2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)43 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

考點(diǎn)43 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一、選擇題1.（2012·安徽高考理科·9）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)， 是原點(diǎn)，若，則的面積為（ ） 【解題指南】設(shè)，根據(jù)拋物線的定義知，同理可以得，解出，代入公式.【解析】選.設(shè)及；則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為得： 又,的面積為.二、填空題2.（2012·安徽高考文科·14）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于兩點(diǎn)，若，則=_.【解題指南】設(shè)，根據(jù)拋物線的定義知，同理可以得，解出.【解析】設(shè)及；則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為得： 又.【答案】.三、解答題3.（2012·天津高考理科·19）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在橢圓上且異于A，B兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（）若直線AP與BP的斜率之積為，求橢圓的離心率；（）若，證明直線的斜率滿足.【解題指南】利用橢圓的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線、兩點(diǎn)間的距離公式，直線與橢圓的位置關(guān)系、不等式等知識(shí)綜合求解.【解析】（）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，由題意得，由,得，由，可得，代入（1）并整理得于是.（）方法一：依題意，直線OP的方程為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由條件得整理得由|AP|=|OA|,得，整理得，代入（2）整理得，.方法二：依題意，直線OP的方程為，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，由條件得，即由|AP|=|OA|,得，整理得，代入（3）得，解得.4.（2012·天津高考文科·19）已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上.（）求橢圓的離心率；（）設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上且滿足，求直線的斜率的值.【解題指南】利用橢圓的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線、兩點(diǎn)間的距離公式，直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)綜合求解.【解析】（）因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故，可得，于是.（）設(shè)直線OQ的斜率為k,則其方程為 ，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，由條件得整理得由|AQ|=|OA|,得，整理得，代入（1）整理得，由（1）知，故，即，所以直線OQ的斜率為.5.（2012·福建高考理科·19）(本小題滿分13分) 如圖，橢圓E：的左焦點(diǎn)為F1，右焦點(diǎn)為F2，離心率過(guò)F1的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且ABF2的周長(zhǎng)為8() 求橢圓E的方程() 設(shè)動(dòng)直線：與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線相交于點(diǎn)Q試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由 【解題指南】本小題主要考查橢圓的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力，推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合思想，函數(shù)與方程思想，特殊與一般思想.【解析】（）因?yàn)榧此裕忠驗(yàn)?，即，所以所以故橢圓的方程為.（）由得因?yàn)閯?dòng)直線與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以且，即，化簡(jiǎn)得（*）此時(shí)，所以由得假設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對(duì)稱知，點(diǎn)M必在x軸上設(shè)，則對(duì)滿足（*）式的m，k恒成立，因?yàn)?，由得整理，?（*）由于（*）對(duì)（*）式的m，k恒成立，所以解得故存在定點(diǎn)，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M解法二：（）同解法一（）由得因?yàn)閯?dòng)直線與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)所以且即，化簡(jiǎn)得此時(shí)，所以由得，假設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿足條件，由圖形對(duì)稱知，點(diǎn)M必在x軸上取，此時(shí)，以PQ為直徑的圓為，交x軸于點(diǎn)，取，此時(shí)，以PQ為直徑的圓為，交x軸于點(diǎn)，所以若符合條件的M存在，則M的坐標(biāo)必為以下證明就是滿足條件的點(diǎn)：因?yàn)榈淖鴺?biāo)是，所以，從而得故恒有，即存在定點(diǎn)，使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.6.（2012·山東高考理科·21）在平面直角坐標(biāo)系中，是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心為，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.（）求拋物線的方程；（）是否存在點(diǎn)，使得直線與拋物線相切于點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；（）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，直線與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求當(dāng)時(shí)，的最小值.