2011年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)48離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的均值與方差
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1、考點(diǎn)48 離散型隨機(jī)變量及其分布列、 離散型隨機(jī)變量的均值與方差 一、填空題 1.(2011·浙江高考理科·T15)某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì),分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡歷,假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為,得到乙、丙兩公司面試的概率均為,且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的.記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù)。若,則隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望 【思路點(diǎn)撥】先由相互獨(dú)立的事件同時(shí)發(fā)生的概率求出,進(jìn)而求出其它情況的概率,再求出. 【精講精析】由可得, 從而, , . 所以. 二、解答題 2.(2011·安徽高考理科·T20)工作人員需進(jìn)入核電站完成某項(xiàng)具有高輻射危
2、險(xiǎn)的任務(wù),每次只派一個(gè)人進(jìn)去,且每個(gè)人只派一次,工作時(shí)間不超過10分鐘.如果前一個(gè)人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出,再派下一個(gè)人.現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個(gè)人可派,他們各自能完成任務(wù)的概率分別為p1,p2,p3,假設(shè)p1,p2,p3互不相等,且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立. (Ⅰ)如果按甲最先、乙次之、丙最后的順序派人,求任務(wù)能被完成的概率.若改變?nèi)齻€(gè)人被派出的先后順序,任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化? (Ⅱ)若按某指定順序派人,這三個(gè)人各自能完成任務(wù)的概率依次為q1,q2,q3,其中q1,q2,q3是p1,p2,p3的一個(gè)排列,求所需要派出人員數(shù)目X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)EX;
3、 (Ⅲ)假定l>p1>p2>p3,試分析以怎樣的先后順序派出人員,可使所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)學(xué)期望)達(dá)到最小. 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)利用間接法可以比較容易得出結(jié)論;(Ⅱ)直接利用相互獨(dú)立事件及分布列知識(shí)解決;(Ⅲ)先分析抽象概括得出結(jié)論,再證明. 【精講精析】解:(I)無論以怎樣的順序派出人員,任務(wù)不能被完成的概率都是,所以任務(wù)能被完成的概率與三個(gè)人被派出去的先后順序無關(guān),并等于1-= (II)當(dāng)依次派出去的三個(gè)人各自完成任務(wù)的概率分別為q1,q2,q3,隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 P q1 所需派出的人員數(shù)目的均值(數(shù)學(xué)期望)EX是 = (
4、III)由(II)得結(jié)論可知,當(dāng)以甲最先,乙次之,丙最后的順序派人時(shí), 根據(jù)常理,優(yōu)先派出完成任務(wù)概率大的人,可減少所需派出的人員數(shù)目的均值. 下面證明:對(duì)于 p1,p2,p3的任意排列q1,q2,q3,都有 事實(shí)上,() 即 3.(2011·福建卷理科·T19)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí),等級(jí)系數(shù)X依次為1,2,……,8,其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A,X≥為標(biāo)準(zhǔn)B,已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件;乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零
5、售價(jià)為4元/件,假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn) (I)已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X1的概率分布列如下所示: 5 6 7 8 p 0.4 a b 0.1 且X1的數(shù)字期望EX1=6,求a,b的值; (II)為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2,從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件,相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本,數(shù)據(jù)如下: 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用這個(gè)樣本的頻率分布估
6、計(jì)總體分布,將頻率視為概率,求等級(jí)系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望. (Ⅲ)在(I)、(II)的條件下,若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn),則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具可購買性?說明理由. 注:(1)產(chǎn)品的“性價(jià)比”=; (2)“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性. 【思路點(diǎn)撥】(I)利用期望公式和以及分布列中的所有概率和為1,聯(lián)立關(guān)于的方程組,解方程組求得的值; (II)根據(jù)題中提供的數(shù)據(jù),列等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望,再利用期望公式求期望; (Ⅲ)根據(jù)“性價(jià)比”公式求兩工廠的產(chǎn)品的性價(jià)比,“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性. 【精講精析】(I)因?yàn)椋?,所以即, 又由的概率分布列得即. 由,解得. (II)由已知得,樣
7、本的頻率分布表如下: 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,將頻率視為概率,可得等級(jí)系數(shù)的概率分布列如下: 3 4 5 6 7 8 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 所以, 即乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8. (Ⅲ)乙廠的產(chǎn)品更具有可購買性,理由如下: 因?yàn)榧讖S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6,價(jià)格為6元/件,所以其性價(jià)比為. 因?yàn)橐覐S產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8,價(jià)格為4元/件,所以其性價(jià)比
8、為所以乙廠的產(chǎn)品更具可購買性. 4. (2011·新課標(biāo)全國高考理科·T19)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好,且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品,現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗(yàn),各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品,并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,得到下面試驗(yàn)結(jié)果: A配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 頻數(shù) B配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 頻數(shù) (Ⅰ)分別估計(jì)用A配方,B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率; (Ⅱ)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y(單位:元)與其質(zhì)量指標(biāo)
