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1、壓軸大題搶分練(一)
(建議用時：60分鐘)
1．已知拋物線y2＝2px(p＞0)上點M(3，m)到焦點F的距離為4.
(1)求拋物線方程；
(2)點P為準(zhǔn)線上任意一點，AB為拋物線上過焦點的任意一條弦，設(shè)直線PA，PB，PF的斜率為k1，k2，k3，問是否存在實數(shù)λ，使得k1＋k2＝λk3恒成立．若存在，請求出λ的值；若不存在，請說明理由．
[解] (1)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為，準(zhǔn)線為x＝－，
由拋物線的定義可知：4＝3＋，p＝2，
∴拋物線方程為y2＝4x.
(2)由于拋物線y2＝4x的焦點F為(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1，
設(shè)直線AB：x＝my＋1，與y2＝
2、4x聯(lián)立，消去x，整理得：
y2－4my－4＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(－1，t)，有
易知k3＝－，而k1＋k2＝＋
＝
＝
＝＝－t＝2k3，
∴存在實數(shù)λ＝2，使得k1＋k2＝λk3恒成立．
2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：＋y2＝1，點P(x1，y1)，Q(x2，y2)是橢圓C上兩個動點，直線OP，OQ的斜率分別為k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.
(1)求證：k1·k2＝－；
(2)試探求△OPQ的面積S是否為定值？并說明理由．
[解] (1)∵k1，k2存在，
∴x1x2≠0，
∵m·n＝0，m＝，n＝，
∴＋y1y2
3、＝0，
∴k1·k2＝＝－.
(2)①當(dāng)直線PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2時，
由＝－得，－y＝0，
又由P(x1，y1)在橢圓上，得＋y＝1，
∴|x1|＝，|y1|＝.
∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1.
②當(dāng)直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋b.
由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
∵＋y1y2＝0，
∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1，
∴S△POQ＝··|PQ|＝|b|＝2|b|＝1.
綜上可得，△POQ的面積S為定值．
3．已知f(x)＝xln x
4、.
(1)求f(x)的最小值；
(2)證明：對一切x∈(0，＋∞)都有l(wèi)n x＞－.
[解] (1)f′(x)＝1＋ln x，在上，
f′(x)＜0，f(x)遞減，在上，
f′(x)＞0，f(x)遞增，所以f(x)在x＝時，取得最小值f＝－.
(2)要證：ln x＞－只需證：xln x＞－，因為f(x)＝xln x在(0，＋∞)最小值為－，所以構(gòu)造函數(shù)g(x)＝－(x＞0)，
g′(x)＝，因此g(x)在(0,1)遞增，在(1，＋∞)遞減，所以g(x)最大值為g(1)＝－，又因為f(x)與g(x)的最值不同時取得，所以f(x)＞g(x)，
即xln x＞－，
所以ln x＞－
5、.
4．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋＋a.
(1)若曲線f(x)在x＝1處的切線l過點(－1,0)，求a的值及切線l的方程；
(2)若存在唯一整數(shù)x0，使得f(x0)＜0，求實數(shù)a的取值范圍，并判斷此時方程f(x)＝0的實根個數(shù)．
[解] (1)因為f′(x)＝－＋2，所以f(1)＝a＋6，f′(1)＝2，
由曲線f(x)在x＝1處的切線過點(－1,0)，可得切線l的斜率k＝f′(1)＝，即＝2，
所以a＝－2，且切線l的方程為y＝2(x＋1)，即2x－y＋2＝0.
(2)由題可知：f′(x)＝(x＞0)，所以當(dāng)x∈時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增．
若存在唯一整數(shù)x0，使得f(x0)＜0，則x0＝1，
所以即
所以－ln 2－≤a＜－6，
所以實數(shù)a的取值范圍為.
結(jié)合f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且f(1)＜0，f(2)≥0，f＝e3＋＋a＞0，
可知f(x)＝0在上及上各有1個實根，
所以f(x)＝0有2個實根．
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