【解題指南】（1）考查對(duì)拋物線定義的理解以及三角形的外接圓心在三邊的垂直平分線上.（2）考查直線與圓錐曲線相切時(shí)切線斜率與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用斜率與導(dǎo)數(shù)相等即可求得.（3）利用直線與拋物線的弦長(zhǎng)公式可求出,利用圓心到直線的距離和弦長(zhǎng)一半，半徑構(gòu)成直角三角形可求的,利用導(dǎo)數(shù)求的最小值.【解析】（）由是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)F坐標(biāo)為：，拋物線的準(zhǔn)線為，過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心為，則圓心Q在線段OF的垂直平分線，所以，所以P=1，故拋物線方程為.()若存在這樣的點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，所以MO的中點(diǎn)，圓心Q在MO的垂直平分線上，所以MO的垂直平分線方程為，圓心Q在線段OF的垂直平分線解得點(diǎn)Q坐標(biāo)為，直線與拋物線相切于點(diǎn)拋物線的導(dǎo)數(shù)為，過(guò)點(diǎn)的切線斜率為，整理得：，解得：或（舍去）所以，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為：.()由點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由（）知圓心Q，半徑，圓心Q到直線的距離為：，聯(lián)立，消去y可得：，設(shè)，于是，令，設(shè)，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí).故當(dāng)時(shí)，.7.（2012·山東高考文科·21）如圖，橢圓的離心率為，直線和所圍成的矩形ABCD的面積為8.()求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；() 設(shè)直線與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn).求的最大值及取得最大值時(shí)m的值. 【解題指南】（1）考查對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)的理解，矩形ABCD面積為8，即，由離心率為可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）可聯(lián)立直線與橢圓方程，用m表示出PQ的距離，與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的距離也用含m的代數(shù)式，再討論求最大值.【解析】(I)矩形ABCD面積為8，即由解得：，橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程是.(II)，設(shè)，則，由得.當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，有，其中，由此知當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.由對(duì)稱性，可知若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值.當(dāng)時(shí)，由此知，當(dāng)時(shí)，取得最大值.綜上可知，當(dāng)和0時(shí)，取得最大值.8.（2012·浙江高考理科·21）（本題滿分15分）如圖，橢圓的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)（,）的距離為，不過(guò)原點(diǎn)的直線與相交于，兩點(diǎn)，且線段被直線平分.（）求橢圓C的方程；（）求APB面積取最大值時(shí)直線的方程.【解題指南】本題主要考查橢圓的方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，利用三角形面積這一公式表示其面積,可發(fā)現(xiàn)為4次函數(shù),需用導(dǎo)數(shù)研究面積的最值情況.【解析】（）左焦點(diǎn)到點(diǎn)（,）的距離為，解得又離心率為，可得，所以橢圓C的方程為.（）由題意可知，直線不垂直于軸，故可設(shè)直線，交點(diǎn)，由消去并整理得，的中點(diǎn)為P（，）而直線，可得=，解得，即直線 =而點(diǎn)（,）到直線的距離為APB面積為=其中令，則所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，S取得最大值此時(shí)直線.9.（2012·浙江高考文科·22）（本題滿分14分）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（1，）到拋物線C：y2=2px（P0）的準(zhǔn)線的距離為。點(diǎn)M（t，1）是C上的定點(diǎn)，A，B是C上的兩動(dòng)點(diǎn)，且線段AB被直線OM平分.（1）求p,t的值；（2）求ABP面積的最大值.【解題指南】考查拋物線的定義，直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系，利用弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線間的距離表示出來(lái)三角形的面積，并借助導(dǎo)數(shù)求最值?！窘馕觥浚?）點(diǎn)P（1，）到拋物線C：y2=2px（P0）的準(zhǔn)線的距離為，可得準(zhǔn)線方程為，所以拋物線C：y2=x，點(diǎn)M（t，1）是C上的點(diǎn)，所以.（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為由得所以直線的方程為 即由消去，整理得所以，從而設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則設(shè)的面積為S,則由可得。令，則設(shè)，則由，得所以 .故的面積的最大值為.10.（2012·北京高考理科·19）已知曲線C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(mR)（1） 若曲線C是焦點(diǎn)在x軸點(diǎn)上的橢圓，求m的取值范圍；（2） 設(shè)m=4，曲線c與y軸的交點(diǎn)為A，B（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線y=kx+4與曲線c交于不同的兩點(diǎn)M、N,直線y=1與直線BM交于點(diǎn)G.求證：A，G，N三點(diǎn)共線.