江蘇省無錫新領航教育咨詢有限公司2015屆中考數(shù)學 重點難點突破六

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1、重點難點突破六 課前集訓鞏固提高 已知：在△ABC中，BC=10，BC邊上的高h=5，點E在邊AB上，過點E作EF∥BC，交AC邊于點F．點D為BC上一點，連接DE、DF．設點E到BC的距離為x，則△DEF的面積S關于x的函數(shù)圖象大致為（ ）． 【答案】D． 【解析】 試題分析：判斷出△AEF和△ABC相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出EF=10-2x，，再根據(jù)三角形的面積列式表示出S與x的關系式為，然后得到大致圖象為D． 故選：D． 考點：二次函數(shù)解析式的求法；畫二次函數(shù)圖象． 2．如圖，邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉45°后得到正方形AB1C1

2、D1，邊B1C1與CD交于點O，則四邊形AB1OD的面積是（） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】 試題分析：連接AC1，AO，根據(jù)四邊形AB1C1D1是正方形，得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°，求出∠DAB1=45°，推出A、D、C1三點共線，在Rt△C1D1A中，由勾股定理求出AC1，進而求出DC1=OD，根據(jù)三角形的面積計算即可． 試題解析：連接AC1， ∵四邊形AB1C1D1是正方形， ∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1， ∵邊長為1的正方形ABCD繞點A逆時針旋轉45°后得到正方形AB1C1D1， ∴∠B1A

3、B=45°， ∴∠DAB1=90°-45°=45°， ∴AC1過D點，即A、D、C1三點共線， ∵正方形ABCD的邊長是1， ∴四邊形AB1C1D1的邊長是1， 在Rt△C1D1A中，由勾股定理得：AC1=， 則DC1=， ∵∠AC1B1=45°，∠C1DO=90°， ∴∠C1OD=45°=∠DC1O， ∴DC1=OD=， ∴S△ADO=×OD·AD=， ∴四邊形AB1OD的面積是=， 故選C． 考點：1．旋轉的性質；2．正方形的性質． 3．若關于x的一元二次方程的常數(shù)項為0，則m的值為（ ） A．1 B．2 C．1或2

4、 D．0 【答案】B． 【解析】 試題分析：根據(jù)一元二次方程成立的條件及常數(shù)項為0列出方程組，求出m的值即可． 試題解析：∵方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0是一元二次方程且常數(shù)項為0， ∴， 解得：m=2． 故選B． 考點：一元二次方程的定義． 4．如圖，將△AOB繞點O按逆時針方向旋轉45°后得到△A′OB′，若∠AOB=15°，∠AOB′的度數(shù)是（ ） A．25° B．30° C．35° D．40° 【答案】B． 【解析】 試題分析：根據(jù)旋轉的性質得出答案即可． 試題解析：∵將△AOB繞點O按逆

5、時針方向旋轉45°后得到△A′OB′， ∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°， ∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°， 故選B． 考點：旋轉的性質． 5．若函數(shù)y=mx2＋（m＋2）x＋m＋1的圖象與x軸只有一個交點，那么m的值為 . 【答案】0. 【解析】 試題分析：分為兩種情況：函數(shù)是二次函數(shù)，函數(shù)是一次函數(shù)，求出即可． 試題解析：分為兩種情況： ①當函數(shù)是二次函數(shù)時， ∵函數(shù)y=mx2+（m+2）x+m+1的圖象與x軸只有一個交點， ∴△=（m+2）2-4m（m+1）=0且m≠0， 解得：m=±， ②當函數(shù)是一

6、次函數(shù)時，m=0， 此時函數(shù)解析式是y=2x+1，和x軸只有一個交點， 考點：拋物線與x軸的交點． 6．如圖，矩形ABCD的對角線BD經(jīng)過坐標原點，矩形的邊分別平行于坐標軸，點C在反比例函數(shù)的圖象上．若點A的坐標為（－2，－2），則k的值為（ ） A．3 B．4 C．-4 D．－5 【答案】A． 【解析】 試題分析：根據(jù)矩形的對角線將矩形分成面積相等的兩個直角三角形，找到圖中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四邊形CEOF=S四邊形HAGO，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義即可求出

