江西省2013年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 第3講 解答題題型特點(diǎn)與技法指導(dǎo) 文

第3講解答題題型特點(diǎn)與技法指導(dǎo)高考解答題一般有六大方向：三角函數(shù)與平面向量、概率與統(tǒng)計(jì)、立體幾何、數(shù)列與不等式、解析幾何、不等式與函數(shù)及導(dǎo)數(shù)一般來說，前三題屬于中、低檔題，第四題屬中檔偏難題，后兩題屬難題三角函數(shù)與平面向量、概率與統(tǒng)計(jì)、立體幾何在前三題中出現(xiàn)的概率較高，掌握解這幾類題的解法是大多數(shù)學(xué)生成功的關(guān)鍵目前的高考解答題已經(jīng)由單純的知識綜合型轉(zhuǎn)化為知識、方法和能力的綜合型解答題能否做好解答題，是高考成敗的關(guān)鍵1三角函數(shù)有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題，主要是考查基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法，且難度不大凸顯恒等變換與三角函數(shù)圖象、性質(zhì)在三角形內(nèi)考查主要考查以下4個(gè)方面：三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)、圖象變換，主要是yAsin(x)b的圖象、性質(zhì)及圖象變換，考查三角函數(shù)的概念、奇偶性、周期性、單調(diào)性、最值及圖象的平移和對稱等；三角恒等變換，主要考查公式的靈活運(yùn)用、變換能力，一般需要運(yùn)用和差角公式、倍角公式，尤其是對公式的應(yīng)用與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合考查；三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用通過解三角形來考查三角恒等變形及應(yīng)用三角函數(shù)性質(zhì)的綜合能力；三角函數(shù)與平面向量、數(shù)列、不等式等知識的綜合問題【例1】已知向量a(cos xsin x，sin x)，b(cos xsin x,2cos x)，設(shè)函數(shù)f(x)a·b(xR)的圖象關(guān)于直線x對稱，其中，為常數(shù)，且(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)若yf(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍點(diǎn)評 利用向量的工具作用，與向量結(jié)合在一起命制綜合題，體現(xiàn)了在知識交匯點(diǎn)處命題的指導(dǎo)思想這類問題求解時(shí)，首先利用向量的運(yùn)算，將向量式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再進(jìn)行有關(guān)的三角恒等變換，再研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)變式訓(xùn)練1 (2012·安徽高考，理16)設(shè)函數(shù)f(x)cossin2x(1)求f(x)的最小正周期；(2)設(shè)函數(shù)g(x)對任意xR，有g(shù)g(x)，且當(dāng)x時(shí)，g(x)f(x)求g(x)在區(qū)間，0上的解析式2立體幾何立體幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識之一，命題形式比較穩(wěn)定，主要考查：(1)三視圖：解答題中一般是根據(jù)三視圖還原幾何體模型，然后展開推理；(2)空間線面關(guān)系的判定和推理證明：主要是證明平行和垂直，求解這類問題要依據(jù)線面關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行推理論證；(3)空間幾何量(空間角、空間距離、幾何體體積與面積)的計(jì)算：求解這類問題，常用方法是依據(jù)公理、定理以及性質(zhì)等經(jīng)過推理論證，作出所求幾何量并求之一般解題步驟是“作、證、求”【例2】(2012·安徽八校一聯(lián)考，18)如圖，在多面體ABDEC中，AE平面ABC，BDAE，且ACABBCAE1，BD2，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)(1)求證：EF平面ABC；(2)求證：EF平面BCD；(3)求多面體ABDEC的體積點(diǎn)評 本題第(1)問是證明線面平行問題，證明直線與平面平行，往往通過證直線與直線平行來實(shí)現(xiàn)第(2)問是證線面垂直問題，往往轉(zhuǎn)化為證線線垂直來實(shí)現(xiàn)第(1)(2)問充分體現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化思想第(3)問是幾何體的體積計(jì)算問題，需要把握錐體的體積計(jì)算公式變式訓(xùn)練2 (2012·廣東高考，文18)如圖所示，在四棱錐PABCD中，AB平面PAD，ABCD，PDAD，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)且DFAB，PH為PAD中AD邊上的高(1)證明：PH平面ABCD；(2)若PH1，AD，F(xiàn)C1，求三棱錐EBCF的體積；(3)證明：EF平面PAB3概率與統(tǒng)計(jì)概率解答題為每年高考的必考內(nèi)容，主要考查互斥事件和對立事件的關(guān)系、古典概型和幾何概型要求學(xué)生能準(zhǔn)確理解題意，迅速確定是古典概型還是幾何概型，然后用概率公式求解對于古典概型，要準(zhǔn)確列出所有基本事件的個(gè)數(shù)和所求事件包含的基本事件個(gè)數(shù)對于幾何概型，一定要明確其與面積(體積、長度等)的關(guān)系對于較復(fù)雜的問題，可以借助于圖形和表格幫助分析【例3】(2012·河南洛陽統(tǒng)測，文18)為了普及環(huán)保知識，增強(qiáng)環(huán)保意識，某大學(xué)從理工類專業(yè)的A班和文史類專業(yè)的B班各抽取20名同學(xué)參加環(huán)保知識測試兩個(gè)班同學(xué)的成績(百分制)的莖葉圖如圖所示：按照大于或等于80分為優(yōu)秀，80分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計(jì)成績(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表：成績與專業(yè)列聯(lián)表優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)A班20B班20總計(jì)40(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.050的前提下認(rèn)為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關(guān)？