【解題指南】（1）化為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，再列式求范圍；（2）三點(diǎn)共線可轉(zhuǎn)化為，聯(lián)立直線與曲線C方程后，把韋達(dá)定理代入證明即可?！窘馕觥浚?）曲線C：表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則，解得。（2）C：，與y軸交點(diǎn)A（0，2），B（0，-2），設(shè)，由消y得，y=kx+4與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，解得。由韋達(dá)定理得，直線，三點(diǎn)共線.11.（2012·北京高考文科·19）已知橢圓C：+=1（ab0）的一個(gè)頂點(diǎn)為A （2,0），離心率為， 直線y=k(x-1)與橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M,N（）求橢圓C的方程；（）當(dāng)AMN的面積為時(shí)，求k的值 .【解題指南】第（）問(wèn)，利用橢圓的a,b,c及e的關(guān)系即可求出橢圓方程；第（）問(wèn)，AMN的面積等于x軸上下兩個(gè)小三角形面積之和.【解析】（），橢圓C：.（）設(shè)，則由，消y得,直線 y=k(x-1)過(guò)橢圓內(nèi)點(diǎn)（1，0），恒成立，由根與系數(shù)的關(guān)系得，即，解得.12.（2012·湖南高考文科·21）（本小題滿分13分）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知中心在原點(diǎn)，離心率為的橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為圓C：x2+y2-4x+2=0的圓心.（）求橢圓E的方程；（）設(shè)P是橢圓E上一點(diǎn)，過(guò)P作兩條斜率之積為的直線l1，l2.當(dāng)直線l1，l2都與圓C相切時(shí)，求P的坐標(biāo).【解題指南】本題考查曲線與方程、直線與曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等數(shù)學(xué)思想方法.（）圓心（2,0）知c=2，=可求a，b的值；（）設(shè)出P的坐標(biāo)，由兩條直線l1，l2斜率之積為，P是橢圓E上一點(diǎn)，可分別列出方程，解方程組求出P點(diǎn)的坐標(biāo)?！窘馕觥浚ǎ┯桑?故圓的圓心為點(diǎn)從而可設(shè)橢圓的方程為其焦距為，由題設(shè)知故橢圓的方程為： （）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，的斜分率分別為則的方程分別為且由與圓相切得，即同理可得.從而是方程的兩個(gè)實(shí)根，于是且由得解得或由得由得它們均滿足式，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，或，或，或.13.（2012·江蘇高考·19）（本小題滿分16分）如圖，ABPOxy（第19題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，已知和都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線與直線平行，與交于點(diǎn)P（i）若，求直線的斜率；（ii）求證：是定值【解題指南】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)和已知和都在橢圓上列式求解.（2）根據(jù)已知條件，用待定系數(shù)法求解.【解析】（1）由題設(shè)知，由點(diǎn)在橢圓上，得，。由點(diǎn)在橢圓上，得橢圓的方程為.（2）由（1）得，又， 設(shè)、的方程分別為，。 。 .同理，.（i）由得，。解得=2。 注意到，。 直線的斜率為。 （ii）證明：，即。 .由點(diǎn)在橢圓上知，.同理。. 由得， . 是定值.ABOxy14.（2012·福建高考文科·21）(本小題滿分12分)如圖，等邊三角形OAB的邊長(zhǎng)為，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E：上（）求拋物線E的方程；（） 設(shè)動(dòng)直線與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線相交于點(diǎn)Q證明以PQ為直徑的圓恒過(guò)軸上某定點(diǎn)【解題指南】本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想【解析】方法一：（）依題意，設(shè)，則，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，解得故拋物線E的方程為（）由（）知，設(shè)，則，且的方程為，即由，得，所以設(shè)，令對(duì)滿足的，恒成立由，得即（*） 由于（*）式對(duì)滿足的恒成立，所以，解得故以為直徑的圓橫過(guò)軸上的頂點(diǎn)解法二：（）同解法一（）由（）知，設(shè)，則，且的方程為，即由，得，所以取，此時(shí)，以為直徑的圓，交y軸于點(diǎn)或；取，此時(shí)，以為直徑的圓為，交y軸于或故若滿足條件的存在，只能是以下是證明點(diǎn)就是所要求的點(diǎn)因?yàn)?，故以為直徑的圓恒過(guò)y軸上的定點(diǎn)15.（2012·安徽高考文科·20）（本小題滿分13分）如圖，分別是橢圓：+=1（）的左、右焦點(diǎn)，是橢圓的頂點(diǎn)，是直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)，=60°.（）求橢圓的離心率；（）已知的面積為40，求a, b 的值. 【解題指南】（1）由；（2）根據(jù)橢圓的定義設(shè)；則，由余弦定理求出設(shè)，結(jié)合三角形的面積公式即可求出.【解析】（I） （）設(shè)；則 在中， 面積.16.（2012·安徽高考理科·20）（本小題滿分13分）如圖，點(diǎn)分別是橢圓 的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于點(diǎn)， 過(guò)點(diǎn)作直線的垂線交直線于點(diǎn)；（I）如果點(diǎn)的坐標(biāo)為；求此時(shí)橢圓的方程；（II）證明：直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)。【解題指南】（1）點(diǎn)代入得，由，可以得到關(guān)于的關(guān)系，解方程組可以求出，從而得到方程；（2）可以證明直線與橢圓相切.【解析】（I）點(diǎn)代入得， 又 由得：，即橢圓的方程為；（II）【證明】設(shè)，則，且，過(guò)點(diǎn)與橢圓相切的直線斜率，因此直線與橢圓相切，只有一個(gè)交點(diǎn).