7、k+1=4，再解出k的值即可． 試題解析：如圖： ∵四邊形ABCD、HBEO、OECF、GOFD為矩形， 又∵BO為四邊形HBEO的對角線，OD為四邊形OGDF的對角線， ∴S△BEO=S△BHO，S△OFD=S△OGD，S△CBD=S△ADB， ∴S△CBD-S△BEO-S△OFD=S△ADB-S△BHO-S△OGD， ∴S四邊形HAGO=S四邊形CEOF=2×2=4， ∴xy=k+1 =4， 解得k=3． 故選A． 考點：反比例函數(shù)綜合題． 7．如圖，平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=-x+b（b為常數(shù)，b＞0）的圖象與x軸、y軸分別相交于點A、B，半徑為4的⊙

8、O與x軸正半軸相交于點C，與y軸相交于點D、E，點D在點E上方． （1）若直線AB與有兩個交點F、G． ①求∠CFE的度數(shù)； ②用含b的代數(shù)式表示FG2，并直接寫出b的取值范圍； （2）設b≥5，在線段AB上是否存在點P，使∠CPE=45°？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）45°; FG2=64×（1-）（4≤b＜5）；（2）不存在，理由見解析. 【解析】 試題分析：（1）連接CD，EA，利用同一條弦所對的圓周角相等求行∠CFE=45°， （2）作OM⊥AB點M，連接OF，利用兩條直線垂直相交求出交點M的坐標，利用勾股定理求出FM2，再求出FG

9、2，再根據(jù)式子寫出b的范圍， （3）當b=5時，直線與圓相切，存在點P，使∠CPE=45°，再利用△APO∽△AOB和△AMP∽△AOB相似得出點P的坐標，再求出OP所在的直線解析式． 試題解析：（1）①如圖1， ∵∠COE=90° ∴∠CFE=∠COE=45°; 如圖2，作OM⊥AB點M，連接OF， ∵OM⊥AB，直線的函數(shù)式為：y=-x+b， ∴OM所在的直線函數(shù)式為：y=x， ∴交點M（，） ∴OM2=（）2+（）2， ∵OF=4， ∴FM2=OF2-OM2=42-（）2-（）2， ∵FM=FG， ∴FG2=4FM2=4×[42-（）2-（）2]=64-=6

10、4×（1-）， ∵直線AB與有兩個交點F、G． ∴4≤b＜5， ∴FG2=64×（1-）（4≤b＜5） （2）如圖， 當b=5時，直線與圓相切， ∵在直角坐標系中，∠COE=90°， ∴∠CPE=∠ODC=45°， ∴存在點P，使∠CPE=45°， 連接OP， ∵P是切點， ∴OP⊥AB， ∴△APO∽△AOB， ∴， ∵OP=r=4，OB=5，AO=， ∴ 即AP=， ∵AB==， 作PM⊥AO交AO于點M，設P的坐標為（x，y）， ∵△AMP∽△AOB， ∴ ∴， ∴y=， ∴x=OM= ∴點P的坐標為（，）． 當b＞5時，直線與圓相離

11、，不存在P點. 考點：圓的綜合題． 8．【閱讀材料】己知，如圖1，在面積為S的△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，內(nèi)切⊙O的半徑為r.連接OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個小三角形． ∵S=S△OBC＋S△OAC＋S△OAB=BC·r＋AC·r＋AB·r=a·r＋b·r＋c·r=（a＋b＋c）r ∴ （1）【類比推理】如圖2，若面積為S的四邊形ABCD存在內(nèi)切圓（與各邊都相切的圓），各邊長分別為AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四邊形的內(nèi)切圓半徑r的值； （2）【理解應用】如圖3，在Rt△ABC中，內(nèi)切圓O的半徑為r，⊙O與△ABC分別相切于D、E和F，己知AD=

12、3，BD=2，求r的值. 【答案】（1）；（2）1. 【解析】 試題分析：（1）已知已給出示例，我們仿照例子，連接OA，OB，OC，OD，則四邊形被分為四個小三角形，且每個三角形都以內(nèi)切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，這與題目情形類似．仿照證明過程，r易得． （２）連接OE、OD、OF，按示例易求出r. 試題解析：（1）如圖2，連接OA、OB、OC、OD． ∵S=S△AOB＋S△BOC＋S△COD＋S△AOD ∴． （2）連接OE、OF，則四邊形OECF是正方形 OE=EC=CF=FO=r 在Rt△ABC中，AC2＋BC2=AB2 （3＋r）2＋（2＋r）2=52………

