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2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)50 離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的均值與方差

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2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)50 離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的均值與方差

考點(diǎn)50 離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的均值與方差一、填空題1.(2012·湖南高考文科·13)如圖所示是某學(xué)校一名籃球運(yùn)動(dòng)員在五場(chǎng)比賽中所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖,則該運(yùn)動(dòng)員在這五場(chǎng)比賽中得分的方差為_(kāi).(注:方差,其中為x1,x2,xn的平均數(shù)) 【解題指南】本題考查統(tǒng)計(jì)中的莖葉圖、方差等基礎(chǔ)知識(shí),考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.先求平均數(shù),再求方差. 【解析】,.【答案】6.8.二、解答題2.(2012·浙江高考理科·19)(本題滿分14分)已知箱中裝有4個(gè)白球和5個(gè)黑球,且規(guī)定:取出一個(gè)白球得2分,取出一個(gè)黑球得1分。現(xiàn)從該箱中任?。o(wú)放回,且每球取到的機(jī)會(huì)均等)3個(gè)球,記隨機(jī)變量X為取出此3球所得分?jǐn)?shù)之和。(1)求X的分布列;(2)求X的數(shù)學(xué)期望E(X).【解題指南】主要考查古典概型及離散型隨機(jī)變量的概率分布列、概率期望的概念與運(yùn)算求解能力.對(duì)于分布列中的概率屬古典概型問(wèn)題,用排列組合知識(shí)易求出基本事件個(gè)數(shù).【解析】(1)X=3,4,5,6所以X的分布列為:X3456P(2)X的數(shù)學(xué)期望E(X)=.3.(2012·陜西高考理科·20)(本小題滿分13分)某銀行柜臺(tái)設(shè)有一個(gè)服務(wù)窗口,假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間互相獨(dú)立,且都是整數(shù)分鐘,對(duì)以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下:辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間(分)12345頻 率0.10.40.30.10.1從第一個(gè)顧客開(kāi)始辦理業(yè)務(wù)時(shí)計(jì)時(shí).()估計(jì)第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開(kāi)始辦理業(yè)務(wù)的概率;()表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解題指南】(1)根據(jù)頻率估計(jì)相應(yīng)的概率,然后分析事件包含的情形,計(jì)算概率;(2)確定隨機(jī)變量X的取值是關(guān)鍵的一步,然后再計(jì)算各個(gè)概率值即得分布列,最后計(jì)算期望值.【解析】設(shè)表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間,用頻率估計(jì)概率,得的分布列如下:12345P0.10.40.30.10.1()A表示事件“第三個(gè)顧客恰好等待4分鐘開(kāi)始辦理業(yè)務(wù)”,則事件A對(duì)應(yīng)三種情形:第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘,且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘;第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為3分鐘,且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘;第一個(gè)和第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為2分鐘.所以.()(解法一)X所有可能的取值為0,1,2.對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)的時(shí)間超過(guò)2分鐘,所以;對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為1分鐘且第二個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過(guò)1分鐘,或第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間為2分鐘,所以;X=2對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為1分鐘,所以,所以X的分布列為X012P0.50.490.01.(解法二)X所有可能的取值為0,1,2.對(duì)應(yīng)第一個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間超過(guò)2分鐘,所以;X=2對(duì)應(yīng)兩個(gè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時(shí)間均為1分鐘,所以;所以;所以X的分布列為X012P0.50.490.01.4. (2012·遼寧高考理科·T19)電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某類體育節(jié)目的收視情況,隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查。下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖;將日均收看該體育節(jié)目時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”. ()根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān)? ()將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率?,F(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的,求X的分布列,期望和方差.附:【解題指南】()據(jù)頻率分布直方圖可計(jì)算“體育迷”, “非體育迷”人數(shù),按照提供的公式,計(jì)算相關(guān)數(shù)值,與所給數(shù)據(jù)比較,獲得結(jié)論;()將所有的基本事件羅列,很容易解決問(wèn)題.