江蘇省無錫新領(lǐng)航教育咨詢有限公司2015屆中考數(shù)學(xué) 經(jīng)典例題大串講七

數(shù)與式中典型例題串講二1在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點O為圓心的圓過點A（13，0），直線y=kx3k+4與O交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為（ ）A22 B24 C D【答案】B【解析】試題分析：如圖：直線y=kx-3k+4必過點D（3，4），最短的弦CB是過點D且與該圓直徑垂直的弦，點D的坐標(biāo)是（3，4），OD=5，以原點O為圓心的圓過點A（13，0），圓的半徑為13，OB=13，BD=12，BC的長的最小值為24故選B考點：1垂徑定理；2一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；3勾股定理2如圖，兩個反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象依次是C1和C2，設(shè)點P在C1上，軸于點C，交C2于點A，軸于點D，交C2于點B，則四邊形PAOB的面積為（ ）A、2 B、 3 C、4 D、5 【答案】B【解析】試題分析：PCx軸，PDy軸，S矩形PCOD=4，SAOC=SBOD=×1=，四邊形PAOB的面積=S矩形PCOD-SAOC-SBOD=4-=3故選B考點：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是邊長為4的正方形，M（4，m）、N（n，4）分別是AB、BC上的兩個動點，且ONMN，當(dāng)OM最小時， 【答案】5【解析】試題分析：OABC是正方形，OCN=NBM=90°，CON+CNO=90°，ONNM，CNO+BNM=90°，CNOBMN，CN：CO=BM：NB，OM=，當(dāng)OM最小時，m最小，故答案為：5考點：1正方形的值；2相似三角形的判定與性質(zhì)4如圖，雙曲線經(jīng)過RtBOC斜邊上的點A，且滿足，與BC交于點D，SBOD=21，求k= _ 【答案】8【解析】試題分析：過A作AEx軸于點E，=21，AEBC，OAEOBC，則k=8故答案為：8考點：1反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；2相似三角形的判定與性質(zhì)5如圖，以矩形ABCD的對角線AC的中點O為圓心、OA長為半徑作O，O經(jīng)過B、D兩點，過點B作BKAC，垂足為K，過點D作DHKB，DH分別與AC、AB、O及CB的延長線相交于點E、F、G、H。（1）求證：AECK（2）若ABa，ADa（a為常數(shù)），求BK的長（用含a的代數(shù)式表示）。（3）若F是EG的中點，且DE6，求O的半徑和GH的長。【答案】（1）證明見解析；（2）；（3），6【解析】試題分析：（1）根據(jù)ABCD是矩形，求證BKCADE即可；（2）根據(jù)勾股定理求得AC的長，根據(jù)三角形的面積公式得出AB×BC=AC×BK，代入即可求得BK（3）根據(jù)三角形中位線定理可求出EF，再利用AFDHBF可求出HF，然后即可求出GH；利用射影定理求出AE，再利AEDHEC求證AE=AC，然后即可求得AC即可試題解析：（1）證明：四邊形ABCD是矩形，ADBC，AD=BC，DAE=BCK，BKAC，DHKB，BKC=AED=90°，BKCADE，AE=CK；（2）解：AB=a，AD=a=BC，SABC=AB×BC=AC×BK，BK=（3）連結(jié)OG，ACDG，AC是O的直徑，DE=6，DE=EG=6，又EF=FG，EF=3；RtADERtCBK，DE=BK=6，AE=CK，在ABK中，EF=3，BK=6，EFBK，EF是ABK的中位線，AF=BF，AE=EK=KC；在RtOEG中，設(shè)OG=r，則OE=，EG=6，連接BG可得BGFAEF，AF=BF，ADFBHFAD=BC，BFCD，HF=DF，F(xiàn)G=EF，HF-FG=DF-EF，HG=DE=6考點：1相似三角形的判定與性質(zhì)；2全等三角形的判定與性質(zhì)；3三角形中位線定理；4垂徑定理6（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）點A在DE上，以A為頂點的拋物線過點C，且對稱軸交z軸于點B連接EC，AC點P，Q為動點，設(shè)運動時間為t秒（1）填空：點A坐標(biāo)為 ，拋物線的解析式為 ；（2）在圖1中，若點P在線段OC上從點O向點C以1個單位秒的速度運動，同時，點Q在線段CE上從點C向E以2個單位秒的速度運動，當(dāng)一個點到達(dá)終點時，另一個點隨之停止運動連接PQ，是否存在實數(shù)t，使得PQ所在的直線經(jīng)過點D，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（3）在圖2中，若點P在對稱軸上從點A開始向點B以1個單位秒的速度運動，過點P做PFAB，交AC于點F，過點F作FGAD于點G，交拋物線于點Q，連接AQ，CQ當(dāng)t為何值時，ACQ的面積最大？