江蘇省金湖縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高中數(shù)學(xué) 奧賽輔導(dǎo) 函數(shù)的基本性質(zhì)(二)

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1、江蘇省金湖縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高中數(shù)學(xué) 奧賽輔導(dǎo) 函數(shù)的基本性質(zhì)(二)基礎(chǔ)知識(shí):函數(shù)的周期性如果函數(shù)yf(x)對(duì)于定義域內(nèi)任意的x,存在一個(gè)不等于0的常數(shù)T,使得f(xT)f(x)恒成立,則稱函數(shù)f(x)是周期函數(shù),T是它的一個(gè)周期.一般情況下,如果T是函數(shù)f(x)的周期,則kT(kN)也是f(x)的周期.關(guān)于函數(shù)的周期性,請(qǐng)參考陜西師范大學(xué)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(劉詩(shī)雄主編)例題:1 已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(xm)f(x),求證:2m是f(x)的一個(gè)周期.證明:因?yàn)閒(xm)f(x)所以,f(x2m)f(xm)m f(xm) f(x)所以f(x)是以2m為周期的周期函數(shù).2 已知函數(shù)f(x)對(duì)

2、任意實(shí)數(shù)x,都有f(xm)f(xm),求證:2m是f(x)的一個(gè)周期.證明:因?yàn)閒(xm)f(xm)令xmt,則xmt2m于是f(t2m)f(t)對(duì)于tR恒成立,所以f(x)是以2m為周期的周期函數(shù).3 已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(xm),求證:2m是f(x)的一個(gè)周期.證明:由已知f(x2m)f(xm)m f(x)所以f(x)是以2m為周期的周期函數(shù).4 已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(xm),求證:4m是f(x)的一個(gè)周期.證明:由已知f(x2m)f(xm)m 于是f(x4m)f(x)所以f(x)是以4m為周期的周期函數(shù).5 已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(ax)f(

3、ax)且f(bx)f(bx),求證:2|ab|是f(x)的一個(gè)周期.(ab)證明:不妨設(shè)ab于是f(x2(ab)f(a(xa2b) f(a(xa2b) f(2bx) f(b(xb) f(b(xb) f(x) 2(ab)是f(x)的一個(gè)周期當(dāng)ab時(shí)同理可得所以,2|ab|是f(x)的周期6 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镹,且對(duì)任意正整數(shù)x,都有f(x)f(x1)f(x1)若f(0)2004,求f(2004)解:因?yàn)閒(x)f(x1)f(x1)所以f(x1)f(x)f(x2)兩式相加得0f(x1)f(x2)即:f(x3)f(x) f(x6)f(x)f(x)是以6為周期的周期函數(shù)20046334 f(

4、2004)f(0)20047 已知對(duì)于任意a,bR,有f(ab)f(ab)2f(a)f(b),且f(x)0求證:f(x)是偶函數(shù);若存在正整數(shù)m使得f(m)0,求滿足f(xT)f(x)的一個(gè)T值(T0)證明:令ab0得,f(0)1(f(0)0舍去)又令a0,得f(b)f(b),即f(x)f(x)所以,f(x)為偶函數(shù)令axm,bm得f(x2m)f(x)2f(xm)f(m)0所以f(x2m)f(x)于是f(x4m)f(x2m)2m f(x2m) f(x)即T4m(周期函數(shù))8 數(shù)列an中,a1a,a2b,且an2an1an(nN)求a100;求S100.解:由已知a1a,a2b,所以a3ba,a

5、4a,a5b,a6ab,a7a,a8b,由此可知,an是以6為周期的周期數(shù)列,于是a100a6164a4a又注意到a1a2a3a4a5a60 S100a1a2a3a96a97a98a99a100 0a97a98a99a100 a1a2a3a4 ab(ba)(a) 2ba9 對(duì)每一個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)x,y,函數(shù)f(t)滿足f(xy)f(x)f(y)xy1,若f(2)=2,試求滿足f(a)a的所有整數(shù)a.解:令xy0,得f (0)1再令xy1,得f(2)2f(1)2,又f(2)2所以f(1)2又令x1,y1,可得f1令xy1得f2f114令y1,得f(x1)f(x)x2即f(x1)f(x)x2 當(dāng)x取任意正

6、整數(shù)時(shí),f(x1)f(x)0又f10所以f(x)0于是f(x1)f(x)x2x1即對(duì)任意大于1的正整數(shù)t,f(t)t在中,令x3,得f(3)1,進(jìn)一步可得f(4)1注意到f(x)f(x1)(x2)所以當(dāng)x4時(shí),f(x)f(x1)0即f(x)f(x1)f(x2)f(4)1所以x4時(shí),f(x)x綜上所述,滿足f(a)a的整數(shù)只有a1或a210 設(shè)f(x)是一個(gè)從實(shí)數(shù)集R到R的一個(gè)映射,對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都有|f(x)|1,并且f(x)+,求證:f(x)是周期函數(shù).證明:由已知f(x)+所以 即 同理有即 由 于是f(x1)f(x)f(x2)f(x1),記這個(gè)差為d同理f(x3)f(x2)f(x2)

7、f(x1)d f(xn1)f(xn)f(xn)f(xn1) f(x1)f(x)d即是說數(shù)列f(xn)是一個(gè)以f(x)為首項(xiàng),d為公差的等差數(shù)列因此f(xn)f(x)ndf(x)nf(x1)f(x)對(duì)所有的自然數(shù)n成立,而對(duì)于xR,|f(x)|1,即f(x)有界,故只有f(x1)f(x)0即f(x1)f(x) xR所以f(x)是周期為1的周期函數(shù).習(xí)題:1. 函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(1)3,對(duì)任意的xR,均有f(x4)f(x)f,求f(2001)的值.2. 設(shè)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的以2為周期的周期函數(shù),且是偶函數(shù),當(dāng)x2,3時(shí),f(x)x,那么,當(dāng)x2,0時(shí),求f(x)的解析式.3. 已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(xm),求證:2m是f(x)的一個(gè)周期.4. 已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(xm)(其中:a,b,cR,且a2bc0),求證:2m是f(x)的一個(gè)周期.5. 已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(mx)f(mx),且f(x)是偶函數(shù),求證:2m是f(x)的一個(gè)周期.6. 已知函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f(mx)f(mx),且f(x)是奇函數(shù),求證:4m是f(x)的一個(gè)周期.

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