【解析】()由所給的頻率分布直方圖知,“體育迷”人數(shù)為“非體育迷”人數(shù)為75,則據(jù)題意完成列聯(lián)表:非體育迷體育迷合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100將列聯(lián)表的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算: 因?yàn)?,所以沒(méi)有理由認(rèn)為“體育迷”與性別有關(guān).()由頻率分布直方圖知,抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率是為概率,即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為。由題意,從而的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望為,X的方差為.5.(2012·安徽高考理科·17)(本小題滿分12分)某單位招聘面試,每次從試題庫(kù)隨機(jī)調(diào)用一道試題,若調(diào)用的是類型試題,則使用后該試題回庫(kù),并增補(bǔ)一道類試題和一道類型試題入庫(kù),此次調(diào)題工作結(jié)束;若調(diào)用的是類型試題,則使用后該試題回庫(kù),此次調(diào)題工作結(jié)束.試題庫(kù)中現(xiàn)共有道試題,其中有道類型試題和道類型試題,以表示兩次調(diào)題工作完成后,試題庫(kù)中類型試題的數(shù)量.()求的概率;()設(shè),求的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).【解題指南】(I)根據(jù)表示兩次調(diào)題均為類型試題,求出事件的概率;()時(shí),每次調(diào)用的是類型試題的概率為,列出隨機(jī)變量的取值,計(jì)算取每個(gè)值的概率,列出分布列,求出期望.【解析】(I)表示兩次調(diào)題均為類型試題,概率為()時(shí),每次調(diào)用的是類型試題的概率為 隨機(jī)變量可取,答:()的概率為 ()求的均值為.6. (2012·新課標(biāo)全國(guó)高考理科·T18)某花店每天以每枝元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝元的價(jià)格出售,如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花作垃圾處理.(1)若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量(單位:枝,)的函數(shù)解析式. (2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得下表:日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.(i)若花店一天購(gòu)進(jìn)枝玫瑰花,表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位:元),求的分布列,數(shù)學(xué)期望及方差;(ii)若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花,你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝?請(qǐng)說(shuō)明理由.【解題指南】(1) 根據(jù)題意建立利潤(rùn)與需求量的分段函數(shù);(2)利用公式求期望與方差,注意隨機(jī)變量X代表利潤(rùn);(3)比較購(gòu)買17枝與16支的期望,期望越大越好.【解析】(1)當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), 得: (2)(i)可取, 的分布列為 (ii)購(gòu)進(jìn)17枝時(shí),當(dāng)天的利潤(rùn)為 得:應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝.7.(2012·江西高考理科·18)如圖,從A1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,2,0),B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)這6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn),將這3個(gè)點(diǎn)及原點(diǎn)O兩兩相連構(gòu)成一個(gè)“立體”,記該“立體”的體積為隨機(jī)變量V(如果選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi),此時(shí)“立體”的體積V=0).(1)求V=0的概率;(2)求V的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解題指南】(1)列出V0時(shí)的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的可能情況,然后除以總的基本事件數(shù)即得概率,列舉時(shí)若情況較多,可用排列組合的知識(shí)解決;(2)求出V取各個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率,列分布列,求出數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)從6個(gè)點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)總共有種取法,選取的3個(gè)點(diǎn)與原點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)的取法有種,因此的概率為(2)V的所有可能取值為,因此的分布列為VP由V的分布列可得8.(2012·山東高考理科·19)現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶.某射手向甲靶射擊一次,命中的概率為,命中得1分,沒(méi)有命中得0分;向乙靶射擊兩次,每次命中的概率為,每命中一次得2分,沒(méi)有命中得0分.該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立.假設(shè)該射手完成以上三次射擊.()求該射手恰好命中一次得的概率;()求該射手的總得分的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解題指南】()利用間接法來(lái)求解,分兩類,命中甲一次,命中乙一次;()本題考查的是隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,先列出的所有值,并求出每個(gè)值所對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,然后根據(jù)公式求出數(shù)學(xué)期望.【解析】() 由于射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立P(命中一次)=.