江蘇省金湖縣實驗中學高中數學 奧賽輔導 數論初步—數的整除性

江蘇省金湖縣實驗中學高中數學 奧賽輔導 數論初步數的整除性整數的整除性定義：設a，b為二整數，且b，如果有一整數c，使abc，則稱b是a的約數，a是b的倍數，又稱b整除a，記作b|a.顯然，能整除任意整數，任意整數都能整除.性質：設a，b，c均為非零整數，則若c|b，b|a，則c|a.若b|a，則bc|ac若c|a，c|b，則對任意整數m、n，有c|manb若b|ac，且(a，b)1，則b|c證明：因為(a，b)1則存在兩個整數s，t，使得 asbt1 ascbtcc b|ac Þ b|asc b|(ascbtc) Þ b|c若(a，b)1，且a|c，b|c，則ab|c證明：a|c，則cas(sZ)又b|c，則cbt(tZ)又(a，b)1 sbt'(t'Z)于是cabt'即ab|c若b|ac，而b為質數，則b|a，或b|c(ab)| (anbn)(nN)，(ab)|(anbn)(n為奇數)整除的判別法：設整數N.2|a12|N ， 5|a1 5|N.3|a1a2an 3|N 9|a1a2an 9|N.4|4|N 25| 25|N.8|8|N 125|125|N7|7|N11|11|N11|(a2n1a2n1a1)(a2na2n2a2) 11|N13|13|N推論：三個連續(xù)的整數的積能被整除.例題：1.設一個五位數，其中db3，試問a，c為何值時，這個五位數被11整除.解：11| 11|acdba即11|c3 c81a9，且aZ2.設72|，試求a，b的值.解：728×9，且(8，9)1 8|，且9| 8| Þ b6且 9|a6736即9|22a a53.設n為自然數，A3237n632n855n235n，求證:1985|A.證明：1985397×5A(3237n632n)(855n235n) (3237632)×u(855235)×v(u，vZ) 5×521×u5×124×v5|A又A(3237n855n)(623n235n) (3237855)×s(623235)×t(s，tZ)397×6×s397×t 397A又(397,5)1397×5A即1985A4.證明：沒有x，y存在，使等式x2y21995(x，yZ)成立.證：假設有整數x，y存在，使x2y21995成立。x2，y2被除余數為或.x2y2被除余數為，或. 又1995被除余數為.得出矛盾，假設不成立.故沒有整數x，y存在，使x2y21995成立.費馬小定理：若p是素數，(m，p)1則 p|mp115.試證：9999能被13整除.12個證明：1019,100199,101219999. 12個又（10,13）=1 13(101311),即13(10121) 13 9999. 12個6.請確定最小的正整數A，其末位數是6，若將未位的6移至首位，其余數字不變，其值變?yōu)樵瓟档?倍.解：設該數為A，其中a16令x則Ax·106于是4A6×10n1x即有4×10x246×10n1x x (2，13)1，x是整數 13|(10n14)n1，2時，10n1410顯然不滿足條件n3時，10n1496 不滿足條件n4時，10n14996 不滿足條件n5時，10n149996不滿足條件n6時，10n1499996 滿足條件 x15384即A1538467.一個正整數，如果用進制表示為，如果用進制表示為，請用10進制表示這個數.解：由題意知：0a,c4,0b4,設這個正整數為n,則na×72b×7c, n=c×52b×5a 49a7bc25c5ba 48a2b24c0 b12(c2a) 12b,又0b4b0, c2a 當a1,c2時，n51 當a2,c4時，n102練習：1.證明：設N1988198819861986，則1987N2.設n是自然數，求證n5n可被30整除.3.請確定最小的正整數A，其末位數為2，若將末位數2移至首位，其余數字不變，則是原數的2倍.4.一個正整數，若用9進制表示為，若用7進制表示為，請用10進制表示此數.5.五位數能被4整除，最末兩位組成的數能被6整除，求此五位數.