2014屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升作業(yè)(三十六) 第六章 第三節(jié) 基本不等式 文

課時(shí)提升作業(yè)(三十六) 第六章 第三節(jié) 基本不等式一、選擇題1.設(shè)0<a<b,則下列不等式中正確的是()(A)a<b<<(B)a<<<b(C)a<<b<(D)<a<<b2.(2013·南昌模擬)函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,且a1)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上(其中m,n>0),則+的最小值等于()(A)16(B)12(C)9(D)83.(2012·湖北高考)設(shè)a,b,cR,則“abc=1”是“+a+b+c”的()(A)充分條件但不是必要條件(B)必要條件但不是充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要的條件4.某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸,每次都購(gòu)買(mǎi)x噸,運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,則x=()(A)20(B)10(C)16(D)85.(2013·撫州模擬)設(shè)a>0,b>0,若是3a與3b的等比中項(xiàng),則+的最小值為()(A)8(B)4(C)2(D)16.(2012·陜西高考)小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(a<b),其全程的平均時(shí)速為v,則()(A)a<v<(B)v=(C)<v<(D)v=7.(2013·南昌模擬)設(shè)x,y是滿足2x+y=20的正數(shù),則lgx+lg(2y)的最大值為()(A)50(B)2(C)1+lg5(D)18.(2013·余姚模擬)已知f(x)=log2(x-2),若實(shí)數(shù)m,n滿足f(m)+f(2n)=3,則m+n的最小值為()(A)5(B)7(C)8(D)9二、填空題9.(2013·淮南模擬)設(shè)x,yR,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,則+的最大值為.10.若對(duì)任意x>0,a恒成立,則a的取值范圍是.11.若當(dāng)x>1時(shí)不等式>m2+1恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.12.若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是.三、解答題13.若x,yR,且滿足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-180,(1)求x2+y2的取值范圍.(2)求證:xy2.14.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求(1)xy的最小值.(2)x+y的最小值.15.(能力挑戰(zhàn)題)某造紙廠擬建一座平面圖形為矩形且面積為162平方米的污水處理池,池的深度一定(平面圖如圖所示),如果池圍墻建造單價(jià)為400元/米,中間兩道隔墻建造單價(jià)為248元/米,池底建造單價(jià)為80元/米2,水池所有墻的厚度忽略不計(jì).(1)試設(shè)計(jì)污水處理池的長(zhǎng)和寬,使總造價(jià)最低,并求出最低總造價(jià).(2)若由于地形限制,設(shè)池的長(zhǎng)和寬都不能超過(guò)16米,試設(shè)計(jì)該水池的長(zhǎng)和寬,使總造價(jià)最低.答案解析1.【解析】選B.方法一:令a=1,b=4,則=2,=,a<<<b.方法二:0<a<b,a2<ab,a<,a+b<2b,<b,a<<<b.【變式備選】下列結(jié)論中正確的是()(A)若3a+3b2,則必有a>0,b>0(B)要使+2成立,必有a>0,b>0(C)若a>0,b>0,且a+b=4,則+1(D)若ab>0,則【解析】選D.當(dāng)a,bR時(shí),一定有3a>0,3b>0,必有3a+3b2,A錯(cuò).要使+2成立,只要>0,>0即可,這時(shí)只要a,b同號(hào),B錯(cuò).當(dāng)a>0,b>0,且a+b=4時(shí),則+=,由于ab()2=4,所以+=1,C錯(cuò).當(dāng)a>0,b>0時(shí),a+b2,所以=,而當(dāng)a<0,b<0時(shí),顯然有>,所以當(dāng)ab>0時(shí),一定有,故D正確.2.【解析】選D.由題意A(-2,-1),-2m-n+1=0,即2m+n=1.+=(+)(2m+n)=4+8.當(dāng)且僅當(dāng)n=2m時(shí)取等號(hào).3.【解析】選A.由于+=.可知當(dāng)abc=1時(shí),可推出+a+b+c;反之,如a=1,b=4,c=9,滿足+a+b+c,但abc=1不成立.4.【解析】選A.