() 由題意知的可能取值0,1,2,3,4,5, ,因此隨機(jī)變量的分布列為012345P所以.9.(2012·天津高考理科·16)現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂(lè)活動(dòng),該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇.為增加趣味性,約定:每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個(gè)游戲,擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲,擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲.()求這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率; ()求這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率; ()用分別表示這4個(gè)人中去參加甲、乙游戲的人數(shù),記,求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解題指南】根據(jù)古典概率、互斥事件的概率公式求解;先求出獨(dú)立事件的概率、再求數(shù)學(xué)期望.【解析】依題意,這4個(gè)人中,每個(gè)人去參加甲游戲的概率為,去參加乙游戲的概率為,設(shè)“4個(gè)人中恰有i人去參加甲游戲”為事件,則,()這4個(gè)人中恰有2人去參加甲游戲的概率.()設(shè)“這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B,則,由于與互斥,故+.所以,這4個(gè)人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為.(III)的所有可能取值為0,2,4.由于由于與互斥,與互斥,故,所以的分布列是024P隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望=.10. (2012·湖南高考理科·17)某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示.一次購(gòu)物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)302510結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53已知這100位顧客中的一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55.()確定x,y的值,并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望;()若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算,且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘的概率.(注:將頻率視為概率)【解題指南】本題考查概率統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)知識(shí),考查分布列及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算,考查運(yùn)算能力、分析問(wèn)題能力.第一問(wèn)中根據(jù)統(tǒng)計(jì)表和100位顧客中的一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55知從而解得,計(jì)算每一個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率,從而求得分布列和期望;第二問(wèn),通過(guò)設(shè)事件,判斷事件之間互斥關(guān)系,從而求得該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘的概率.【解析】()由已知,得所以該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體,所以收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量隨機(jī)樣本,將頻率視為概率得 的分布為X11.522.53PX的數(shù)學(xué)期望為 .()記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘”,為該顧客前面第位顧客的結(jié)算時(shí)間,則 .由于顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,且的分布列都與X的分布列相同,所以 .故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘的概率為.11.(2012·北京高考文科·17)與(2012·北京高考理科·17)相同近年來(lái),某市為了促進(jìn)生活垃圾的風(fēng)分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收和其他垃圾三類,并分別設(shè)置了相應(yīng)分垃圾箱,為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況,現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)1000噸生活垃圾,數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下(單位:噸):“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060()試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率;()試估計(jì)生活垃圾投放錯(cuò)誤的概率;()假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為a,b,c其中a0,a+b+c=600.當(dāng)數(shù)據(jù)a,b,c的方差s2最大時(shí),寫出a,b,c的值(結(jié)論不要求證明),并求此時(shí)s2的值.(注:其中為數(shù)據(jù)x1,x2,xn的平均數(shù))【解題指南】第()問(wèn)廚余垃圾投放正確即廚余垃圾投入到“廚余垃圾”箱內(nèi);第()問(wèn),可以先求對(duì)立事件“生活垃圾投放正確”的概率;第()問(wèn),先求出平均數(shù),再寫出方差表達(dá)式。方差最大也就是數(shù)據(jù)相對(duì)于平均數(shù)的波動(dòng)最大.【解析】().().()數(shù)據(jù)a,b,c的平均數(shù)為,方差,可以令a=600,b=0,c=0,此時(shí)方差最大,最大值為80000.12.