《多邊形的內角和與外角和》教案 (省優(yōu))2022年華師大版數(shù)學教學設計

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1、 9.2 多邊形的內角和與外角和 教學目標 【知識與技能】 1.理解多邊形的概念和正多邊形的概念. 2.了解多邊形的內角、外角、對角線等概念.3、在熟悉和掌握多邊形內角和定理的根底上， 推理并掌握多邊形的外角和定理. 【過程與方法】 經(jīng)歷質疑、猜測、歸納等活動，開展學生的推理能力，積累數(shù)學活動的經(jīng)驗，在探索中學會 與人合作，學會和別人交流自己的思想和方法. 【情感態(tài)度】 讓學生體驗猜測得到證實的喜悅和成就感，在解題中感受生活中數(shù)學的存在，體驗數(shù)學中充 滿著探索和創(chuàng)造. 教學重難點 【教學重點】 多邊形內角和定理的探索和應用. 【教學難點】 多邊形的內角和

2、，外角和定理的推導. 課前準備 課件 教學過程 一、情境導入，初步認識 什么叫三角形？你能說出什么叫四邊形、五邊形嗎？三角形如何表示？四邊形和五邊形又是 怎樣表示呢？ 【教學說明】把學生的注意力自然的引入研究方向，為課題的研究做鋪墊. 二、思考探究，獲取新知 探究 1 多邊形的概念 三角形是由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形.記作：△ABC. 四邊形是由四條不在同一條直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形 . 記作：四邊形 ABCD. 五邊形是由五條不在同一直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形.記作：五邊形 ABCDE. 一般地，由 n

3、條不在同一直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形稱為 n 邊形，又稱為多 邊形. 注意：①我們現(xiàn)在只研究多邊形，如圖(2)，(3)； ②圖(4)也是多邊形，但不是我們現(xiàn)在研究范圍. ③與三角形類似，如圖(5)所示，∠A、∠D、∠C、∠ABC 是四邊形 ABCD 的四個內角，∠CBE 和∠ABF 都是與∠ABC 相鄰的外角，兩者互為對頂角，稱為一對外角. 探究 2 正多邊形 如果多邊形的各邊都相等，各內角也都相等，那么就稱它為正多邊形. 如：正三角形、正四邊形〔正方形〕、正五邊形等. 連結多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線. 探究 3 多邊形的內角

4、和 我們知道三角形的三個內角和是 180 度，那么四邊形、五邊形、六邊形……的內角和是多少？ 由以下列圖可以看出，從多邊形的一個頂點引出的對角線把多邊形劃分為假設干個三角形， 我們一個三角形的內角和等于 180 度，這樣我們就可以求出多邊形的內角和. 根據(jù)我們的分析，完成下表： 由此，我們可以得出： 【歸納結論】n 邊形的內角和為(n-2)·180°. 探究 4 多邊形對角線的條數(shù) 你能根據(jù)上面的分析，總結出多邊形對角線的條數(shù)嗎？ 分析：n 邊形從一個頂點可以畫出〔n-3〕 條對角線，n 邊形共有 n 個頂點，這樣 n 邊形一 共可以畫 n〔n-3〕條對角線，但是每條對角

5、線計算了兩遍，所以n 邊形一共有 n(條對角線. 探究 5 多邊形的外角和 與多邊形的每個內角相鄰的外角分別有兩個，這兩個外角是對頂角，從與每個內角相鄰的兩 個外角中分別取一個相加，得到的和稱為多邊形的外角和. 如圖(1)四邊形 ABCD，∠1、∠2、∠3、∠4 分別是四個外角，求：∠1+∠2+∠3+∠4 的度數(shù). 因為∠1+∠DAB=∠2+∠CBA=∠3+∠DCB=∠4+∠ADC=180° 又因為∠DAB+∠CBA+∠DCB+∠ADC=360°〔四邊形內角和等于 360°〕所以∠1+∠2+∠ 3+∠4=360°. 所以四邊形的外角和等于 360°. 根據(jù) n 邊形的每一個內角與它相

6、鄰的外角互為補角，就可以求得 n 邊形的外角和，填 表： 【歸納結論】任意多邊形的外角和都為 360°. 【教學說明】我們是把多邊形的問題轉化成三角形，再由三角形內角和為180°，求出多邊 形內角和與外角和，從而使問題得到解決！ 三、運用新知，深化理解 1.如果一個多邊形的內角和是它的外角和的 3 倍，那么這個多邊形是〔 〕 ∶2，那么 n 為〔 〕 A.6 B.7 C.8 ∶1，那么這個多邊形是〔 〕 A.正六邊形 C.正十邊形 度，四個內角中最多可有 個銳角. ∶3∶5∶6，那么這個四邊形各內角順次 是 度. 6.多邊形的每

7、一個內角都相等，它的一個外角等于正十邊形的一個內角的 .求這個多邊形的邊數(shù). 7.(1)一個多邊形的內角和等于 2340°，求它的邊數(shù)； (2)一個正多邊形的一個內角為 150°，你知道它是幾邊形嗎？ °，求這個正多邊形的邊數(shù). 9.(1)四邊形有幾條對角線？ (2)五邊形有幾條對角線？六邊形呢？n 邊形呢？ °，求(1)這個多邊形的邊數(shù)，(2)過一個頂點有幾條對角線，(3)總對角線條數(shù). 【教學說明】復習今天所學，了解學生學習效果. 【答案】 4.360, 3 5.24，72，120，144 6. 6 7.解：(1)設邊數(shù)為 n，那么有 (n-2)·18

