第二十七講 加法原理和乘法原理的綜合應(yīng)用

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1、小學(xué)四年級奧數(shù) 第二十七講 加法原理和乘法原理的綜合應(yīng)用 溫馨提示 運(yùn)用加法原理計(jì)數(shù)，關(guān)鍵在于合理分類，不重不漏。要求每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏)。合理分類也是運(yùn)用加法原理解決問題的難點(diǎn)，不同的問題，分類的標(biāo)準(zhǔn)往往不同，需要積累一定的解題經(jīng)驗(yàn)。 運(yùn)用乘法原理計(jì)數(shù)，關(guān)鍵在于合理分步。完成這件工作的N個(gè)步驟，各個(gè)步驟之間是相互聯(lián)系的，任何一步的一種方法都不能完成此工作，必須連續(xù)完成這N步才能完成此工作；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所

2、采取的方法不同，則對應(yīng)的完成此工作的方法也不同。 運(yùn)用兩個(gè)原理解決的都是比較復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題，在解題時(shí)要細(xì)心、耐心、有條理地分析問題。計(jì)數(shù)時(shí)要注意區(qū)分是分類問題還是分步問題，正確運(yùn)用兩個(gè)原理。靈活機(jī)動(dòng)地分層重復(fù)使用或綜合運(yùn)用兩個(gè)原理，可以巧妙解決很多復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題。 例題精講 【例1】用1角、2角和5角的三種人民幣（每種的張數(shù)沒有限制）組成1元錢，有多少種方法？ 思路點(diǎn)撥：運(yùn)用加法原理，把組成方法分成三大類： ①只取一種人民幣組成1元，有3種方法：10張1角；5張2角；2張5角。 ②取兩種人民幣組成1元，有5種方法：1張5角和5張1角；一張2角和8張1角；2張2角和6張1角；3張

3、2角和4張1角；4張2角和2張1角。 ③取三種人民幣組成1元，有2種方法：1張5角、1張2角和3張1角的；1張5角、2張2角和1張1角的。 所以共有組成方法：3+5+2=10（種）。 【例2】各數(shù)位的數(shù)字之和是24的三位數(shù)共有多少個(gè)？ 　　思路點(diǎn)撥：一個(gè)數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，最大只能是9，24可分拆為：24=9+9+7； 24=9+8+7；24=8+8+8。運(yùn)用加法原理，把組成的三位數(shù)分為三大類： ① 9、9、7三個(gè)數(shù)字可組成3個(gè)三位數(shù)：997、979、799； ②由9、8、7三個(gè)數(shù)字可組成6個(gè)三位數(shù)：987、978、897、879、798、789； ③由8、8、8三個(gè)數(shù)字可組成1

4、個(gè)三位數(shù)：888。 所以組成三位數(shù)共有：3+6+1=10（個(gè)）。 【例3】下圖中共有16個(gè)方格，要把A，B,C,D四個(gè)不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子，問共有多少種不同的放法？ 思路點(diǎn)撥：從運(yùn)用乘法原理，把放棋子的過程分為三個(gè)步驟： 第一步：放棋子A。棋子A可以任意放，有16種放法。（如下圖一） 第二步：放棋子B。棋子B不能放在棋子A所在的行或列，對應(yīng)棋子A的每一種放法，棋子B都可以放在剩下的9個(gè)方格的任意一格里，有9種放法。（如下圖二） 第三步：放棋子C。棋子C不能放在棋子A、B所在的行或列，對應(yīng)前面的每一種放法，棋子C可以放在剩下的4個(gè)方格的任意一格里，有4種

5、放法。（如下圖三） 第四步：放棋子D。棋子D不能放在棋子A、B、C所在的行或列，對應(yīng)前面的每一種放法，棋子D都只有1種放法。（如下圖四） 所以，四顆棋子共有不同的放法：16×9×4×1=576（種） 【例4】2003年12月6日0時(shí)起，南京市電話號碼從7位升至8位。由于特殊需要，電信部門一直有這樣的規(guī)定：普通市內(nèi)電話號碼的首位數(shù)字不使用0，1，9。升位前南京市普通電話號碼的容量為多少門？升位后，南京市內(nèi)電話號碼的容量增加了多少門？ 思路點(diǎn)撥：從電話號碼由0～9共10個(gè)數(shù)字組成，數(shù)字可以重復(fù)使用。 升位前的7位電話號碼，首位數(shù)字不使用0，1，9，共有7種不同的選擇，第二、三、四、五

6、、六、七位數(shù)字都有10種不同選擇?？?cè)萘繛椋? 7×10×10×10×10×10×10=7000000（門）。 同理可算出，升位后8位電話號碼總?cè)萘繛椋? 7×10×10×10×10×10×10×10=70000000（門）。 升位后，南京市內(nèi)電話號碼的容量增加了： 70000000－7000000=6300000（門）。 【例5】如下圖，用紅、綠、藍(lán)、黃四種顏色涂編號為1，2，3，4的長方形，使任何相鄰的兩個(gè)長方形的顏色都不同。一共有多少種不同的涂法？ 思路點(diǎn)撥：涂色的過程可以分為三步。 第一步：給1號長方形涂色，有4種涂法?？梢赃x任意一種顏色。 第二步：給2號長方形涂色，有3

