2014屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時提升作業(yè)(十三) 第二章 第十節(jié) 文

課時提升作業(yè)(十三)一、選擇題1.函數(shù)y=x5·ax(a>0且a1)的導(dǎo)數(shù)是()(A)y=5x4·axlna(B)y=5x4·ax+x5·axlna(C)y=5x4·ax+x5·ax(D)y=5x4·ax+x5·axlogax2.(2013·合肥模擬)若拋物線y=x2在點(diǎn)(a,a2)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為16,則a=()(A)4 (B)±4 (C)8 (D)±83.(2013·寶雞模擬)若函數(shù)f(x)=excosx,則此函數(shù)圖像在點(diǎn)(1,f(1)處的切線的傾斜角為()(A)0 (B)銳角 (C)直角 (D)鈍角4.(2013·贛州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上周期為2的可導(dǎo)函數(shù),若f(2)=2,且=-2,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程是()(A)y=-2x+2 (B)y=-4x+2(C)y=4x+2 (D)y=-x+25.如圖,其中有一個是函數(shù)f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(aR,a0)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像,則f(-1)為()(A)2(B)-(C)3(D)-6.(2013·安慶模擬)若存在過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=x3和y=ax2+x-9都相切,則a等于()(A)-1或-(B)-1或(C)-或-(D)-或7二、填空題7.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且滿足f(x)=3x2+2xf(2),則f(5)=.8.(2013·宜春模擬)若過原點(diǎn)作曲線y=ex的切線,則切點(diǎn)的坐標(biāo)為,切線的斜率為.9.(能力挑戰(zhàn)題)若曲線f(x)=ax3+lnx存在垂直于y軸的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.三、解答題10.求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=(x+1)(x+2)(x+3).(2)y=.(3)y=.11.(2013·宿州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為7x-4y-12=0.(1)求f(x)的解析式.(2)證明:曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值,并求此定值.12.(能力挑戰(zhàn)題)設(shè)函數(shù)y=x2-2x+2的圖像為C1,函數(shù)y=-x2+ax+b的圖像為C2,已知過C1與C2的一個交點(diǎn)的兩條切線互相垂直.(1)求a,b之間的關(guān)系.(2)求ab的最大值.答案解析1.【解析】選B.y=(x5)·ax+x5·(ax)=5x4ax+x5·axlna.2.【解析】選B.y=2x,所以在點(diǎn)(a,a2)處的切線方程為:y-a2=2a(x-a),令x=0,得y=-a2;令y=0,得x=a,所以切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積S=×|-a2|×|a|=|a3|=16,解得a=±4.3.【解析】選D.由已知得:f(x)=excosx-exsinx=ex(cosx-sinx),f(1)=e(cos1-sin1).>1>,而由正、余弦函數(shù)性質(zhì)可得cos 1<sin 1.f(1)<0,即f(x)在(1,f(1)處的切線的斜率k<0,切線的傾斜角是鈍角.4.【解析】選B.因?yàn)閒(x)的周期為2,所以f(0)=f(2)=2.由=-2得=-2,即f(0)=-2,得f(0)=-4,故曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y=-4x+2.5.【解析】選B.f(x)=x2+2ax+(a2-1),導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖像開口向上.又a0,其圖像必為(3).由圖像特征知f(0)=0,且對稱軸x=-a>0,a=-1,故f(-1)=-.6.【思路點(diǎn)撥】先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程,最后由點(diǎn)(1,0)在切線上求出切點(diǎn)后再求a的值.【解析】選A.設(shè)過點(diǎn)(1,0)的直線與曲線y=x3相切于點(diǎn)(x0,),所以切線方程為y-=3(x-x0),即y=3x-2.又(1,0)在切線上,則x0=0或x0=,當(dāng)x0=0時,由y=0與y=ax2+x-9相切可得=()2-4a(-9)=0,解得a=-,同理,當(dāng)x0=時,由y=x-與y=ax2+x-9相切可得a=-1,所以選A.【方法技巧】導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線的斜率,應(yīng)用時主要體現(xiàn)在以下幾個方面:(1)已知切點(diǎn)A(x0,f(x0)求斜率k,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值:k=f(x0).(2)已知斜率k,求切點(diǎn)A(x1,f(x1),即解方程f(x1)=k.(3)已知過某點(diǎn)M(x1,f(x1)(不是切點(diǎn))的切線斜率為k時,常需設(shè)出切點(diǎn)A(x0,f(x0),利用k=求解.7.【解析】對f(x)=3x2+2xf(2)求導(dǎo),得f(x)=6x+2f(2).令x=2,得f(2)=-12.再令x=5,得f(5)=6×5+2f(2)=6.答案:68.【解析】y=ex,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則=,即=,x0=1,因此切點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,e),切線的斜率為e.答案:(1,e)e9.【思路點(diǎn)撥】求出導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)有零點(diǎn),求a的取值范圍.【解析】由題意可知f(x)=3ax2+,又因?yàn)榇嬖诖怪庇趛軸的切線,所以3ax2+=0a=(x>0)a(-,0).答案:(-,0)10.【解析】(1)方法一:y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,y=3x2+12x+11.方法二:y=(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)·(x+3)=(x+1)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)·(x+2)=(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2)=3x2+12x+11.(2)y=+=,y=()=.(3)y=cosx-sinx,y=-sinx-cosx.11.【解析】(1)方程7x-4y-12=0可化為y=x-3.當(dāng)x=2時,y=.又f(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.(2)設(shè)P(x0,y0)為曲線上任一點(diǎn),由y=1+知曲線在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線方程為y-y0=(1+)(x-x0),即y-(x0-)=(1+)(x-x0).令x=0得y=-,從而得切線與直線x=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-).令y=x得y=x=2x0,從而得切線與直線y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0),所以點(diǎn)P(x0,y0)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形面積為S=|-|2x0|=6.故曲線y=f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0,y=x所圍成的三角形的面積為定值,此定值為6.【變式備選】已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.(1)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經(jīng)過原點(diǎn),求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo).(2)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-x+3垂直,求切點(diǎn)坐標(biāo)與切線的方程.【解析】(1)方法一:設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則直線l的斜率為f(x0)=3+1,直線l的方程為y=(3+1)(x-x0)+x0-16.又直線l過點(diǎn)(0,0),0=(3+1)(-x0)+x0-16,整理得,=-8,x0=-2,y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,直線l的方程為y=13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-26).方法二:設(shè)直線l的方程為y=kx,切點(diǎn)為(x0,y0),則k=.又k=f(x0)=3+1,=3+1,解得x0=-2,y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13,直線l的方程為y=13x,切點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-26).(2)切線與直線y=-x+3垂直,切線的斜率k=4.設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0),則f(x0)=3+1=4,x0=±1,或切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-14)或(-1,-18),切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.12.【解析】(1)對于C1:y=x2-2x+2,有y=2x-2,對于C2:y=-x2+ax+b,有y=-2x+a,設(shè)C1與C2的一個交點(diǎn)為(x0,y0),由題意知過交點(diǎn)(x0,y0)的兩條切線互相垂直,(2x0-2)(-2x0+a)=-1,即4-2(a+2)x0+2a-1=0.又點(diǎn)(x0,y0)在C1與C2上,故有2-(a+2)x0+2-b=0.由-×2得,2a+2b=5,b=-a.(2)由(1)知:b=-a,ab=a(-a)=-(a-)2+,當(dāng)a=時,(ab)最大=.