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1、1,一、有界性與最大值最小值定理,二、零點定理與介值定理,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質,,2,最大值與最小值 對于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x) 如果有x0I 使得對于任一xI都有 f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值),最大值與最小值舉例:,函數(shù) f(x)=1+sinx在區(qū)間0 2p上有最大值 2 和最小值 0 ,一、有界性與最大值最小值定理,3,函數(shù)y=sgn x 在區(qū)間(- +)內有最大值1和最小值-1 但在開區(qū)間(0 +)內 它的最大值和最小值都是1,最大值與最小值舉例:,一、有界性與最大值最小值定理,最大值與最小值 對于
2、在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x) 如果有x0I 使得對于任一xI都有 f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值),4,并非任何函數(shù)都有最大值和最小值 例如，函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a b)內既無最大值又無最小值,應注意的問題:,一、有界性與最大值最小值定理,最大值與最小值 對于在區(qū)間I上有定義的函數(shù)f(x) 如果有x0I 使得對于任一xI都有 f(x)f(x0) (f(x)f(x0)) 則稱f(x0)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值(最小值),5,說明:,定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得
3、它的最大值和最小值,又至少有一點x2a b 使f(x2)是f(x)在a b上的最小值,至少有一點x1a b 使f(x1)是f(x)在a b上的最大值,定理說明 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 那么,6,應注意的問題: 如果函數(shù)僅在開區(qū)間內連續(xù) 或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點 那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值,例如 函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a b) 內既無最大值又無最小值,定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值,7,又如 如下函數(shù)在閉區(qū)間0 2 內既無最大值又無最小值,應注意的問題: 如果函數(shù)僅在開區(qū)間內連續(xù) 或函數(shù)在閉區(qū)
4、間上有間斷點 那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值,定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值,8,定理2(有界性定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界,證明 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 根據(jù)定理1 存在f(x)在區(qū)間a b上的最大值M和最小值m 使任一xa b滿足 mf(x)M 上式表明 f(x)在a b上有上界M和下界m 因此函數(shù)f(x)在a b上有界,定理1(最大值和最小值定理) 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值,9,注: 如果x0使f(x0)=0 則x0稱為函數(shù)f(x)的零
5、點,定理3(零點定理) 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)與f(b)異號 那么在開區(qū)間(a b)內至少存在一點x 使f(x)=0,二、零點定理與介值定理,10,例1 證明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(0 1)內至少有一個根 證明 設 f(x)=x3-4x2+1 則f(x)在閉區(qū)間0 1上連續(xù) 并且 f(0)=10 f(1)=-2<0 根據(jù)零點定理 在(0 1)內至少有一點x 使得 f(x)=0 即 x 3-4x 2+1=0 這說明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(0 1)內至少有一個根是x ,二、零點定理與介值定理,定理3(零點定理) 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)
6、間a b上連續(xù) 且f(a)與f(b)異號 那么在開區(qū)間(a b)內至少存在一點x 使f(x)=0,11,定理4(介值定理) 設函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)f(b) 那么 對于f(a)與f(b)之間的任意一個數(shù)C 在開區(qū)間(a b)內至少有一點x 使得f(x)=C,二、零點定理與介值定理,定理3(零點定理) 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)與f(b)異號 那么在開區(qū)間(a b)內至少存在一點x 使f(x)=0,12,二、零點定理與介值定理,定理3(零點定理) 設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)與f(b)異號 那么在開區(qū)間(a b)內至少存在一點x 使f(x)=0,推論 在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值,定理4(介值定理) 設函數(shù) f(x)在閉區(qū)間a b上連續(xù) 且f(a)f(b) 那么 對于f(a)與f(b)之間的任意一個數(shù)C 在開區(qū)間(a b)內至少有一點x 使得f(x)=C,13,作 業(yè) 習題1.3 (P60): 13. 16. 18.,
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