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1、動態(tài)電路概述及其初始條件的確定 一階電路的零輸入響應 一階電路的零狀態(tài)響應 一階電路的全響應 二階電路的零輸入響應 二階電路的零狀態(tài)響應 一階電路和二階電路的階躍響應 一階電路和二階電路的沖激響應,Chapter 7 一階電路與二階電路(?-order circuits),7-1 動態(tài)電路的方程及其初始條件,一、過渡過程,在電路中,由于存在儲能元件,故存在過渡過程,并稱此電路為動態(tài)電路。,而把某時刻t 的電容電壓uC(t)和電感電流iL(t)稱為該時刻電路的狀態(tài)。, 概念:將電路條件的變化稱為換路。它包括由于開關動作而引起電路導通或是關斷,或是電路結構和參數(shù)的突然改變等。,1、換路,二、電路中
2、初始條件的確定,若電路中有第二次換路,一般記t=t0為換路瞬間,換路前瞬間為t=t0-,換路后瞬間記為t=t0+。, 表示方法:設t=0為換路瞬間,其中t=0表示換路前瞬間;t=0+表示換路后瞬間,換路經歷的時間為0到0+ 。, 換路定則,電感電壓uL(0)為有限值:,電容電流 iC(0)為有限值:,若在換路瞬間:,初始值:電路中u、i 在 t = 0+時的大小??煞謨深?,2、電壓和電流初始值的確定, 電路中其它的電壓、電流的初始值(非獨立初始條件) 如:電容電流、電感電壓、電阻電壓和電流??僧嫵鰟討B(tài)電路在t= 0+時的等效電路,由此求出各元件上的電壓、電流初始值。, 電容電壓和電感電流的
3、初始值(獨立初始條件),即 uC(0+) 和 iL(0+)。據換路定則,通過換路前瞬間的 uC(0) 和 iL(0)求出。,求初始值的具體步驟是:,(1)由換路前 t=0時刻的電路(一般為穩(wěn)定狀態(tài)) 求uC (0) 或 iL (0) ; (2)由換路定則得uC (0+) 和iL (0+) ; (3)畫 t=0+ 時刻的等效電路: 電容用電壓源替代,電感 用電流源替代。大小為 0+ 的值,方向與原假定的電容 電壓、電感電流方向相同。 (4)由 t=0+時刻的電路求所需其他變量的 0+ 值。,動態(tài)電路中,激勵除獨立源外,還可以是動態(tài)元件上的初始儲能 ,即uC(0+)或iL(0+)
4、所決定 。對線性動態(tài)電路而言,其響應為二者響應之疊加。,零輸入響應:電路中無獨立源激勵(輸入信號為零),僅有動態(tài)元件初始儲能的激勵所產生的響應。,零狀態(tài)響應:換路前電路中的儲能元件均未存儲能量,電路僅有外加激勵所產生的響應。,7-2 一階電路的零輸入響應(Zero-input Responds),分析:t0時,電路穩(wěn)態(tài),故uC(0)=U0 t0時,電路換路,變成RC串聯(lián)電路。,由換路定則:uC(0+)= uC(0)= U0,根據KVL: uRuC = 0,又由元件VAR:uR = Ri,代入上式,有:,這是一階齊次微分方程,其通解為:,式中p為一待求常數(shù),通解代入方程有:,于是得其特征方
5、程為: RCp+1=0,特征根為: p = 1/RC,方程的解為:,式中系數(shù)A需由初始條件確定:,并可求出電流:,方程的解為:,即方程的解為:,RC串聯(lián)電路的時間常數(shù),t 0 2 3 4 5 1 0.368 0.135 0.05 0.018 0.007 0,實際中t5 時,e-t/0,視為衰減結束。,設 RC,并稱為該電路的時間常數(shù),單位是秒S,其大小決定了指數(shù)函數(shù)衰減的快慢。見下表:,三個不同時間常數(shù)下的變化曲線:,,,,U0,1 <2 < 3,時間常數(shù) 的大小取決于電路的結構和參數(shù),而與初始電壓的大小無關。,結論:時間常數(shù)愈小,過渡過程愈短:反之愈長。,在整個放