13、…7分 r2＋5r-6=0解得：r=1（負根舍去）． 考點：圓的綜合題 9．平面直角坐標系中，如圖，將個邊長為1的正方形并排組成矩形OABC，相鄰兩邊OA和OC分別落在x軸和y軸的正半軸上，設拋物線y＝ax 2＋bx＋c（a＜0）過矩形頂點B、C。 （1）當n＝1時，如果a＝－1，試求b的值。 （2）當n＝2時，在矩形OABC上方作一邊長為1的正方形EFMN，使EF在線段CB上，如果M，N兩點也在拋物線上，求出此時拋物線的解析式。 （3）當n=3時，將矩形OABC繞點O順時針旋轉，使得點B落到x軸的正半軸上，如果該拋物線同時經(jīng)過原點O，求a的值。 【答案】（1）1；（2）

14、y=-x2+x+1；（3）-． 【解析】 試題分析：（1）根據(jù)已知得到拋物線對稱軸為直線x=，代入即可求出b； （2）設所求拋物線解析式為y=ax2+bx+1，由對稱性可知拋物線經(jīng)過點B（2，1）和點M（，2），把B、M的坐標代入得到方程組，求出a、b的值即可得到拋物線解析式； （3）當n=3時，OC=1，BC=3，設所求拋物線解析式為y=ax2+bx，過C作CD⊥OB于點D，則Rt△OCD∽Rt△OBC，得出，設OD=t，則CD=3t，根據(jù)勾股定理OD2+CD2=OC2，求出t，得出C的坐標，把B、C坐標代入拋物線解析式即可得到方程組，求出a即可． 試題解析：（1）∵拋物線過矩形頂

15、點B、C，其中C（0，1），B（n，1） ∴當n=1時，拋物線對稱軸為直線x=， ∴-， ∵a=-1， ∴b=1， 答：b的值是1． （2）設所求拋物線解析式為y=ax2+bx+1， 由對稱性可知拋物線經(jīng)過點B（2，1）和點M（，2）， 則， 解得 ∴所求拋物線解析式為y=-x2+x+1， 答：此時拋物線的解析式是y=-x2+x+1 （3）當n=3時，OC=1，BC=3， 設所求拋物線解析式為y=ax2+bx， 過C作CD⊥OB于點D， 則Rt△OCD∽Rt△OBC， ∴， 設OD=t，則CD=3t， ∵OD2+CD2=OC2， ∴（3t）2+t2=1

16、2， ∴t=， ∴C（，）， 又∵B（，0）， ∴把B、C坐標代入拋物線解析式，得， 解得：a=-， 答：a的值是-． 考點：二次函數(shù)綜合題 10．如圖，以矩形ABCD的對角線AC的中點O為圓心、OA長為半徑作⊙O，⊙O經(jīng)過B、D兩點，過點B作BK⊥AC，垂足為K，過點D作DH∥KB，DH分別與AC、AB、⊙O及CB的延長線相交于點E、F、G、H。 （1）求證：AE＝CK （2）若AB＝a，AD＝a（a為常數(shù)），求BK的長（用含a的代數(shù)式表示）。 （3）若F是EG的中點，且DE＝6，求⊙O的半徑和GH的長。 【答案】（1）證明見解析；（2）；（3），6． 【解析

17、】 試題分析：（1）根據(jù)ABCD是矩形，求證△BKC≌△ADE即可； （2）根據(jù)勾股定理求得AC的長，根據(jù)三角形的面積公式得出AB×BC=AC×BK，代入即可求得BK． （3）根據(jù)三角形中位線定理可求出EF，再利用△AFD≌△HBF可求出HF，然后即可求出GH；利用射影定理求出AE，再利△AED∽△HEC求證AE=AC，然后即可求得AC即可． 試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠DAE=∠BCK， ∵BK⊥AC，DH∥KB， ∴∠BKC=∠AED=90°， ∴△BKC≌△ADE， ∴AE=CK； （2）解：∵AB=a，AD=a=