7、種涂法。對于1號長方形每種不同的涂法，2號長方形都可以在剩下的3種顏色里選任意一種，即有3種涂法。 所以，前兩步1號和2號長方形共有配色方案4個(gè)3種：4×3=12（種）。 第三步：給3號、4號長方形涂色。 3號長方形與1號相鄰，與2號不相鄰，對于1、2號長方形的每一種配色方案，3號長方形都可以選與1號不同的3種顏色，按3號長方形的涂色情況，可把本題的涂法分為兩大類： 第一大類，3號長方形選與2號相同的顏色。 3號長方形只有一種涂法，這時(shí)4號長方形可以選與2號不同的3種顏色，有3種涂法。 第一類共有不同涂法：12×1×3=36（種）。 第二類，3號長方形選與1、2號都不同的顏色。

8、 3號長方形有2種涂法，這時(shí)4號長方形可以選剩下的與2號、3號不同的2種顏色，有2種涂法。 第二類共有不同涂法：12×2×2=48（種）。 所以，這題一共有不同的涂法：36+48=84（種）。 【例6】如下圖，要從A點(diǎn)沿線段走到B點(diǎn)，要求每一步都是向右、向上或向斜上方，問有多少種不同的走法？ 思路點(diǎn)撥：如下圖，先用字母標(biāo)出圖中的每一個(gè)點(diǎn)，沿右上方向從點(diǎn)A到點(diǎn)B可以分為多步走，而每一步的走法又可以分為幾類，比較復(fù)雜，需要重復(fù)綜合使用加法原理和乘法原理。 上圖中，從右上往左下逐步分析： 因?yàn)槊恳徊蕉际窍蛴?、向上或向斜上方，因此每個(gè)點(diǎn)只能經(jīng)過它左、下或左下方的點(diǎn)到達(dá)。

9、 最后一步到達(dá)點(diǎn)B的走法有兩類：由I到B或由J到B。A到B的不同走法種數(shù)，就等于A到I的走法種數(shù)與A到L的走法種數(shù)之和。 此前一步，①到點(diǎn)I的走法有兩類：由F到I或由G到I,走法種數(shù)即A到F的走法種數(shù)與A到G的走法種數(shù)之和；②到點(diǎn)J的走法有三類：分別由I、G或H到J,走法種數(shù)即A到I的走法種數(shù)、A到G的走法種數(shù)與A到H的走法種數(shù)之和。 依次類推…… 從左下到右上標(biāo)出點(diǎn)A到每個(gè)點(diǎn)的走法種數(shù)，逐層解題： 第一層：從A到C、D、E三個(gè)點(diǎn)只能向右，都只有1種走法。 第二層：到F點(diǎn)有兩類走法，分別由A、C到達(dá)，每類都只有一種走法，共2種走法；到G點(diǎn)有三類走法，分別由F、C、D到達(dá)，三類走法種數(shù)

10、之和為4種；到H點(diǎn)有三類走法，分別由G、D、E到達(dá)，三類走法種數(shù)之和為6種。 第三層：到I點(diǎn)有兩類走法，分別由F、G到達(dá)，兩類走法種數(shù)之和為6種；到J點(diǎn)有三類走法，分別由I、G、H到達(dá)，三類走法種數(shù)之和為16種。 最后一步到B點(diǎn)有兩類走法，分別由I、J到達(dá)，兩類走法種數(shù)之和為22種。 所以，從A到B共有不同的走法22種。 按：類似的復(fù)雜路線問題，都可以用這種方法求解。 智慧挑戰(zhàn) 1．某人到食堂去買飯菜，食堂里有4種葷菜，3種蔬菜，2種湯。他要各買一樣，共有多少種不同的買法？ 2．從5幅國畫，3幅油畫，2幅水彩畫中選取兩幅不同類型的畫布置教室，問有幾種不同的選法？

11、 3. “IMO”是“國際數(shù)學(xué)奧林匹克”的縮寫，要求把這三個(gè)字母涂上三種不同的顏色，且每個(gè)字母只能涂一種顏色．現(xiàn)有五種不同顏色的筆，按上述要求能有多少種不同的涂色方法 4. 老師要求小剛在黑板上寫出一個(gè)減法算式，要求被減數(shù)必須是三位數(shù)，減數(shù)必須是兩位數(shù)．請問小剛共有多少種不同的寫法 5. 書架上有三層書，第一層放了15本小說，第二層放了10本漫畫，第三層放了5本科普書，并且這些書都各不相同．請問： （1）如果從所有的書中任取1本，共有多少種不同的取法？ （2）如果從每一層中各任取1本，共有多少種不同的取法？ （3）如果從中取出2本不同類別的書，共有多少種不同的取

12、法？ 家庭驛站 1. 從甲地到乙地有3條路，從乙地到丙地有3條路，從甲地到丁地有2條路，從丁地到丙地有4條路．如果要求所走路線不能重復(fù)，那么從甲地到丙地共有多少條不同的路線 ???????????? 2. 在下圖中，從A點(diǎn)沿線段走到B點(diǎn)，每次只能向上或向右走一步，共有多少種不同走法？ B A A 參考答案： 1．2×4×3=24（種）．　　2．15+10+6=31（種） 3． 5×4×3=60（種）．　　4． 900×90=81000（個(gè)）． 5． （1）30種 （2）750種 （3）275種 1．17種不同走法 2．10種。