(2012·湖北高考理科·20)(本小題滿分12分)根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),某工程施工期間的將數(shù)量X(單位:mm)對(duì)工期的影響如下表:降水量XX<300300X<700700X<900X900工期延誤天數(shù)Y02610歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量X小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9,求:(I)工期延誤天數(shù)Y的均值與方差;()在降水量X至少是300的條件下,工期延誤不超過(guò)6天的概率.【解題指南】本題考查概率分布列的性質(zhì)和應(yīng)用,解答(I)主要利用概率的加法公式求解;對(duì)于()代入條件概率公式求解.【解析】(I)由已知條件和概率的加法公式有:P(X<300)=0.3,P(300X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4,P(700X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2,所以P(X900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1.所以Y的分布列為:Y02610P0.30.40.20.1于是,E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3;D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8.故工期延誤天數(shù)Y的均值為3,方差為9.8.()由概率的加法公式,P(X300)=1-P(x<300)=0.7,又P(300x<900)=P(X<900)-P(X<300)=0.9-0.3=0.6.由條件概率,得P(Y6|X300)=P(X<900|X300)=故在降水量X至少是300的條件下,工期延誤不超過(guò)6天的概率是.13.(2012·廣東高考理科·17)(本小題滿分13分)某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績(jī)分組區(qū)間是:.(1)求圖中的值;(2)從成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,該2人中成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的人數(shù)記為,求的數(shù)學(xué)期望.【解題指南】(1)本小題根據(jù)每個(gè)區(qū)間上的矩形的面積和為1,可建立關(guān)于x的方程,解出x的值.(2)解本小題的關(guān)鍵是先求出成績(jī)不低于80分的學(xué)生數(shù)和成績(jī)?cè)?0分(含90分)以上的學(xué)生數(shù)。然后分別求出對(duì)應(yīng)的概率值,再根據(jù)期望公式求解即可.【解析】(1)由頻率分布直方圖知.(2),不低于80分的學(xué)生共12人,90分含90分以上的共3人.的取值為0,1,2.14.(2012·福建高考理科·16)(本小題滿分13分) 受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響,企業(yè)生產(chǎn)每輛轎車的利潤(rùn)與該轎車首次出現(xiàn)故障的時(shí)間有關(guān),某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車,保修期均為2年,現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機(jī)抽取50輛,統(tǒng)計(jì)書數(shù)據(jù)如下:品 牌甲乙首次出現(xiàn)故障時(shí)間x (年)轎車數(shù)量 (輛)2345545每輛利潤(rùn) (萬(wàn)元)1231.82.9將頻率視為概率,解答下列問(wèn)題:() 從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛,求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率;() 若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出,記生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤(rùn)為,生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤(rùn)為,分別求,的分布列;() 該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng),由于資金限制,只能生產(chǎn)其中一種品牌的轎車,若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮,你認(rèn)為應(yīng)該生產(chǎn)哪種品牌的轎車?說(shuō)明理由【解題指南】本小題主要考查古典概型、互斥事件的概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí),考查數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識(shí),考查必然或偶然思想.【解析】(I)設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A,則.(II)依題意得隨機(jī)變量的分布列為 123 隨機(jī)變量的分布列為 (III)甲品牌由(II)得 (萬(wàn)元) (萬(wàn)元) 因?yàn)?,所以該生產(chǎn)甲品牌汽車.15.(2012·江蘇高考·22)(本小題滿分10分)設(shè)為隨機(jī)變量,從棱長(zhǎng)為1的正方體的12條棱中任取兩條,當(dāng)兩條棱相交時(shí),;當(dāng)兩條棱平行時(shí),的值為兩條棱之間的距離;當(dāng)兩條棱異面時(shí), (1)求概率; (2)求的分布列,并求其數(shù)學(xué)期望【解題指南】(1)求出兩條棱相交時(shí)相交棱的對(duì)數(shù),即可由概率公式求得概率.(2)求出兩條棱平行且距離為的共有6對(duì),即可求出,從而求出(兩條棱平行且距離為1和兩條棱異面),因此得到隨機(jī)變量的分布列,求出其數(shù)學(xué)期望.【解析】(1)若兩條棱相交,則交點(diǎn)必為正方體8個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè),過(guò)任意1個(gè)頂點(diǎn)恰有3條棱, 共有對(duì)相交棱。 。(2)若兩條棱平行,則它們的距離為1或,其中距離為的共有6對(duì), ,. 隨機(jī)變量的分布列是:01 其數(shù)學(xué)期望.

注意事項(xiàng)

本文(2012年高考數(shù)學(xué) 考點(diǎn)50 離散型隨機(jī)變量及其分布列、離散型隨機(jī)變量的均值與方差)為本站會(huì)員(lisu****2020)主動(dòng)上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請(qǐng)立即通知裝配圖網(wǎng)(點(diǎn)擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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