最大值是多少？【答案】（1）（1，4），；（2）；（3），最大值為1【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸與矩形的性質(zhì)可得點A坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法可得拋物線的解析式；（2）若PQ所在的直線經(jīng)過點D，由DECP，得到DEQPCQ，得到，即：，解出t的值即可；（3）根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AC的解析式，根據(jù)可得，依此即可求解試題解析：（1）拋物線的對稱軸為x=1，矩形OCDE的三個頂點分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4），點A在DE上，點A坐標(biāo)為（1，4），設(shè)拋物線的解析式為，把C（3，0）代入拋物線的解析式，可得，解得，故拋物線的解析式為，即；（2）若PQ所在的直線經(jīng)過點D，DECP，DEQPCQ，即：，整理得：，解得或（舍去），當(dāng)（s）時，PQ所在的直線經(jīng)過點D；（3）A（1，4），C（3，0），設(shè)直線AC的解析式為，則：，解得，故直線AC的解析式為，P（1，），將代入中，得，Q點的橫坐標(biāo)為，將代入中，得，Q點的縱坐標(biāo)為，QF=，=FQAG+FQDG=FQ（AG+DG）=FQAD=，當(dāng)t=2時，ACQ的面積最大，最大值是1考點：1二次函數(shù)綜合題；2三角形的面積；3勾股定理；4矩形的性質(zhì)；5代數(shù)幾何綜合題7在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸的兩個交點分別為A（-3，0），B（1，0），過頂點C作CHx軸于點H（1）a= ，b= ，頂點C的坐標(biāo)為 （2）在軸上是否存在點D，使得ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（3）若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），PQAC于點Q，當(dāng)PCQ與ACH相似時，求點P的坐標(biāo)【答案】（1），C（1，4）；（2）存在，點D（0，3）或（0，1）；（3）P（，）或（，）【解析】試題分析：（1）將A（3，0）、B（1，0），代入求出即可，再利用平方法求出頂點坐標(biāo)即可；（2）首先證明CEDDOA，得出y軸上存在點D（0，3）或（0，1），即可得出ACD是以AC為斜邊的直角三角形；（3）首先求出直線CA的解析式為，再利用聯(lián)立兩函數(shù)解析式即可得出交點坐標(biāo)，再利用若點P在對稱軸左側(cè)（如圖），只能是PCQACH，得PCQ=ACH得出答案即可試題解析：（1）將A（3，0）、B（1，0），代入得：，解得：，頂點C的坐標(biāo)為（1，4）；（2）假設(shè)在y軸上存在滿足條件的點D，過點C作CEy軸于點E由CDA=90°得，1+2=90°又2+3=90°，3=1又CED=DOA=90°，CEDDOA，設(shè)D（0，c），則變形得，解之得，綜合上述：在y軸上存在點D（0，3）或（0，1），使ACD是以AC為斜邊的直角三角形；（3）若點P在對稱軸右側(cè)（如圖），只能是PCQCAH，得QCP=CAH延長CP交x軸于M，AM=CM，設(shè)M（m，0），則，m=2，即M（2，0）設(shè)直線CM的解析式為，則：，解得：，直線CM的解析式為：聯(lián)立，解得：或（舍去）P（，）若點P在對稱軸左側(cè)（如圖），只能是PCQAHC，得PCQ=ACH過A作CA的垂線交PC于點F，作FNx軸于點N由CFACAH得，由FNAAHC得AN=2，F(xiàn)N=1，CH=4，HO=1，則AH=2，點F坐標(biāo)為（5，1）設(shè)直線CF的解析式為，則，解得：，直線CF的解析式為：聯(lián)立：，解得：或