18、BC， ∴ ∵S△ABC=AB×BC=AC×BK， ∴BK= （3）連結OG， ∵AC⊥DG，AC是⊙O的直徑，DE=6，∴DE=EG=6， 又∵EF=FG，∴EF=3； ∵Rt△ADE≌Rt△CBK，∴DE=BK=6，AE=CK， 在△ABK中，EF=3，BK=6，EF∥BK， ∴EF是△ABK的中位線， ∴AF=BF，AE=EK=KC； 在Rt△OEG中，設OG=r，則OE=，EG=6，， ∴， ∴． 連接BG可得△BGF≌△AEF，AF=BF，△ADF≌△BHF ∵AD=BC，BF∥CD，∴HF=DF， ∵FG=EF，∴HF-FG=DF-EF，∴HG=

19、DE=6． 考點：1．相似三角形的判定與性質；2．全等三角形的判定與性質；3．三角形中位線定理；4．垂徑定理． 11．（14分）如圖，平行四邊形ABCD在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-2，0），點B的坐標為（0，4），拋物線經(jīng)過點A和C． y x A B C O y x A B C O （1）求拋物線的解析式． （2）該拋物線的對稱軸將平行四邊形ABCO分成兩部分，對稱軸左側部分的圖形面積記為，右側部分圖形的面積記為，求與的比． （3）在y軸上取一點D，坐標是（0，），將直線OC沿x軸平移到，點D關于直線的對稱點記為，當點正好在拋物線上時，求出此時點坐

20、標并直接寫出直線的函數(shù)解析式． 【答案】（1） ；（2） S1：S2=23：9；（3） 點D’坐標為（-1，4）或（，）；或． 【解析】 試題分析：（1） A（-2,0），C（2，4），將其代入拋物線 ，求得解析式； （2）通過證明?CEF∽?AOB，得到EF=3，應用三角形面積公式求得與的面積，進而求得與的比； （3）由?ABO∽?DMO，求得OM=7，用待定系數(shù)法求得直線DM的解析式，與拋物線解析式聯(lián)立方程組求解，得到點的坐標，得到直線的解析式． 試題解析：解：（1）∵四邊形ABCO為平行四邊形，∴BC∥AO，且BC=AO， 由題意知，A（-2,0），C（2，4），將其代入拋

21、物線中，有 ，解得， ∴拋物線解析式為； 由（1）知，拋物線對稱軸為直線， 設它交BC于點E，交OC于點F，則BE=，CE=． 又∵∠A=∠C，∴?CEF∽?AOB，∴，∴EF=3， ∴， 又∵S□ABCD=2×4=8，∴，∴S1：S2=23：9． y x A B C O E F 如圖，設過DD’的直線交x軸于點M，交OC于點P， ∵DM⊥OC，∴∠DOP=∠DMO， ∵AB∥OC，∴∠DOC=∠ABO，∴?ABO∽?DMO，∴，∴OM=7， 設直線DM的解析式為，將點D（0，），M（7,0）代入，得 ，解得， ∴直線DM的解析式為， 由題意得，

22、解得，， ∴點D’坐標為（-1，4）或（，）． 直線O’C’的解析式為： （如圖1）或（如圖2）． 考點：待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；求圖象的交點坐標；相似三角形的判定和性質． 12．（9分）如圖，A，P，B，C是⊙O上的四個點，∠APC=∠BPC=60°，過點A作⊙O的切線交BP的延長線于點D． （1）求證：△ADP∽△BDA； （2）試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關系，并證明你的結論； （3）若AD=2，PD=1，求線段BC的長． 【答案】（1）證明詳見解析；（2） PA+PB=PC，證明詳見解析；（3）． 【解析】 試題分析：（1）首先作⊙O的直徑AE，連

23、接PE，利用切線的性質以及圓周角定理得出∠PAD=∠PBA進而得出答案； （2）首先在線段PC上截取PF=PB，連接BF，進而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC； （3）利用△ADP∽△BDA，得出，求出BP的長，進而得出△ADP∽△CAP，則，則AP2=CP?PD求出AP的長，即可得出答案． 試題解析：（1）證明：作⊙O的直徑AE，連接PE， ∵AE是⊙O的直徑，AD是⊙O的切線， ∴∠DAE=∠APE=90°，∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°， ∴∠PAD=∠E，∵∠PBA=∠E，∴∠PAD=∠PBA， ∵∠PAD=∠PBA，∠

