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1、2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻 重要知識點 定積分
不定積分的概念
原函數(shù)的概念
?? 已知函數(shù)f(x)是一個定義在某區(qū)間的函數(shù),如果存在函數(shù)F(x),使得在該區(qū)間內(nèi)的任一點都有
???????????????????????????????? dF'(x)=f(x)dx,
?? 則在該區(qū)間內(nèi)就稱函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的原函數(shù)。
?? 例:sinx是cosx的原函數(shù)。
?? 關(guān)于原函數(shù)的問題
?? 函數(shù)f(x)滿足什么條件是,才保證其原函數(shù)一定存在呢?這個問題我們以后來解決。若其存在原函數(shù),那末原函數(shù)一共有多少個呢?
?? 我們可以明顯的看出來:若函數(shù)F(x)為
2、函數(shù)f(x)的原函數(shù),
????????????????????????????? 即:F"(x)=f(x),
?? 則函數(shù)族F (x)+C(C為任一個常數(shù))中的任一個函數(shù)一定是f(x)的原函數(shù),
?? 故:若函數(shù)f(x)有原函數(shù),那末其原函數(shù)為無窮多個.
不定積分的概念
?? 函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)叫做函數(shù)f(x)的不定積分,
????????????????????????????? 記作。
?? 由上面的定義我們可以知道:如果函數(shù)F(x)為函數(shù)f(x)的一個原函數(shù),那末f(x)的不定積分就是函數(shù)族
????????????????????????????? F(x)+C
3、.
????????????????????????????? 即:=F(x)+C
?? 例題:求:.?
?? 解答:由于,故=
不定積分的性質(zhì)
? 1、函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和;
??? 即:
? 2、求不定積分時,被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來,
??? 即:
求不定積分的方法
換元法
? 換元法(一):設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u),u=g(x)可導(dǎo),那末F[g(x)]是f[g(x)]g'(x)的原函數(shù).
?????????????? 即有換元公式:
?? 例題:求
?? 解答:這個積分在基本積分表中是查不到的,故我們
4、要利用換元法。
???????? 設(shè)u=2x,那末cos2x=cosu,du=2dx,因此:
????????
?? 換元法(二):設(shè)x=g(t)是單調(diào)的,可導(dǎo)的函數(shù),并且g'(t)≠0,又設(shè)f[g(t)]g'(t)具有原函數(shù)φ(t),
??????????????? 則φ[g(x)]是f(x)的原函數(shù).(其中g(shù)(x)是x=g(t)的反函數(shù))
??????????????? 即有換元公式:
?? 例題:求
?? 解答:這個積分的困難在于有根式,但是我們可以利用三角公式來換元.
???????? 設(shè)x=asint(-π/2
5、?????? ??
? 關(guān)于換元法的問題
? 不定積分的換元法是在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的基礎(chǔ)上得來的,我們應(yīng)根據(jù)具體實例來選擇所用的方法,求不定積分不象求導(dǎo)那樣有規(guī)則可依,因此要想熟練的求出某函數(shù)的不定積分,只有作大量的練習(xí)。
分部積分法
?? 這種方法是利用兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則得來的。
?? 設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).我們知道,兩個函數(shù)乘積的求導(dǎo)公式為:
????????????????????? (uv)'=u'v+uv',移項,得
?????????????????????? uv'=(uv)'-u'v,對其兩邊求不定積分得:
?????????????
6、????????? ,
?? 這就是分部積分公式
?? 例題:求
?? 解答:這個積分用換元法不易得出結(jié)果,我們來利用分部積分法。
??????????? 設(shè)u=x,dv=cosxdx,那末du=dx,v=sinx,代入分部積分公式得:
????????????
? 關(guān)于分部積分法的問題
? 在使用分部積分法時,應(yīng)恰當?shù)倪x取u和dv,否則就會南轅北轍。選取u和dv一般要考慮兩點:
??????????(1)v要容易求得;
?????????? (2)容易積出。
幾種特殊類型函數(shù)的積分舉例
有理函數(shù)的積分舉例
?? 有理函數(shù)是指兩個多項式的商所表示的函數(shù),當分子的
7、最高項的次數(shù)大于分母最高項的次數(shù)時稱之為假分式,
?? 反之為真分式。
? 在求有理函數(shù)的不定積分時,若有理函數(shù)為假分式應(yīng)先利用多項式的除法,把一個假分式化成一個多項式和一個真分式之和的形式,然后再求之。
?? 例題:求
??解答:
???????
? 關(guān)于有理函數(shù)積分的問題
? 有理函數(shù)積分的具體方法請大家參照有關(guān)書籍,請諒。
三角函數(shù)的有理式的積分舉例
?? 三角函數(shù)的有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構(gòu)成的函數(shù)。
?? 例題:求
?? 解答:
? 關(guān)于三角函數(shù)的有理式的積分的問題
? 任何三角函數(shù)都可用正弦與余弦函數(shù)表出,故變量代換u=tan(x/2)對三角函數(shù)的有理式的積分應(yīng)用,在此我
? 們不再舉例。
簡單無理函數(shù)的積分舉例
?? 例題:求
?? 解答:設(shè),于是x=u2+1,dx=2udu,從而所求積分為:??????
????????