2014屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時提升作業(yè)(三十三) 第五章 第五節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用 文

課時提升作業(yè)(三十三) 第五章 第五節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用一、選擇題1.(2013·臨川模擬)數(shù)列an的首項為3,bn為等差數(shù)列且bn=an+1-an,若b3=-2,b2=12,則a8=()(A)0(B)-109(C)-78(D)112.(2012·海淀模擬)已知數(shù)列an滿足:a1=1,an>0,-=1(nN+),那么使an<5成立的n的最大值為()(A)4(B)5(C)24(D)253.(2013·蚌埠模擬)已知向量a=(an,2),b=(an+1,),且a1=1,若數(shù)列an的前n項和為Sn,且ab,則Sn=()(A)1-()n(B)1-()n(C)1-()n-1(D)1-()n-14.(2013·撫州模擬)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若(S8-S5)(S8-S4)<0,則()(A)|a6|>|a7|(B)|a6|<|a7|(C)|a6|=|a7|(D)a6=05.(2013·石家莊模擬)萊因德紙草書是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一.書中有一道這樣的題目:把100個面包分給五個人,使每人所得成等差數(shù)列,且使較大的三份之和的是較小的兩份之和,問最小一份為()(A)(B)(C)(D)6.已知數(shù)列an為等差數(shù)列,公差為d,若<-1,且它的前n項和Sn有最大值,則使得Sn<0的n的最小值為()(A)11(B)19(C)20(D)217.(2013·商洛模擬)已知函數(shù)f(x)=x2+2bx過(1,2)點,若數(shù)列的前n項和為Sn,則S2012的值為()(A)(B)(C)(D)8.(能力挑戰(zhàn)題)甲、乙兩間工廠的月產(chǎn)值在2012年元月份時相同,甲以后每個月比前一個月增加相同的產(chǎn)值.乙以后每個月比前一個月增加產(chǎn)值的百分比相同.到2012年11月份發(fā)現(xiàn)兩間工廠的月產(chǎn)值又相同.比較甲、乙兩間工廠2012年6月份的月產(chǎn)值大小,則有()(A)甲的產(chǎn)值小于乙的產(chǎn)值(B)甲的產(chǎn)值等于乙的產(chǎn)值(C)甲的產(chǎn)值大于乙的產(chǎn)值(D)不能確定二、填空題9.設(shè)曲線y=xn(1-x)在x=2處的切線與y軸交點的縱坐標(biāo)為an,則數(shù)列的前n項和Sn等于.10.從盛滿2升純酒精的容器里倒出1升純酒精,然后填滿水,再倒出1升混合溶液后又用水填滿,以此繼續(xù)下去,則至少應(yīng)倒次后才能使純酒精體積與總?cè)芤旱捏w積之比低于10%.11.設(shè)數(shù)列an中,a1=2,an+1=an+n+1,則通項an=.12.(能力挑戰(zhàn)題)數(shù)列an的前n項和記為Sn,a1=t,點(Sn,an+1)在直線y=2x+1上,nN+,若數(shù)列an是等比數(shù)列,則實數(shù)t=.三、解答題13.等比數(shù)列an的前n項和為Sn,已知S1,S3,S2成等差數(shù)列,(1)求an的公比q.(2)若a1-a3=3,求Sn.14.(2012·安徽高考)設(shè)函數(shù)f(x)=+sinx的所有正的極小值點從小到大排成的數(shù)列為xn.(1)求數(shù)列xn的通項公式.(2)設(shè)xn的前n項和為Sn,求sinSn.15.(2013·新余模擬)已知數(shù)列an滿足a1=1,an-an+1=anan+1,數(shù)列an的前n項和為Sn.(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列.(2)設(shè)Tn=S2n-Sn,求證:Tn+1>Tn.答案解析1.【解析】選B.數(shù)列bn的公差為-14,故b1=26,a8-a1=b1+b2+b7=7×26+×(-14)=-112,故a8=-109.2.【解析】選C.由a1=1,an>0,-=1(nN+)可得=n,即an=,要使an<5,則n<25,故選C.3.【解析】選A.由向量ab,得an=2an+1,即=,數(shù)列an是公比為的等比數(shù)列,則Sn=1-()n.4.【解析】選A.由(S8-S5)(S8-S4)<0知S8-S5>0且S8-S4<0或S8-S5<0且S8-S4>0,當(dāng)S8-S5>0且S8-S4<0時,有|a6|>|a7|.當(dāng)S8-S5<0且S8-S4>0時,有|a6|>|a7|,故選A.5.【解析】選A.設(shè)五個人所分得的面包為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d>0),則(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,a=20.由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d),24d=11a,d=,所以,最小的一份為a-2d=20-=.6.