9、值t的關(guān)系式為 從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件,其利潤記為X(單位:元),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.(以試驗(yàn)結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率) 【思路點(diǎn)撥】第(Ⅰ)問分別用配方、配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率來估計(jì)概率,第(Ⅱ)問分別求出質(zhì)量指標(biāo)落在,,上的頻率作為概率,明確的對(duì)應(yīng)取值,列分布列,用期望公式求期望即可. 【精講精析】(Ⅰ)由試驗(yàn)結(jié)果知,用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的平率為,所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3. 由試驗(yàn)結(jié)果知,用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為,所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42 (Ⅱ)用B
10、配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中,其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間的頻率分別為0.04,,054,0.42,因此X的可能值為-2,2,4 P(X=-2)=0.04, P(X=2)=0.54, P(X=4)=0.42, X -2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 即X的分布列為 X的數(shù)學(xué)期望值EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 5.(2011·遼寧高考文科·T19)某農(nóng)場計(jì)劃種植某種新作物,為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種(分別稱為品種甲和品種乙)進(jìn)行田間試驗(yàn).選取兩大塊地,每大塊地分成n小塊地,在總共2n小塊地中,隨機(jī)選n小塊地種植品
11、種甲,另外n小塊地種植品種乙. (I)假設(shè)n=2,求第一大塊地都種植品種甲的概率; (II)試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊地,即n=8,試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量(單位:kg/hm2)如下表: 分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差;根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果,你認(rèn)為應(yīng)該種植哪種品種? 附:樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xa的樣本方差,其中為樣本平均數(shù). 【思路點(diǎn)撥】(I)先編號(hào),再逐一列出所有的基本事件,最后根據(jù)古典概型求解;(II)先求平均數(shù),再求方差,最后下結(jié)論. 【精講精析】(I)設(shè)第一大塊地中的兩小塊地編號(hào)為1,2,第二大塊地中的兩小塊地編號(hào)為3,
12、4.令事件A=“第一大塊地都種品種甲”. 從4小塊地中任選2小塊地種植品種甲的基本事件共6個(gè): (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4). 而事件A包含1個(gè)基本事件:(1,2). 所以. (II)品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為: , 品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為: 由以上結(jié)果可以看出,品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù),且兩品種的樣本方差差異不大,故應(yīng)該選擇種植品種乙. 6.(2011· 廣東高考文科·T17)在某次測驗(yàn)中,有6位同學(xué)的平均成績?yōu)?5分.用xn表示編號(hào)為n(n=1,
13、2,…,6)的同學(xué)所得成績,且前5位同學(xué)的成績?nèi)缦拢? 編號(hào)n 1 2 3 4 5 成績xn 70 76 72 70 72 (1)求第6位同學(xué)的成績x6,及這6位同學(xué)成績的標(biāo)準(zhǔn)差s; (2)從前5位同學(xué)中,隨機(jī)地選2位同學(xué),求恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間(68,75)中的概率. 【思路點(diǎn)撥】(1)由平均數(shù)的計(jì)算公式列出關(guān)于的方程,求出,由標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式求標(biāo)準(zhǔn)差; (2)由古典概型概率計(jì)算公式直接求解. 【精講精析】(1)由題意,即,解得; 標(biāo)準(zhǔn)差s= (2)從前5位同學(xué)的成績中隨機(jī)地選2位同學(xué)的成績,有10種,分別是(70,76),(70,72),(70,70)
14、, (70,72),(76,72),(76,70),(76,72),(72,70),(72,72),(70,72). 恰有一位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間(68,75)中,有4種,分別是(70,76),(76,72),(76,70),(76,72). 設(shè)事件A=“恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間(68,75)中”,則P(A). 答:恰有1位同學(xué)成績?cè)趨^(qū)間(68,75)中的概率是. 7.(2011·廣東高考理科·T17)為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量,采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件,測量產(chǎn)品中微量元素x,y的含量(單位:毫克).下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù): 編號(hào) 1 2
15、 3 4 5 169 178 166 175 180 75 80 77 70 81 (1)已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件,求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量; (2)當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x,y滿足x≥175且y≥75時(shí),該產(chǎn)品為優(yōu)等品,用上述樣本數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量; (3)從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中,隨機(jī)抽取2件,求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值(即數(shù)學(xué)期望). 【思路點(diǎn)撥】(1)由已知求出抽取比例,從而求得乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量; (2)由表格中數(shù)據(jù)估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品率,然后估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量; (3)先確定的所有取值,逐個(gè)算其概率,列出分
