2014屆高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升作業(yè)(五十一) 第八章 第五節(jié) 橢 圓 文

課時(shí)提升作業(yè)(五十一) 第八章 第五節(jié) 橢 圓一、選擇題1.(2013·商洛模擬)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍,則橢圓的離心率等于()(A)(B)(C)(D)2.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為,且它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于圓C:x2+y2-2x-15=0的半徑,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()(A)+=1(B)+=1(C)+y2=1(D)+=13.(2013·馬鞍山模擬)橢圓x2+4y2=1的離心率為()(A)(B)(C)(D)4.已知圓(x+2)2+y2=36的圓心為M,設(shè)A為圓上任一點(diǎn),N(2,0),線段AN的垂直平分線交MA于點(diǎn)P,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是()(A)圓(B)橢圓(C)雙曲線(D)拋物線5.(2013·宜春模擬)過(guò)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F1作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,F2為右焦點(diǎn),若F1PF2=60°,則橢圓的離心率為()(A)(B)(C)(D)6.(能力挑戰(zhàn)題)以F1(-1,0),F2(1,0)為焦點(diǎn)且與直線x-y+3=0有公共點(diǎn)的橢圓中,離心率最大的橢圓方程是()(A)+=1(B)+=1(C)+=1(D)+=1二、填空題7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,離心率為.過(guò)F1的直線l交C于A,B兩點(diǎn),且ABF2的周長(zhǎng)為16,那么C的方程為.8.已知點(diǎn)P是橢圓16x2+25y2=400上一點(diǎn),且在x軸上方,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),直線PF2的斜率為-4,則PF1F2的面積是.9.分別過(guò)橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)F1,F2所作的兩條互相垂直的直線l1, l2的交點(diǎn)在此橢圓的內(nèi)部,則此橢圓的離心率的取值范圍是.三、解答題10.(2013·南昌模擬)在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線C上任意一點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1(-,0)和F2(,0)的距離之和為4.(1)求曲線C的方程.(2)設(shè)過(guò)(0,-2)的直線l與曲線C交于A,B兩點(diǎn),以線段AB為直徑作圓.試問(wèn):該圓能否經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)?若能,請(qǐng)寫出此時(shí)直線l的方程,并證明你的結(jié)論;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.11.(2013·淮南模擬)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)A為拋物線y2=8x的焦點(diǎn),上頂點(diǎn)為B,離心率為.(1)求橢圓C的方程.(2)過(guò)點(diǎn)(0,)且斜率為k的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),若線段PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是-,求直線l的方程.12.(2013·九江模擬)已知點(diǎn)P是圓F1:(x+)2+y2=16上任意一點(diǎn),點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.線段PF2的中垂線與PF1交于M點(diǎn).(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程.(2)設(shè)軌跡C與x軸的兩個(gè)左右交點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)K是軌跡C上異于A,B的任意一點(diǎn),KHx軸,H為垂足,延長(zhǎng)HK到點(diǎn)Q使得|HK|=|KQ|,連接AQ并延長(zhǎng)交過(guò)B且垂直于x軸的直線l于點(diǎn)D,N為DB的中點(diǎn).試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系.答案解析1.【解析】選B.由題意得2a=2b,即a=b.又a2=b2+c2,所以有b=c,a=c,得離心率e=.2.【解析】選A.圓C的方程可化為(x-1)2+y2=16.知其半徑r=4,長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4,a=2.又e=,c=1,b2=a2-c2=4-1=3,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.3.