8、0°=2340° n-2=13, n=15； (2)設這個多邊形為 n 邊形，那么有(n-2)·180°=150°n n=12 這個多邊形是十二邊形. 8.分析：正多邊形的各個內角都相等，那么各個外角也都相等，而多邊形的外角和是 360°. 解：設一個外角為 x°，那么內角為(x+36)° 因為多邊形的內角與相鄰的外角互補； 所以 x°+x°+36°=180° 解得 x°=72° 360°÷72°=5 答：這個多邊形是五邊形. 9.解：(1)四邊形有兩條對角線. (2)如圖 2，以 A 為頂點的對角線有兩條 AC、AD 同樣以 B 為端點的對角線也有 2 條，以 C 為

9、 端點也有 2 條，但 AC 與 CA 是同一條線段，以 D 為端點的兩條 DA、DB 與 AD、BD 分別表示同 一條線段，所以只有 5 條，以此類推六邊形有 9 條對角線，從以上分析可知從 n 邊形的一個 頂點引對角線，可以引(n-3)條，那么 n 個頂點就有 n(n-3)條，但其中每一條都重復計算一 次，所以 n 邊形一共有條對角線. 10.解：(1)(n-2)·180°=1440° ? ? n=10 (2)n-3=10-3=7 答：這個多邊形是十邊形，過一個頂點的對角線有 7 條，共有 35 條對角線. 四、師生互動，課堂小結 先小組內交流收獲和感想而后

10、以小組為單位派代表進行總結.教師作以補充. 課后作業(yè) 1.布置作業(yè):教材第 88 頁“習題 9.2〞中第 1 、2、3 題. 2.完成練習冊中本課時練習. 五、教學反思 本節(jié)課通過把多邊形劃分成假設干個三角形，用三角形內角和去求多邊形的內角和，從而得 到多邊形的內角和公式為(n-2)·180°°，與邊數(shù)無關，所以常把多邊形內角的問題轉化為 外角和來處理.通過練習情況來看學生本節(jié)課掌握的較好. 第 2 課時  三角形的三邊關系 1．掌握三角形按邊分類方法，能夠判定三角形是否為特殊的三角形； 2．探索并掌握三角形三邊之間的關系，能夠運用三角形的三邊關系解決問題

11、．(難點) 一、情境導入 數(shù)學來源于生活，生活中處處有數(shù)學．觀察下面的圖片，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 問：你能不能給三角形下一個完整的定義？ 二、合作探究 探究點一：三角形按邊分類 以下關于三角形按邊分類的集合中，正確的選項是( ) 解析： ì不等邊三角形 三角形根? í等腰三ì?只有兩邊相等的三角形 據(jù)邊分類 í ?角形 ??三邊相等的三角形〔等邊三角形〕 應選 D. 方法總結：三角形按邊分類，分成不等邊三角形與等腰三角形，知道等邊三角形是特殊 的等腰三角形是解此題的關鍵． 探究點二：三角形中三邊之間的關系 【類型一】 判定三條線段能

12、否組成三角形 以以下各組線段為邊，能組成三角形的是( ) A．2cm，3cm，5cm B．5cm，6cm，10cm C．1cm，1cm，3cm D．3cm，4cm，9cm 解析：選項 A 中 2＋3＝5，不能組成三角形，故此選項錯誤；選項 B 中 5＋6＞10，能 組成三角形，故此選項正確；選項C 中 1＋1＜3，不能組成三角形，故此選項錯誤；選項D 中 3＋4＜9，不能組成三角形，故此選項錯誤．應選 B. 方法總結：判定三條線段能否組成三角形，只要判定兩條較短的線段長度之和大于第三 條線段的長度即可． 【類型二】 判斷三角形邊的取值范圍 一個三角形的三邊長分別為 4，7

13、，x，那么 x 的取值范圍是( ) A．3＜x＜11 B．4＜x＜7 C．－3＜x＜11 D．x＞3 解析：∵三角形的三邊長分別為 4，7，x，∴7－4＜x＜7＋4，即 3＜xA. 方法總結：判斷三角形邊的取值范圍要同時運用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第 三邊． 【類型三】 三角形三邊關系與絕對值的綜合 假設 a，b，c 是△ABC 的三邊長，化簡|a－b－c|＋|b －c－a|＋|c＋a－b|. 解析：根據(jù)三角形三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，來判定絕對 值里的式子的正負，然后去絕對值符號進行計算即可． 解：根據(jù)三角形的三邊關系，兩邊之和大于第三

14、邊，得 a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋ a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b. 方法總結：絕對值的化簡首先要判斷絕對值符號里面的式子的正負，然后根據(jù)絕對值的 性質將絕對值的符號去掉，最后進行化簡．此類問題就是根據(jù)三角形的三邊關系，判斷絕對 值符號里面式子的正負，然后進行化簡． 三、板書設計 1．三角形按邊分類： 有兩邊相等的三角形叫做等腰三角形，三邊都相等的三角形是等邊三角形，三邊互不相 等的三角形是不等邊三角形． 2．三角形中三邊之間的關系： 三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形任意兩邊之差小于第三邊． 本節(jié)課讓學生經(jīng)歷一個探究解決問題的過程，抓住“任意的三條線段能不能圍成一個 三角形〞引發(fā)學生探究的欲望，圍繞這個問題讓學生自己動手操作，發(fā)現(xiàn)有的能圍成，有的 不能圍成，由學生自己找出原因，為什么能？為什么不能？初步感知三條邊之間的關系，重 點研究“能圍成三角形的三條邊之間到底有什么關系〞．通過觀察、驗證、再操作，最終發(fā) 現(xiàn)三角形任意兩邊之和大于第三邊這一結論．這樣教學符合學生的認知特點，既增加了學習 興趣，又增強了學生的動手能力