16、布列,再由期望值. 【精講精析】(1)由題意,抽取比例為,則乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為; (2)由表格知乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品為2號(hào)和5號(hào),所占比例為.由此估計(jì)乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量為; (3)由(2)知2號(hào)和5號(hào)產(chǎn)品為優(yōu)等品,其余3件為非優(yōu)等品.的取值為0,1,2. P(=0)=, P(=1)=, P(=2)=. 從而分布列為 0 1 2 P 數(shù)學(xué)期望E()=. 8.(2011·山東高考理科·T18)紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽,甲對(duì)A,乙對(duì)B,丙對(duì)C各一盤.已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5,假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立
17、. (Ⅰ)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率; (Ⅱ)用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)本題考查的是相互獨(dú)立的事件發(fā)生的概率,紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率等于紅隊(duì)只有兩人獲勝的概率和紅隊(duì)有三人獲勝的概率之和. (Ⅱ)本題考查的是隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,先列出的所有值,并求出每個(gè)值所對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,然后根據(jù)公式求出數(shù)學(xué)期望. 【精講精析】(Ⅰ)記甲對(duì)A、乙對(duì)B、丙對(duì)C各一盤中甲勝A、乙勝B、丙勝C分別為事件,則甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C分別為事件,根據(jù)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立可得 紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率為 . (Ⅱ)依題意可知, ; ;
18、 ; .故的分布列為 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 故. 9.(2011·遼寧高考理科·T19)某農(nóng)場計(jì)劃種植某種新作物,為此對(duì)這種作物的兩個(gè)品種(分別稱為品種甲和品種乙)進(jìn)行田間試驗(yàn).選取兩大塊地,每大塊地分成n小塊地,在總共2n小塊地中,隨機(jī)選n小塊地種植品種甲,另外n小塊地種植品種乙. (I)假設(shè)n=4,在第一大塊地中,種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望; (II)試驗(yàn)時(shí)每大塊地分成8小塊,即n=8,試驗(yàn)結(jié)束后得到品種甲和品種乙在各小塊地上的每公頃產(chǎn)量(單位:kg/hm2)如下表: 分別求品種甲和品種乙
19、的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差;根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果,你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種? 附:樣本數(shù)據(jù)的樣本方差,其中為樣本平均數(shù). 【思路點(diǎn)撥】(I)先根據(jù)古典概型結(jié)合排列組合的知識(shí)求分布列,再利用公式求數(shù)學(xué)期 望;(II)先求平均數(shù),再求方差,最后下結(jié)論. 【精講精析】(Ⅰ)可能的取值為且 , , , , . 即的分布列為 0 1 2 3 4 的數(shù)學(xué)期望為 + (Ⅱ)品種甲的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別
20、為: , 品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為: , . 由以上結(jié)果可以看出,品種乙的樣本平均數(shù)大于品種甲的樣本平均數(shù),且兩品種的樣本方差差異不大,故應(yīng)該選擇種植品種乙. 10.(2011·北京高考理科·T17)以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù).乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無法確認(rèn),在圖中以X表示. 甲組 乙組 9 9 0 X 8 9 1 1 1 0 (Ⅰ)如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差; (Ⅱ)如果X=9,分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一
21、名同學(xué),求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)Y的分布列和數(shù)學(xué)期望. (注:方差,其中為的平均數(shù)) 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)代入平均數(shù)、方差公式進(jìn)行計(jì)算;(Ⅱ)先求出Y的所有可能取值,再分別求出概率,最后計(jì)算數(shù)學(xué)期望. 【精講精析】(Ⅰ)當(dāng)X=8時(shí),由莖葉圖可知,乙組同學(xué)的棵數(shù)是8,8,9,10,所以平均數(shù)為; 方差為 (Ⅱ)當(dāng)X=9時(shí),由莖葉圖可知,甲組同學(xué)的植樹棵數(shù)是:9,9,11,11;乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是9,8,9,10.分別從甲、乙兩組中隨機(jī)抽取一名同學(xué),共有種可能的結(jié)果,這兩名同學(xué)不植樹總棵數(shù)Y的可能取值為17,18,19,20,21.事件“Y=17”等價(jià)于“甲組選出的同學(xué)植樹9棵,乙組選出
22、的同學(xué)植樹8棵”,所以該事件有2種可能的結(jié)果,因此P(Y=17)=, 同理可得 .所以隨機(jī)變量Y的分布列為: Y 17 18 19 20 21 P =19. 11.(2011·湖南高考理科·T18)某商店試銷某種商品20天,獲得如下數(shù)據(jù): 日銷售量(件) 0 1 2 3 頻數(shù) 1 5 9 5 試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變),設(shè)某天開始營業(yè)時(shí)有該商品3件,當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨,若發(fā)現(xiàn)存貨少于2件,則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件,否則不進(jìn)貨,將頻率視為概率. (Ⅰ)求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率; (Ⅱ)記X為第二天
23、開始營業(yè)時(shí)該商品的件數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望. 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查互斥事件、獨(dú)立事件、對(duì)立事件、分布列、數(shù)學(xué)期望等知識(shí),考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.解決此類問題要注意根據(jù)事件的性質(zhì)識(shí)別概率模型,而能否正確列出分布列則將直接影響數(shù)學(xué)期望的求解.它的解題步驟是:一想試驗(yàn)和試驗(yàn)的基本事件.二設(shè),設(shè)試驗(yàn)的基本事件和要解決的復(fù)合事件.三建,建立目標(biāo)事件和基本事件的關(guān)系.四計(jì)算,算概率,算的依據(jù)是對(duì)立事件、互斥事件和獨(dú)立事件.五答. 【精講精析】(I)P(“當(dāng)天商店不進(jìn)貨”)=P(“當(dāng)天商品銷售量為0件”)+P(“當(dāng)天商品銷售量1件”)=。 (II)由題意知,的可能取值為2,3.