（舍去）P（，）滿足條件的點P坐標(biāo)為（，）或（，）考點：1二次函數(shù)綜合題；2壓軸題8如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象交于點A（m，-2）（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）觀察圖象，直接寫出正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍；（3）若雙曲線上點C（2，n）沿OA方向平移個單位長度得到點B，判斷四邊形OABC的形狀并證明你的結(jié)論【答案】（1）；（2）或；（3）菱形【解析】試題分析：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為（），然后根據(jù)條件求出A點坐標(biāo)，再求出k的值，進(jìn)而求出反比例函數(shù)的解析式；（2）直接由圖象得出正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍；（3）首先求出OA的長度，結(jié)合題意CBOA且CB=，判斷出四邊形OABC是平行四邊形，再證明OA=OC即可判定出四邊形OABC的形狀試題解析：（1）設(shè)反比例函數(shù)的解析式為（），A（m，2）在上，2=2m，m=1，A（1，2），又點A在上，k=2，反比例函數(shù)的解析式為；（2）觀察圖象可知正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值時自變量x的取值范圍為或；（3）四邊形OABC是菱形A（1，2），OA=，由題意知：CBOA且CB=，CB=OA，四邊形OABC是平行四邊形，C（2，n）在上，n=1，C（2，1），OC=，OC=OA，四邊形OABC是菱形考點：反比例函數(shù)綜合題9（本題滿分12分）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交與A（4，0），并且OAOC4OB，點P為過A、B、C三點的拋物線上一動點（1）求點B、點C的坐標(biāo)并求此拋物線的解析式；（2）是否存在點P，使得ACP是以點C為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）過動點P作PE垂直于y軸于點E，交直線AC于點D，過點D作x軸的垂線，垂足為F，連接EF，當(dāng)線段EF的長度最短時，求出點P的坐標(biāo)【答案】（1）B（1,0）；C（0,4）；（2）P（2,6）；（3）點或【解析】試題分析：（1）根據(jù)點A的坐標(biāo)和OA=OC=4OB求出點B和點C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）過點C作CPAC，過點P作PM垂直y軸，設(shè)出點P的坐標(biāo)，根據(jù)OM=OC+MC=OC+PM=4+m列出方程求出m的值；（3）四邊形OFDE是矩形，則OD=EF，據(jù)垂線段最短，可知：當(dāng)ODAC時，OD最短，即EF最短.根據(jù)（1）求出AC的長度，根據(jù)中點得出點P的縱坐標(biāo)，列出關(guān)于x的方程，求出x的值.試題解析：（1）A（4，0） OA=4 又OA=OC=4OB OC=4，OB=1B（-1，0），C（0，4） 設(shè)拋物線的解析式為：把C（0，4）代入得： 拋物線的解析式為： （2）存在 過點C作.交拋物線于點，過點作軸于點M. 又 在拋物線上. 設(shè) （3）連OD，由題意知，四邊形OFDE是矩形，則，據(jù)垂線段最短，可知：當(dāng)時，OD最短，即EF最短. 由（1）知，在RtAOC中， 又D為AC的中點. DFOC 點P的縱坐標(biāo)是2. 當(dāng)EF最短時，點或 考點：二次函數(shù)的性質(zhì).10如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，O的圓心在坐標(biāo)原點，直線l與軸相交于點P，與O相交于A、B兩點，AOB=90°.點A和點B的橫坐標(biāo)是方程x2-x-k=0 的兩根，且兩根之差為3.（1）求方程x2-x-k=0 的兩根；（2）求A、B兩點的坐標(biāo)及O的半徑；（3）把直線l繞點P旋轉(zhuǎn)，使直線l與O相切，求直線l的解析式.