【思路點撥】解答本題首先要搞清條件“<-1”及“Sn有最大值”如何使用,從而列出關(guān)于a1,d的不等式組,求出的取值范圍,進(jìn)而求出使得Sn<0的n的最小值,或者根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求解.【解析】選C.方法一:由題意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0,由得-<<-9.Sn=na1+d=n2+(a1-)n,由Sn=0得n=0或n=1-.19<1-<20,Sn<0的解集為nN+|n>1-,故使得Sn<0的n的最小值為20.方法二:由題意知d<0,a10>0,a11<0,a10+a11<0,由a10>0知S19>0,由a11<0知S21<0,由a10+a11<0知S20<0,故選C.7.【解析】選D.由函數(shù)f(x)=x2+2bx過(1,2)點,得b=,=-,S2012=+=(1-)+(-)+(-)=.8.【解析】選C.設(shè)甲各個月份的產(chǎn)值構(gòu)成數(shù)列an,乙各個月份的產(chǎn)值構(gòu)成數(shù)列bn,則數(shù)列an為等差數(shù)列,數(shù)列bn為等比數(shù)列,且a1=b1,a11=b11,故a6=b6,由于在等差數(shù)列an中的公差不等于0,故a1a11,上面的等號不能成立,故a6>b6,即6月份甲的產(chǎn)值大于乙的產(chǎn)值.9.【解析】y'=nxn-1-(n+1)xn,y'|x=2=n·2n-1-(n+1)·2n=-n·2n-1-2n,切線方程為y+2n=(-n·2n-1-2n)(x-2),令x=0得y=(n+1)·2n,即an=(n+1)·2n,=2n,Sn=2n+1-2.答案：2n+1-210.【解析】設(shè)開始純酒精體積與總?cè)芤后w積之比為1,操作一次后純酒精體積與總?cè)芤后w積之比a1=,設(shè)操作n次后,純酒精體積與總?cè)芤后w積之比為an,則an+1=an·,an=a1qn-1=()n,()n<,得n4.答案：4【方法技巧】建模解數(shù)列問題對于數(shù)列在日常經(jīng)濟(jì)生活中的應(yīng)用問題,首先分析題意,將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,找出相關(guān)量之間的關(guān)系,然后構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題,明確是等差數(shù)列問題、等比數(shù)列問題,是求和還是求項,還是其他數(shù)學(xué)問題,最后通過建立的關(guān)系求出相關(guān)量.11.【解析】a1=2,an+1=an+n+1,an=an-1+(n-1)+1,an-1=an-2+(n-2)+1,an-2=an-3+(n-3)+1,a3=a2+2+1,a2=a1+1+1,a1=2=1+1,將以上各式相加得:an=(n-1)+(n-2)+(n-3)+2+1+n+1=+n+1=+n+1=+1.答案：+112.【思路點撥】得出關(guān)于an+1,Sn的式子,降低一個角標(biāo)再得一個關(guān)于an,Sn-1的式子,兩個式子相減后得出an+1,an的關(guān)系,可得數(shù)列an中,a2,a3,a4,為等比數(shù)列,只要等于上面數(shù)列的公比即可.【解析】由題意得an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2),兩式相減得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2),所以當(dāng)n2時,an是等比數(shù)列,要使n1時,an是等比數(shù)列,則只需=3,從而t=1.答案：113.【解析】(1)依題意有a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2),由于a10,故2q2+q=0.又q0,從而q=-.(2)由已知可得a1-a1(-)2=3,故a1=4,從而Sn=1-(-)n.14.【思路點撥】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù),xn的左側(cè)導(dǎo)函數(shù)小于0,xn的右側(cè)導(dǎo)函數(shù)大于0,求出極小值點.(2)由(1)求出xn的前n項和為Sn,再代入sinSn求解.【解析】(1)f(x)=+sinx,令f'(x)=+cosx=0,得x=2k±(kZ),f'(x)>02k-<x<2k+(kZ),f'(x)<02k+<x<2k+(kZ),當(dāng)x=2k-(kZ)時,f(x)取極小值,xn=2n-(nN+).(2)由(1)得:xn=2n-,Sn=x1+x2+x3+xn=2(1+2+3+n)-=n(n+1)-.當(dāng)n=3k(kN+)時,sinSn=sin(-2k)=0,當(dāng)n=3k-1(kN+)時,sinSn=sin=,當(dāng)n=3k-2(kN+)時,sinSn=sin=-.所以sinSn=15.【解析】(1)易知an0,由an-an+1=anan+1,從而得-=1.a1=1,數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)=n,則an=,Sn=1+.所以Tn=S2n-Sn=1+-(1+)=+.Tn+1-Tn=+-(+)=+-=-=>0,Tn+1>Tn.