【解析】選A.先將x2+4y2=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程+=1,則a=1,b=,c=.離心率e=.4.【解析】選B.點(diǎn)P在線段AN的垂直平分線上,故|PA|=|PN|,又AM是圓的半徑,|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|,由橢圓的定義知,P的軌跡是橢圓.5.【解析】選B.由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-c,)或(-c,-),因?yàn)镕1PF2=60°,那么=,2ac=b2,這樣根據(jù)a,b,c的關(guān)系式化簡(jiǎn)得到結(jié)論為.6.【思路點(diǎn)撥】由于c=1,所以只需長(zhǎng)軸最小,即公共點(diǎn)P,使得|PF1|+|PF2|最小時(shí)的橢圓方程.【解析】選C.由于c=1,所以離心率最大即為長(zhǎng)軸最小.點(diǎn)F1(-1,0)關(guān)于直線x-y+3=0的對(duì)稱點(diǎn)為F(-3,2),設(shè)點(diǎn)P為直線與橢圓的公共點(diǎn),則2a=|PF1|+|PF2|=|PF|+|PF2|FF2|=2.取等號(hào)時(shí)離心率取最大值,此時(shí)橢圓方程為+=1.7.【解析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)在x軸上,可設(shè)橢圓方程為+=1(a>b>0).e=,=.根據(jù)ABF2的周長(zhǎng)為16得4a=16,因此a=4,b=2,所以橢圓方程為+=1.答案:+=18.【解析】由已知F1(-3,0),F2(3,0),所以直線PF2的方程為y=-4(x-3),代入16x2+25y2=400,整理得76x2-450x+650=0,解得:x=或x=(因?yàn)閤<3,故舍去),又點(diǎn)P(x,y)在橢圓上,且在x軸上方,得16×()2+25y2=400,解得y=2,=|F1F2|·y=×6×2=6.答案:69.【思路點(diǎn)撥】關(guān)鍵是由l1, l2的交點(diǎn)在此橢圓的內(nèi)部,得到a,b,c間的關(guān)系,進(jìn)而求得離心率e的取值范圍.【解析】由已知得交點(diǎn)P在以F1F2為直徑的圓x2+y2=c2上.又點(diǎn)P在橢圓內(nèi)部,所以有c2<b2,又b2=a2-c2,有c2<a2-c2,即2c2<a2,亦即:<,0<<.答案:(0,)10.【解析】(1)根據(jù)橢圓的定義,可知曲線C的軌跡為橢圓,其中a=2,c=,則b=1.所以曲線C的軌跡方程為+y2=1.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),不滿足題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=kx-2,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),若·=0,則x1x2+y1y2=0.y1=kx1-2,y2=kx2-2,y1y2=k2x1·x2-2k(x1+x2)+4.(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0.由方程組得(1+4k2)x2-16kx+12=0.=162k2-4×12×(1+4k2)>0,k2>,則x1+x2=,x1·x2=,代入,得(1+k2)·-2k·+4=0.即k2=4,k=2或k=-2,滿足式.所以,存在直線l,其方程為y=2x-2或y=-2x-2.11.【解析】(1)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為A(2,0),依題意可知a=2.因?yàn)殡x心率e=,所以c=.故b2=a2-c2=1,所以橢圓C的方程為:+y2=1.(2)直線l:y=kx+,由消去y可得(4k2+1)x2+8kx+4=0,因?yàn)橹本€l與橢圓C相交于P,Q,所以=(8k)2-4(4k2+1)×4>0,解得|k|>.又x1+x2=,x1x2=,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ中點(diǎn)M(x0,y0),因?yàn)榫€段PQ的中點(diǎn)橫坐標(biāo)是-,所以x0=-,解得k=1或k=,因?yàn)閨k|>,所以k=1,因此所求直線l:y=x+.12.【解析】(1)由題意得,F1(-,0),F2(,0),圓F1的半徑為4,且|MF2|=|MP|,從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=4>|F1F2|=2,點(diǎn)M的軌跡是以F1,F2為焦點(diǎn)的橢圓,其中長(zhǎng)軸2a=4,焦距2c=2,則短半軸b=1,橢圓方程為:+y2=1.(2)設(shè)K(x0,y0),則+=1.|HK|=|KQ|,Q(x0,2y0),OQ=2,Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心,2為半徑的圓上,即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上.又A(-2,0),直線AQ的方程為y=(x+2).令x=2,得D(2,).又B(2,0),N為DB的中點(diǎn),N(2,).=(x0,2y0),=(x0-2,).·=x0(x0-2)+2y0·=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+=x0(x0-2)+x0(2-x0)=0,直線QN與以AB為直徑的圓O相切.