6、電過程中,電阻R上消耗的能量為:,即電容的儲能全部被電阻消耗,轉換為熱能。,例7-4 圖示電路中開關S原在位置1,且電路達穩(wěn)態(tài)。t=0時開關由1合向2,試求t0時的電流i(t)。,解:首先求出:,換路后,電容經R1、R2放電:,4,R2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,S,R,R1,1,2,4,+,+,-,-,2,,C 1F,10V,uc,,i,,(t=0),,2、RL串聯(lián)電路,,,,+,,,,R,R1,Us,K(t=0),,L,iL,,,,由換路定則,iL(0+) = iL(0) = I0,分析:t0時,電路穩(wěn)態(tài),iL(0) = Us /R1=I0 t0時,電路換路
7、,變成RL串聯(lián)電路。,已知:開關K在t =0時動作,之前電路處于穩(wěn)態(tài)。求: t0時,uR和 iL 的變化規(guī)律。,由KVL: uL + uR = 0,可得電路的微分方程:,由元件VAR: uR =RiL,解出特征根為: p = -R/L 則電流: iL=AeRt/L 令 =L/R, 則: iL=Aet/,由初始條件可確定 A= I0,則,其通解為: 代入方程得它的特征方程: Lp+R=0,電感電流iL和電阻電壓uR的變化曲線為:,RL電路時間常數(shù): =L/R (L-H,R-, -S) 與 RC電路中的時間常數(shù)意義相同。,注意:電感放電瞬間,兩端可能會出現(xiàn)高壓。,uV (0+
8、)= -10000V,,iL,K(t=0),L=4H,R=10,,,,,,,,,,,V,RV 10k,10V,,,t=0時, 打開開關K,發(fā)現(xiàn)電壓表壞了,為什么?,電壓表量程:50V,小結:,其解的形式為:, 零輸入響應的衰減快慢取決于時間常數(shù),其中RC 電路=RC ,RL 電路=L/R ,R 是指與動態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。, 同一電路中所有響應具有相同的時間常數(shù)。, 零輸入響應是初始狀態(tài)的線性函數(shù)。, 在零輸入條件下一階電路響應的方程為:,7-3 一階電路的零狀態(tài)響應,零狀態(tài)響應是指電路中的儲能元件處于零初始狀態(tài),僅由外加激勵所引起的響應。本節(jié)只討論激勵為直流電源的情況。,t0時
9、,電容上的電壓uC(0)= 0,t0時,根據KVL有:uR+ uC =Us,代入元件VAR,有:,uCh(t)方程的齊次解,形式為Ae-t/RC 又稱響應的自由分量或暫態(tài)分量。,uCp(t)方程的特解,與方程右邊形式相同,即常數(shù),設為B 又稱響應的強制分量或穩(wěn)態(tài)分量。,uC(t) = uCh(t) + uCp(t)= Ae-t/RC + B,1、確定特解 將uCp=B 代入方程:,則B=Us ,即uCp=Us,2、確定齊次解中的常數(shù)A,則A= Us,所以t0時,電路的解為: uC(t)= Us(1et/RC ),電容充電過程中的能量關系:,電容儲能:,電阻耗能:,表明:不論R、
10、C為何值,充電過程中,電源所供給的能量一半轉為電容儲能,另一半消耗在電阻上。,電源提供能量:,分析:這是動態(tài)電路中具有2個時間常數(shù)的暫態(tài)計算問題??蓪栴}分成2個時間區(qū)間來討論,即區(qū)間0,T 和T,。,,,,,,,,,,,+,,uC,R1,R2,C,,Is,K1,K2,,,,例7-5 圖示電路,開關K1在t =0時閉合;開關K2在t =T=R1C 時閉合,同時K1打開。已知uC(0)=0,求: t0 后的uC(t),0t T時,電路為零狀態(tài)響應:,uC(0+) = uC(0)=0 uCp = R1Is,1 =R1C,tT時,電路為零輸入響應,初始時刻為t =T =R1C,則初值為:,,,,t,
