《2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識(shí)點(diǎn) 常見函數(shù)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2013年高中數(shù)學(xué) 暑期特獻(xiàn) 重要知識(shí)點(diǎn) 常見函數(shù)(5頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、反函數(shù)
⑴、反函數(shù)的定義:設(shè)有函數(shù),若變量y在函數(shù)的值域內(nèi)任取一值y0時(shí),變量x在函數(shù)的定義域內(nèi)必有一值x0與之對應(yīng),即,那末變量x是變量y的函數(shù).這個(gè)函數(shù)用來表示,稱為函數(shù)的反函數(shù).
注:由此定義可知,函數(shù)也是函數(shù)的反函數(shù)。
⑵、反函數(shù)的存在定理:若在(a,b)上嚴(yán)格增(減),其值域?yàn)?R,則它的反函數(shù)必然在R上確定,且嚴(yán)格增(減).
注:嚴(yán)格增(減)即是單調(diào)增(減)
例題:y=x2,其定義域?yàn)?-∞,+∞),值域?yàn)閇0,+∞).對于y取定的非負(fù)值,可求得x=±.若我們不加條件,由y的值就不能唯一確定x的值,也就是在區(qū)間(-∞,+∞)上,函數(shù)不是嚴(yán)格增(減),故其沒有反函數(shù)。如果
2、我們加上條件,要求x≥0,則對y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0時(shí)的反函數(shù)。即是:函數(shù)在此要求下嚴(yán)格增(減).
⑶、反函數(shù)的性質(zhì):在同一坐標(biāo)平面內(nèi),與的圖形是關(guān)于直線y=x對稱的。
例題:函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù),則它們的圖形在同一直角坐標(biāo)系中是關(guān)于直線y=x對稱的。如右圖所示:
復(fù)合函數(shù)
復(fù)合函數(shù)的定義:若y是u的函數(shù):,而u又是x的函數(shù):,且的函數(shù)值的全部或部分在的定義域內(nèi),那末,y通過u的聯(lián)系也是x的函數(shù),我們稱后一個(gè)函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù),簡稱復(fù)合函數(shù),記作,其中u叫做中間變量。
注:并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合;復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。
例
3、題:函數(shù)與函數(shù)是不能復(fù)合成一個(gè)函數(shù)的。
因?yàn)閷τ诘亩x域(-∞,+∞)中的任何x值所對應(yīng)的u值(都大于或等于2),使都沒有定義。
初等函數(shù)
⑴、基本初等函數(shù):我們最常用的有五種基本初等函數(shù),分別是:指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)。下面我們用表格來把它們總結(jié)一下:
函數(shù)名稱
函數(shù)的記號(hào)
函數(shù)的圖形
函數(shù)的性質(zhì)
指數(shù)函數(shù)
?a):不論x為何值,y總為正數(shù);
?b):當(dāng)x=0時(shí),y=1.
對數(shù)函數(shù)
?a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(1,0)點(diǎn)
?b):當(dāng)a>1時(shí),在區(qū)間(0,
4、1)的值為負(fù);在區(qū)間(-,+∞)的值為正;在定義域內(nèi)單調(diào)增.
冪函數(shù)
a為任意實(shí)數(shù)
這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。
?令a=m/n
?a):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時(shí),y是偶函數(shù);
?b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時(shí),y是奇函數(shù);
?c):當(dāng)m奇n偶時(shí),y在(-∞,0)無意義.
三角函數(shù)
(正弦函數(shù))
?這里只寫出了正弦函數(shù)
?a):正弦函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)
?b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且
反三角函數(shù)
(反正弦函數(shù))
這里只寫出了反正弦函數(shù)
?a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在[-π/2,π/2]上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值.
⑵、初等函數(shù)
5、:由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).
例題:是初等函數(shù)。
雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)
⑴、雙曲函數(shù):在應(yīng)用中我們經(jīng)常遇到的雙曲函數(shù)是:(用表格來描述)
函數(shù)的名稱
函數(shù)的表達(dá)式
函數(shù)的圖形
函數(shù)的性質(zhì)
雙曲正弦
a):其定義域?yàn)?(-∞,+∞);
b):是奇函數(shù);
c):在定義域內(nèi)是單調(diào)增
雙曲余弦
a):其定義域?yàn)?(-∞,+∞);
b):是偶函數(shù);
c):其圖像過點(diǎn)(0,1);
雙曲正切
a):其定義域?yàn)?(-∞,+∞);
b):是奇函數(shù);
c):其圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間;在定域內(nèi)單調(diào)增;
我們再來看一下雙曲函數(shù)與三角函數(shù)的區(qū)別:
雙曲函數(shù)的性質(zhì)
三角函數(shù)的性質(zhì)
shx與thx是奇函數(shù),chx是偶函數(shù)
sinx與tanx是奇函數(shù),cosx是偶函數(shù)
它們都不是周期函數(shù)
都是周期函數(shù)
雙曲函數(shù)也有和差公式:
⑵、反雙曲函數(shù):雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).
a):反雙曲正弦函數(shù)?? 其定義域?yàn)椋?-∞,+∞);
b):反雙曲余弦函數(shù)?? 其定義域?yàn)椋篬1,+∞);
c):反雙曲正切函數(shù)?? ? 其定義域?yàn)椋?-1,+1);