們的模相除，幅角相減,16,乘方（n整數(shù)）,開方（n整數(shù)）,17,逼近,實變數(shù)極限相關定理完全適用于復數(shù)。,18,,例：討論式子 在復平面上的意義,解：,,,為,圓上各點,19,,例：計算,解：,,令,,20,21,,例：計算,解：,,,令,22,,,23,,,,24,25,,1.2 復變函數(shù),（一）、復變函數(shù)的定義,對于復變集合E中的每一復數(shù),有一個或多個復數(shù)值,w稱為的z復變函數(shù),z稱為w的宗量,,26,（二）、區(qū)域概念,由,確定的平面點集，稱為定點z0的鄰域,（1）、鄰域,（2）、內(nèi)點,定點z0的鄰域
5、全含于點集E內(nèi)，稱z0為點集E的內(nèi)點,（3）、外點,定點z0及其鄰域不含于點集E內(nèi)，稱z0為點集E的外點,（4）、鏡界點,定點z0的鄰域既有含于E內(nèi)，又有不含于E內(nèi)的點，稱z0為點集E的鏡界點。,,,內(nèi)點,鏡界點,外點,27,,,內(nèi)點,鏡界點,外點,（5）、區(qū)域,A）全由內(nèi)點組成,B）具連通性：點集中任何兩點都可以用一條折線連接，且折線上的點屬于該點集。,（6）、閉區(qū)域,區(qū)域連同它的邊界稱為閉區(qū)域，如,表示以原點為圓心半徑為1的閉區(qū)域,（7）、單連通與復連通區(qū)域,單連通區(qū)域：區(qū)域內(nèi)任意閉曲線，其內(nèi)點都屬于該區(qū)域,,,,28,多項式,有理分式,根式,指數(shù)函數(shù),三角函數(shù),雙曲函數(shù),對數(shù)函數(shù),冪函數(shù)
6、,(三) 復變函數(shù)例,實周期2,純虛數(shù)周期2i,純虛數(shù)周期2i,29,, 三角函數(shù),實數(shù)周期 2； (2) 當 (3) 同樣有公式,?？梢源笥?,30,具純虛數(shù)周期 ， 而對應的實函數(shù)為非周期函數(shù),為無窮多值的多值函數(shù)，負實數(shù)的對數(shù)仍有意義,,,指數(shù)函數(shù),雙曲函數(shù),對數(shù)函數(shù),31,,一般冪函數(shù),32,例：求方程 sinz=2,解：,設,,33,,,,,,,兩種情況：,,,,34,,,,,或,由于,35,（四）、極限與連續(xù)性,設w=f(z)在z0點的某鄰域有定義,對于0，存在0,使,有,稱z -- z0時w0為極限，計為,注意：z在全平面，z -- z0須以任意方式,若有,稱f(z)在z0點
7、連續(xù),,36,復變函數(shù)論（theory of complex functions）： 研究自變量是復數(shù)的函數(shù)的基本理論及應用的數(shù)學分支，主要研究對象是解析函數(shù)。,復數(shù)函數(shù)發(fā)展簡史,早在16世紀，一元二次、一元三次代數(shù)方程求解時就引入了虛數(shù)的基本思想，給出了虛數(shù)的符號和運算法則。,1,復數(shù)起源于代數(shù)方程求根,意大利的卡丹諾（G.Cardano,1501-1576）在解三次方程時首先產(chǎn)生了負數(shù)開平方的思想。如,但，由于 在實數(shù)范圍內(nèi)無意義，在很長時間內(nèi)，直到19世紀中葉，這類數(shù)仍然是不合法的。,法國的笛卡爾（R.Descartes,1596-1690）稱其為虛數(shù)(“虛幻數(shù)” imaginary
8、 number),37,2,Bernoulli和Leibniz的爭論 17121713,Bernoulli：負數(shù)的對數(shù)是實數(shù),Leibniz ：不可能有負數(shù)的對數(shù),只對正數(shù)成立,3,Euler 在1747年對這場爭論作了中肯的分析,差一常數(shù),1740年，Euler 給Bernoulli的信中說：,和,是同一個微分方程的解，因此應該相等,1743年，發(fā)表了Euler公式,38,Euler 認為復數(shù)僅在想象中存在，1777年，Euler采用 i 代表,5,十九世紀，有三位代表性人物： 柯西(Cauchy，17891857) 維爾斯特拉斯(Weierstrass，18151897) 黎曼(Rieman，18261866),經(jīng)過他們的不懈努力，終于建立了系統(tǒng)的復變函數(shù)論,4,復數(shù)真正被接受主要歸功于德國數(shù)學家高斯(C.F.Gauss,1777-1855), 1799年，他把復數(shù)的思想融入到對代數(shù)學基本定理的證明中。,
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