江蘇省金湖縣實驗中學高中數(shù)學 奧賽輔導 函數(shù)的基本性質(zhì)（二）

江蘇省金湖縣實驗中學高中數(shù)學 奧賽輔導 函數(shù)的基本性質(zhì)（二）基礎(chǔ)知識：函數(shù)的周期性如果函數(shù)yf(x)對于定義域內(nèi)任意的x，存在一個不等于0的常數(shù)T，使得f(xT)f(x)恒成立，則稱函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，T是它的一個周期.一般情況下，如果T是函數(shù)f(x)的周期，則kT(kN)也是f(x)的周期.關(guān)于函數(shù)的周期性，請參考陜西師范大學高中數(shù)學競賽輔導(劉詩雄主編)例題：1 已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(xm)f(x),求證:2m是f(x)的一個周期.證明：因為f(xm)f(x)所以，f(x2m)f(xm)m f(xm) f(x)所以f(x)是以2m為周期的周期函數(shù).2 已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(xm)f(xm),求證:2m是f(x)的一個周期.證明：因為f(xm)f(xm)令xmt，則xmt2m于是f(t2m)f(t)對于tR恒成立，所以f(x)是以2m為周期的周期函數(shù).3 已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(xm),求證:2m是f(x)的一個周期.證明：由已知f(x2m)f(xm)m f(x)所以f(x)是以2m為周期的周期函數(shù).4 已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(xm),求證:4m是f(x)的一個周期.證明：由已知f(x2m)f(xm)m 于是f(x4m)f(x)所以f(x)是以4m為周期的周期函數(shù).5 已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(ax)f(ax)且f(bx)f(bx),求證:2|ab|是f(x)的一個周期.(ab)證明：不妨設(shè)ab于是f(x2(ab)f(a(xa2b) f(a(xa2b) f(2bx) f(b(xb) f(b(xb) f(x) 2(ab)是f(x)的一個周期當ab時同理可得所以，2|ab|是f(x)的周期6 已知函數(shù)f(x)的定義域為N，且對任意正整數(shù)x，都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004，求f(2004)解：因為f(x)f(x1)f(x1)所以f(x1)f(x)f(x2)兩式相加得0f(x1)f(x2)即：f(x3)f(x) f(x6)f(x)f(x)是以6為周期的周期函數(shù)20046×334 f(2004)f(0)20047 已知對于任意a，bR，有f(ab)f(ab)2f(a)f(b)，且f(x)0求證：f(x)是偶函數(shù)；若存在正整數(shù)m使得f(m)0，求滿足f(xT)f(x)的一個T值(T0)證明：令ab0得，f(0)1(f(0)0舍去)又令a0，得f(b)f(b)，即f(x)f(x)所以，f(x)為偶函數(shù)令axm，bm得f(x2m)f(x)2f(xm)f(m)0所以f(x2m)f(x)于是f(x4m)f(x2m)2m f(x2m) f(x)即T4m(周期函數(shù))8 數(shù)列an中，a1a，a2b，且an2an1an(nN)求a100；求S100.解：由已知a1a，a2b，所以a3ba，a4a，a5b，a6ab，a7a，a8b，由此可知，an是以6為周期的周期數(shù)列，于是a100a6×164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a) 2ba9 對每一個實數(shù)對x,y,函數(shù)f(t)滿足f(xy)f(x)f(y)xy1,若f(2)=2,試求滿足f(a)a的所有整數(shù)a.解：令xy0，得f (0)1再令xy1，得f(2)2f(1)2，又f(2)2所以f(1)2又令x1，y1，可得f1令xy1得f2f114令y1，得f(x1)f(x)x2即f(x1)f(x)x2 當x取任意正整數(shù)時，f(x1)f(x)0又f10所以f(x)0于是f(x1)f(x)x2x1即對任意大于1的正整數(shù)t，f(t)t在中，令x3，得f(3)1，進一步可得f(4)1注意到f(x)f(x1)(x2)所以當x4時，f(x)f(x1)0即f(x)f(x1)f(x2)f(4)1所以x4時，f(x)x綜上所述，滿足f(a)a的整數(shù)只有a1或a210 設(shè)f(x)是一個從實數(shù)集R到R的一個映射,對于任意的實數(shù)x,都有|f(x)|1,并且f(x)+,求證:f(x)是周期函數(shù).證明：由已知f(x)+所以 即 同理有即 由 于是f(x1)f(x)f(x2)f(x1)，記這個差為d同理f(x3)f(x2)f(x2)f(x1)d f(xn1)f(xn)f(xn)f(xn1) f(x1)f(x)d即是說數(shù)列f(xn)是一個以f(x)為首項，d為公差的等差數(shù)列因此f(xn)f(x)ndf(x)nf(x1)f(x)對所有的自然數(shù)n成立，而對于xR，|f(x)|1，即f(x)有界，故只有f(x1)f(x)0即f(x1)f(x) xR所以f(x)是周期為1的周期函數(shù).習題:1. 函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(1)3，對任意的xR，均有f(x4)f(x)f，求f(2001)的值.2. 設(shè)f(x)是定義在實數(shù)集上的以2為周期的周期函數(shù)，且是偶函數(shù)，當x2，3時，f(x)x，那么，當x2，0時，求f(x)的解析式.3. 已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(xm),求證:2m是f(x)的一個周期.4. 已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(xm)(其中:a,b,cR,且a2bc0),求證:2m是f(x)的一個周期.5. 已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(mx)f(mx)，且f(x)是偶函數(shù),求證:2m是f(x)的一個周期.6. 已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,都有f(mx)f(mx)，且f(x)是奇函數(shù),求證:4m是f(x)的一個周期.