11、0,uC,響應曲線為:,,二、RL并聯(lián)電路,圖示電路中, iL(0)= 0。 在t=0時,開關打開,分析iL、 iR的變化規(guī)律。,解:由KCL, iR + iL = Is,將 代入上式:,,,,,R,Is,,L,iL,,,,,,,,iR,則有,方程的解: iL = iLh + iLp = AeRt/L + Is,則方程的解為: iL = IseRt/L + Is = Is(1 eRt/L ),一階電路的零狀態(tài)響應,是從零初始值向穩(wěn)態(tài)值變化的過程。 uC 和 iL充電過程的通用表達式為:,結論:,7-4 一階電路的全響應 (Complete response),一個具有非零初始狀態(tài)的動態(tài)電
12、路,受到外加激勵所引起的響應稱為該電路的完全響應。簡稱全響應。,t0時,電路的微分方程為:,這也是一階非齊次微分方程。,與零狀態(tài)響應的微分方程形式一致,只是初始條件不同。因此可求出完全響應為: uC(t)= uCh+ uCp= (U0 Us )e-t /RC +Us,,,,,Us,+,uC,K,R,i,,+,,,,C,uC(t)= uCh+ uCp= (U0 Us )e-t /RC +Us,若將全響應uC中的各分量重新組合,即:,uC(t)= (U0 Us)e t /RC+ Us =Us(1 et/RC ) +U0 et /RC =uCe+ uCf,其中的 uCh為暫態(tài)分量,
13、 uCp 為穩(wěn)態(tài)分量。,其中的uCe是零狀態(tài)響應, uCf 是零輸入響應。,全響應=零狀態(tài)響應+零輸入響應,uC(t)= uCh+ uCp= (U0 Us)et /RC +Us 全響應=暫態(tài)(自由)響應+穩(wěn)態(tài)(強制)響應 強調的是電路響應與其工作狀態(tài)之間的關系。 uC(t)= uCe+uCf =Us(1 et /RC ) +U0 et /RC 全響應=零狀態(tài)響應+零輸入響應 強調的是激勵與響應之間的因果關系; 即線性電路的可疊加性。,總結:,一階電路的三要素法,一階線性電路在直流電源的激勵下,其全響應的一般表達式為: f(t) = f() + f(0+) - f() e
14、-t/ 其中: f(0+) 響應變量的初始值; f() 響應變量的穩(wěn)態(tài)值; t0時,一階電路的時間常數(shù)。,表明:只要求出以上三個數(shù)值,即可根據一般表達式直接寫出該電路的全響應,而不必求解電路微分方程。此方法稱“三要素”法。,初始值f(0+)的計算,(1) 先求換路前的uC(0-)、iL(0-) ,再應用換路定則。,(2) 畫出換路后瞬間的等效電路,求其他的u (0+) 或i (0+),一、三要素的計算方法,穩(wěn)態(tài)值f()的計算,畫出換路后長時間,達到穩(wěn)定狀態(tài)時的等效電路。即在直流激勵下,視C為開路,L為短路。,(2) 根據電路一般分析方法或定理, 求換路后其他的穩(wěn)態(tài)值。,(1) 對任意RC串聯(lián)電路,將C以外的電路視為有源二端網絡, 求其等效電阻 R, =RC,(2) 對任意RL串聯(lián)電路,將L以外的電路視為有源二端網絡, 求其等效電阻 R , = L/R,由換路后的電路結構和參數(shù)計算。同一電路中各未知量的 是一樣的。,時間常數(shù)的計算,例7-6 已知:K在t=0時閉合,換路前電路處于穩(wěn)態(tài)。求:電感電壓uL(t),并作出曲線。,二、應用舉例,解:第一步:求初始值,第二步:求穩(wěn)態(tài)值,第三步:求時間常數(shù),第四步: 將三要素代入一般表達式,第五步: 畫過渡過程曲線,