24、ADP=∠BDA，∴△ADP∽△BDA； （2）PA+PB=PC， 證明：在線段PC上截取PF=PB，連接BF， ∵PF=PB，∠BPC=60°，∴△PBF是等邊三角形， ∴PB=BF，∠BFP=60°，∴∠BFC=180°﹣∠PFB=120°， ∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，∴∠BPA=∠BFC， 在△BPA和△BFC中，， ∴△BPA≌△BFC（AAS），∴PA=FC，AB=BC，∴PA+PB=PF+FC=PC； （3）解：∵△ADP∽△BDA，∴==， ∵AD=2，PD=1∴BD=4，AB=2AP，∴BP=BD﹣DP=3， ∵∠APD=180°﹣∠BPA=

25、60°，∴∠APD=∠APC， ∵∠PAD=∠E，∠PCA=∠E，∴PAD=∠PCA，∴△ADP∽△CAP，∴=， ∴AP2=CP?PD，∴AP2=（3+AP）?1， 解得：AP=或AP=（舍去），∴BC=AB=2AP=1+． 考點：切線的性質；圓周角定理；全等三角形的判定和性質；相似三角形的判定和性質． 13．如圖，已知拋物線過（1,4）與（4,-5）兩點，且．與一直線相交于A，C兩點 （1）求該拋物線解析式； （2）求A，C兩點的坐標； （3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值； 【答案】（1）;（2）A（-1，0）C（2，3）（3

26、）． 【解析】 試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式; （2）聯(lián)立方程x+1=-x2+2x+3,求解即可． （3）過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q；過點C作CG⊥x軸于點G，設Q（x，x+1），則P（x，-x2+2x+3）．根據(jù)兩點間的距離公式可以求得線段PQ=-x2+x+2；最后由圖示以及三角形的面積公式知S△APC=-（x-）2+，所以由二次函數(shù)的最值的求法可知△APC的面積的最大值； 試題解析：（1）由拋物線y=﹣x2+bx+c過點（1，4）及C（4，-5）得， ，解得。 ∴拋物線的函數(shù)關系式為 （2）當x+1=-x2+2x+3時，解得 當x=-1時， 當x=

27、2時， 所以A（-1，0）C（2，3） （3）如圖，過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q；過點C作CG⊥x軸于點G， 設Q（x，x+1），則P（x，﹣x2+2x+3）． ∴PQ=（-x2+2x+3）-（x+1）=-x2+x+2． ∴==-（x-）2+． ∵， ∴當x=時，△APC的面積取得最大值，最大值為． 考點：二次函數(shù)綜合題． 14．如圖，排球運動員站在點O處練習發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）滿足關系式,已知球網(wǎng)與O點的水平距離為9m，球網(wǎng)高度為2．43m，球場另一邊的底線距O點的水平距離為18m． （

28、1）當h=2．6時，求y與x的關系式（不要求寫出自變量x的取值范圍） （2）當h=2．6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出底線？請說明理由； （3）若球一定能越過球網(wǎng)，且剛好落在底線上，求h的值． 【答案】（1）y= （x-6）2+2．6;（2）球會過界;（3）h=． 【解析】 試題分析：（1）利用h=2．6將點（0，2），代入解析式求出即可； （2）利用當x=9時，y=-（x-6）2+2．6=2．45，當x=18時， （18－6）2+2．6=0．2，得出答案； （3）根據(jù)x=9時y= （9－6）2+h＞2．43，與x=18時 y= （18－6）2+h==0即可得出答案． 試題解析：（1）把x=0,y=2,及h=2．6代入到y(tǒng)=a（x-6）2+h 即2=a（0－6）2+2．6， ∴ ∴y= （x-6）2+2．6 （2）h=2．6，y= （x-6）2+2．6 當x=9時，y= （9－6）2+2．6=2．45＞2．43 ∴球能越過網(wǎng) x=18時，y= （18－6）2+2．6=0．2＞0 ∴球會過界 （3）x=0,y=2,代入到y(tǒng)=a（x-6）2+h得；依題意： x=9時，y= （9－6）2+h＞2．43 ① x=18時， （18－6）2+h==0 ② 由①，②得h=． 考點：二次函數(shù)的應用．