該公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸,每次都購(gòu)買(mǎi)x噸,則需要購(gòu)買(mǎi)次,運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次,一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元,故一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為(·4+4x)萬(wàn)元.而·4+4x2=160,當(dāng)且僅當(dāng)=4x,即x=20時(shí),一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小.5.【解析】選B.由題意3=3a·3b=3a+b,a+b=1,+=(+)(a+b)=2+4,當(dāng)且僅當(dāng)=,a=b時(shí)取等號(hào).6.【解析】選A.設(shè)甲乙兩地的路程為s,則往返時(shí)間分別是t1=,t2=,所以平均速度是v=,因?yàn)閍<b,所以>a,<,即a<v<.7.【解析】選B.20=2x+y2,2xy100,lgx+lg(2y)=lg(2xy)lg100=2.當(dāng)且僅當(dāng)2x=y時(shí)取等號(hào).8.【解析】選B.由已知得log2(m-2)+log2(2n-2)=3,即log2(m-2)(2n-2)=3,因此于是n=+1.所以m+n=m+1=m-2+32+3=7.當(dāng)且僅當(dāng)m-2=,即m=4時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)m+n取最小值7.9.【解析】由題意x=loga3,y=logb3.+=+=log3a+log3b=log3(ab).2=a+b2,ab3,+log33=1,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).+的最大值為1.答案：110.【解析】x>0,x+2(當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)),=,()max=,a.答案：a【方法技巧】根據(jù)恒成立求參數(shù)的方法(1)若af(x)恒成立,只需af(x)max.(2)若af(x)恒成立,只需af(x)min.即將求參數(shù)的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解決.11.【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵是用基本不等式求的最小值,可將其分子按照分母x-1進(jìn)行配方,然后分解為3項(xiàng),再利用基本不等式求最值.【解析】由于=(x-1)+22+2=6,當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)取等號(hào),所以要使不等式恒成立,應(yīng)有m2+1<6,解得-<m<.答案：-<m<12.【思路點(diǎn)撥】先對(duì)x2+y2變形,用x+y與xy表示,然后用基本不等式將xy轉(zhuǎn)化為x+y,再解不等式得x+y的最大值.【解析】由x2+y2+xy=1可得(x+y)2-xy=1,所以(x+y)2-1=xy,由于xy()2,所以(x+y)2-1()2,因此(x+y)2,所以x+y,即x+y的最大值是.答案：13.【解析】(1)(x2+y2+2)(x2+y2-1)-180,即(x2+y2)2+(x2+y2)-200,有(x2+y2+5)·(x2+y2-4)0,因?yàn)閤2+y2+5>0,所以有0x2+y24.(2)由(1)知x2+y24,由基本不等式得xy=2,所以xy2.14.【思路點(diǎn)撥】把2x+8y-xy=0轉(zhuǎn)化為+=1即可.【解析】(1)由2x+8y-xy=0,得+=1,又x>0,y>0,則1=+2=,得xy64,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),等號(hào)成立.所以xy的最小值為64.(2)由2x+8y-xy=0,得+=1,則x+y=(+)·(x+y)=10+10+2=18.當(dāng)且僅當(dāng)=,且+=1時(shí)等號(hào)成立,x+y的最小值為18.15.【解析】(1)設(shè)污水處理池的寬為x米,則長(zhǎng)為米,則總造價(jià)f(x)=400×(2x+2×)+248×2x+80×162=1296x+12960=1296(x+)+129601296×2+12960=38880(元).當(dāng)且僅當(dāng)x=,x=10時(shí)取等號(hào).當(dāng)長(zhǎng)為16.2米,寬為10米時(shí)總造價(jià)最低,最低總造價(jià)為38880元.(2)由限制條件知10x16.設(shè)g(x)=x+(10x16),g(x)在10,16上是增函數(shù),當(dāng)x=10時(shí)(此時(shí)=16),g(x)取最小值,即f(x)取最小值.當(dāng)長(zhǎng)為16米,寬為10米時(shí),總造價(jià)最低.