江蘇省金湖縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高中數(shù)學(xué) 奧賽輔導(dǎo) 數(shù)論初步—數(shù)的整除性

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1、江蘇省金湖縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高中數(shù)學(xué) 奧賽輔導(dǎo) 數(shù)論初步數(shù)的整除性整數(shù)的整除性定義：設(shè)a，b為二整數(shù)，且b，如果有一整數(shù)c，使abc，則稱b是a的約數(shù)，a是b的倍數(shù)，又稱b整除a，記作b|a.顯然，能整除任意整數(shù)，任意整數(shù)都能整除.性質(zhì)：設(shè)a，b，c均為非零整數(shù)，則若c|b，b|a，則c|a.若b|a，則bc|ac若c|a，c|b，則對(duì)任意整數(shù)m、n，有c|manb若b|ac，且(a，b)1，則b|c證明：因?yàn)?a，b)1則存在兩個(gè)整數(shù)s，t，使得 asbt1 ascbtcc b|ac b|asc b|(ascbtc) b|c若(a，b)1，且a|c，b|c，則ab|c證明：a|c，則cas(sZ)又

2、b|c，則cbt(tZ)又(a，b)1 sbt(tZ)于是cabt即ab|c若b|ac，而b為質(zhì)數(shù)，則b|a，或b|c(ab)| (anbn)(nN)，(ab)|(anbn)(n為奇數(shù))整除的判別法：設(shè)整數(shù)N.2|a12|N ， 5|a1 5|N.3|a1a2an 3|N 9|a1a2an 9|N.4|4|N 25| 25|N.8|8|N 125|125|N7|7|N11|11|N11|(a2n1a2n1a1)(a2na2n2a2) 11|N13|13|N推論：三個(gè)連續(xù)的整數(shù)的積能被整除.例題：1.設(shè)一個(gè)五位數(shù)，其中db3，試問a，c為何值時(shí)，這個(gè)五位數(shù)被11整除.解：11| 11|acdba

3、即11|c3 c81a9，且aZ2.設(shè)72|，試求a，b的值.解：7289，且(8，9)1 8|，且9| 8| b6且 9|a6736即9|22a a53.設(shè)n為自然數(shù)，A3237n632n855n235n，求證:1985|A.證明：19853975A(3237n632n)(855n235n) (3237632)u(855235)v(u，vZ) 5521u5124v5|A又A(3237n855n)(623n235n) (3237855)s(623235)t(s，tZ)3976s397t 397A又(397,5)13975A即1985A4.證明：沒有x，y存在，使等式x2y21995(x，yZ)

4、成立.證：假設(shè)有整數(shù)x，y存在，使x2y21995成立。x2，y2被除余數(shù)為或.x2y2被除余數(shù)為，或. 又1995被除余數(shù)為.得出矛盾，假設(shè)不成立.故沒有整數(shù)x，y存在，使x2y21995成立.費(fèi)馬小定理：若p是素?cái)?shù)，(m，p)1則 p|mp115.試證：9999能被13整除.12個(gè)證明：1019,100199,101219999. 12個(gè)又（10,13）=1 13(101311),即13(10121) 13 9999. 12個(gè)6.請(qǐng)確定最小的正整數(shù)A，其末位數(shù)是6，若將未位的6移至首位，其余數(shù)字不變，其值變?yōu)樵瓟?shù)的4倍.解：設(shè)該數(shù)為A，其中a16令x則Ax106于是4A610n1x即有41

5、0x24610n1x x (2，13)1，x是整數(shù) 13|(10n14)n1，2時(shí)，10n1410顯然不滿足條件n3時(shí)，10n1496 不滿足條件n4時(shí)，10n14996 不滿足條件n5時(shí)，10n149996不滿足條件n6時(shí)，10n1499996 滿足條件 x15384即A1538467.一個(gè)正整數(shù)，如果用進(jìn)制表示為，如果用進(jìn)制表示為，請(qǐng)用10進(jìn)制表示這個(gè)數(shù).解：由題意知：0a,c4,0b4,設(shè)這個(gè)正整數(shù)為n,則na72b7c, n=c52b5a 49a7bc25c5ba 48a2b24c0 b12(c2a) 12b,又0b4b0, c2a 當(dāng)a1,c2時(shí)，n51 當(dāng)a2,c4時(shí)，n102練習(xí)：1.證明：設(shè)N1988198819861986，則1987N2.設(shè)n是自然數(shù)，求證n5n可被30整除.3.請(qǐng)確定最小的正整數(shù)A，其末位數(shù)為2，若將末位數(shù)2移至首位，其余數(shù)字不變，則是原數(shù)的2倍.4.一個(gè)正整數(shù)，若用9進(jìn)制表示為，若用7進(jìn)制表示為，請(qǐng)用10進(jìn)制表示此數(shù).5.五位數(shù)能被4整除，最末兩位組成的數(shù)能被6整除，求此五位數(shù).