24、; 故的分布列為 2 3 的數(shù)學(xué)期望為。 12.(2011·江西高考理科·T16)某飲料公司招聘了一名員工,現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行一項(xiàng)測試,以便確定工資級(jí)別.公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯,其顏色完全相同,并且其中4杯為A飲料,另外4杯為B飲料,公司要求此員工一一品嘗后,從8杯飲料中選出4杯A飲料.若4杯都選對(duì),則月工資定為3500元;若4杯選對(duì)3杯,則月工資定為2800元,否則月工資定為2100元,令X表示此人選對(duì)A飲料的杯數(shù),假設(shè)此人對(duì)A和B兩種飲料沒有鑒別能力. (1)求X的分布列; (2)求此員工月工資的期望. 【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)超幾何分布的概率模型,易
25、得X的分布列.(2)結(jié)合第一問月工資為3500的概率對(duì)應(yīng)X=4的概率,2800對(duì)應(yīng)X=3的概率,2100對(duì)應(yīng)X2的概率,易得月工資的期望. 【精講精析】 X的分布列為: X 0 1 2 3 4 P 13.(2011·陜西高考理科·T20)如圖,A地到火車站共有兩條路徑和,據(jù)統(tǒng)計(jì),通過兩條路徑所用的時(shí)間互不影響,所用時(shí)間落在各時(shí)間段內(nèi)的頻率如下表: 時(shí)間(分鐘) 1020 2030 3040 4050 5060 的頻率 的頻率 0 現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站.
26、 (Ⅰ)為了盡最大可能在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站,甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑? (Ⅱ)用X表示甲、乙兩人中在允許的時(shí)間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù),針對(duì)(Ⅰ)的選擇方案,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望 . 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)會(huì)用頻率估計(jì)概率,然后把問題轉(zhuǎn)化為互斥事件的概率;(Ⅱ)首先確定X的取值,然后確定有關(guān)概率,注意運(yùn)用對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的概率公式進(jìn)行計(jì)算,列出分布列后即可計(jì)算數(shù)學(xué)期望. 【精講精析】(Ⅰ)表示事件“甲選擇路徑時(shí),40分鐘內(nèi)趕到火車站”, 表示事件“甲選擇路徑時(shí),50分鐘內(nèi)趕到火車站”,,. 用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率,則有: ,; ∵,∴甲應(yīng)選擇路徑; ,; ∵,∴乙應(yīng)選
27、擇路徑. (Ⅱ)用A,B分別表示針對(duì)(1)的選擇方案,甲、乙在各自允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站, 由(Ⅰ)知,,又事件A,B相互獨(dú)立,的取值是0,1,2, ∴, , ∴X的分布列為 0 1 2 P 0.04 0.42 0.54 ∴. 14.(2011.天津高考理科.T16)學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目:甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球,乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同,每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球,若摸出的白球不少于2個(gè),則獲獎(jiǎng).(每次游戲結(jié)束后將球放回原箱) (Ⅰ)求在1次游戲中, (i)摸出3個(gè)白球的概率; (ii)獲獎(jiǎng)的概率; (Ⅱ)求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望。 【思路點(diǎn)撥】(Ⅰ)根據(jù)古典概率、互斥事件的概率公式求解; (Ⅱ)先求出獨(dú)立事件的概率、再求數(shù)學(xué)期望. 【精講精析】 (I)(i)【解析】設(shè)“在1次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件則 (ii)【解析】設(shè)“在1次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B,則,又 且A2,A3互斥,所以 (II)【解析】由題意可知X的所有可能取值為0,1,2. 所以X的分布列是 X 0 1 2 P X的數(shù)學(xué)期望
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