【答案】（1）2和1 （2）A(-1,2)，B(2,1) （3）【解析】試題分析：（1）設(shè)方程的兩根分別為x1，x2（x1>x2)，由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=1，由兩根之差為3，可點x1-x2=3，解方程組即可得方程的根；過點A作ACx軸于點C，過點B作BDx軸于點D，通過AOCOBD得到A點坐標(biāo)，利用勾股定理得OA的長；由A、B在坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，從而得到點P的坐標(biāo)，過點P的直線與圓相切，有兩種情況，因此分切點在第一象限與第四象限兩種情況求切線的解析式.試題解析：（1）設(shè)方程的兩根分別為x1，x2（x1>x2)，由已知得，解得，方程的兩根分別為2和1；（2）過點A作ACx軸于點C，過點B作BDx軸于點D，易證：AOCOBD，BD=OC=1，AC=OD=2 A(-1,2)，B(2,1) ,OA=（3）設(shè)直線AB的解析式為y=k1x+b1，則，解得，y=，當(dāng)y=0時，=0，解得x=5，P(5,0)；當(dāng)直線l與O的切點在第一象限時，設(shè)直線l與O相切于點E，過點E作EFx軸于點F,PE是O的切線，OEPE,PE=,SPOE=OP·EF=OE·PE,5EF=，EF=2,OF=1，E(1,2)；設(shè)直線l的解析式為y=k2x+b2，則，解得，y= -；當(dāng)直線l與O的切點在第四象限時，同理可求得y=.考點：1、根與系數(shù)的關(guān)系；2、三角形全等的判定與性質(zhì)；3、待定系數(shù)法；4、圓的切線.11（10分）如圖，ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC為直徑的O與BC交于點D，DEAB，垂足為E，ED的延長線與AC的延長線交于點F.（1）求證：DE是O的切線；（2）若O的半徑為2，BE=1，求cosA的值.【答案】（1）詳見解析；（2） .【解析】試題分析：（1）證得ODDE，根據(jù)切線的判定定理得到DE是O的切線；（2）由OD/AE，得到，通過轉(zhuǎn)換得到，解得FC的長，進(jìn)而求得AF的長，應(yīng)用銳角三角函數(shù)求出cosA的值.試題解析：解：（1）證明：連結(jié)AD、OD，AC是直徑，ADBC，AB=AC，D是BC的中點，又O是AC的中點OD/AB，DEAB，ODDE，DE是O的切線；（2）由（1）知OD/AE， ，解得FC=2，AF=6，cosA=.考點：1、切線的判定；2、平行線分線段成比例定理；3、銳角三角函數(shù).12如圖，在ABD中，AB=AD,AO平分BAD,過點D作AB的平行線交AO的延長線于點C,連接BC（1）求證：四邊形ABCD是菱形。（2）如果OA,OB(OA>OB)的長（單位：米）是一元二次方程的兩根，求AB的長以及菱形ABCD的面積。（3）若動點M從A出發(fā)，沿AC以2m/S的速度勻速直線運動到點C,動點N從B 出發(fā)，沿BD以1m/S的速度勻速直線運動到點D，當(dāng)M運動到C點時運動停止。若M、N同時出發(fā)，問出發(fā)幾秒鐘后，MON的面積為？【答案】（1）證明見解析；（2）5，24；（3）M，N出發(fā)秒，秒，秒鐘后，MON的面積為m2【解析】 試題分析：（1）根據(jù)題意，用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”先判定平行四邊形，再用鄰邊相等證明菱形；（2）解方程可得OA、OB的長，用勾股定理可求AB，根據(jù)“菱形的面積對應(yīng)對角線積的一半”計算連線面積；（3）根據(jù)點M、N運動過程中與O點的位置關(guān)系，分三種情況分別討論試題解析：（1）證明：AO平分BAD，ABCDDAC=BAC=DCAACD是等腰三角形，AD=DC又AB=ADAB=CD，四邊形ABCD為平行四邊形，又AB=AD，ABCD是菱形；（2）解：解方程x2-7x+12=0，得OA=4，OB=3，利用勾股定理AB=5，S菱形ABCD=AC×BD=×8×6=24平方米（3）解：在第（2）問的條件下，設(shè)M、N同時出發(fā)x秒鐘后，MON的面積為m2，當(dāng)點M在OA上時，x2，SMON=（4-2x）（3-x）=；解得x1=，x2=（大于2，舍去）；當(dāng)點M在OC上且點N在OB上時，2x3，SMON=（3-x）（2x-4）=，解得x1=x2=；當(dāng)點M在OC上且點N在OD上時，即3x4，SMON=（2x-4）（x-3）=；解得x1=，x2=（小于3，舍去）綜上所述：M，N出發(fā)秒，秒，秒鐘后，MON的面積為m2考點：1.菱形的判定；2.一元二次方程的應(yīng)用；3.等腰三角形的性質(zhì)