附：K2P(K2k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828點(diǎn)評 本題主要考查統(tǒng)計(jì)中的莖葉圖獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查分析解決問題的能力、運(yùn)算求解能力，難度適中準(zhǔn)確讀取莖葉圖中的數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵變式訓(xùn)練3 (2012·陜西高考，文19)假設(shè)甲乙兩種品牌的同類產(chǎn)品在某地區(qū)市場上銷售量相等，為了解它們的使用壽命，現(xiàn)從這兩種品牌的產(chǎn)品中分別隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行測試，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：甲品牌乙品牌(1)估計(jì)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率；(2)這兩種品牌產(chǎn)品中，某個(gè)產(chǎn)品已使用了200小時(shí)，試估計(jì)該產(chǎn)品是甲品牌的概率4數(shù)列與不等式高考中數(shù)列解答題的求解主要有以下幾個(gè)特點(diǎn)：(1)與等差、等比數(shù)列基本量有關(guān)的計(jì)算，可根據(jù)題意列方程(方程組)或利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求解；(2)與求和有關(guān)的題目，首先要求通項(xiàng)公式，并根據(jù)通項(xiàng)公式選擇恰當(dāng)?shù)那蠛头椒?如錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法等)；(3)含Sn的式子，要根據(jù)題目特征利用an進(jìn)行轉(zhuǎn)化；(4)與遞推數(shù)列有關(guān)的問題，要能合理轉(zhuǎn)化，使之構(gòu)造出新的等差、等比數(shù)列；(5)與數(shù)列有關(guān)的不等式問題，可根據(jù)數(shù)列的特征選擇方法(如比較法、放縮法等)；(6)與函數(shù)有關(guān)的問題，應(yīng)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解【例4】(2012·四川成都二診，20)已知數(shù)列an和bn，b11，且bn13bn2n2，記anbn1bn1，nN*(1)證明：數(shù)列an為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(3)記cnlogan3·logan23，數(shù)列cn的前n項(xiàng)和為Tn，若45Tk29，kN*恒成立，求k的最大值點(diǎn)評 第(1)問考查了等比數(shù)列的證明，它是為第(2)、(3)問服務(wù)的第(2)問考查了求數(shù)列通項(xiàng)公式的常規(guī)方法第(3)問考查了數(shù)列的求和方法，是數(shù)列與不等式知識的綜合問題變式訓(xùn)練4 (2012·湖北八校二聯(lián)，19)各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足：Snaan(nN*)(1)求an；(2)設(shè)函數(shù)f(n)cnf(2n4)(nN*)，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn5解析幾何解析幾何解答題主要考查圓錐曲線的基本概念、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和處理有關(guān)問題的基本技能、基本方法，往往以中檔偏難題或以壓軸題形式出現(xiàn)，主要考查學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算能力，考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力突破解答題，應(yīng)重點(diǎn)研究直線與曲線的位置關(guān)系，要充分運(yùn)用一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理，注意運(yùn)用“設(shè)而不求”的思想方法，靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”解題，要善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題，使數(shù)與形相互轉(zhuǎn)化，根據(jù)具體特征選擇相應(yīng)方法【例5】已知橢圓1，點(diǎn)P是橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作橢圓的切線l，交y軸于點(diǎn)A，直線l過點(diǎn)P且垂直于l，交y軸于點(diǎn)B試判斷以AB為直徑的圓能否經(jīng)過定點(diǎn)，若能，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不能，請說明理由點(diǎn)評 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一直是命題的熱點(diǎn)，基本方法是聯(lián)立方程，利用判別式、根與系數(shù)關(guān)系求解，運(yùn)算量一般較大，這類綜合題中常涉及的問題有弦長問題、面積問題、對稱問題、定點(diǎn)定值問題等，是歷年高考的熱點(diǎn)問題，復(fù)習(xí)時(shí)要注重通性通法的訓(xùn)練變式訓(xùn)練5 (2012·山東高考，文21)如圖，橢圓M：1(ab0)的離心率為，直線x±a和y±b所圍成的矩形ABCD的面積為8(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l：yxm(mR)與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P，Q，l與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)S，T求的最大值及取得最大值時(shí)m的值6函數(shù)與導(dǎo)數(shù)以函數(shù)為載體，以導(dǎo)數(shù)為工具，以考查函數(shù)性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為目標(biāo)，以導(dǎo)數(shù)為工具圍繞函數(shù)、不等式、方程等綜合考查在知識的交匯處命題，涉及到具體內(nèi)容較多，如給定解析式求參數(shù)值，給定條件求參數(shù)范圍，以及對參數(shù)討論與證明不等式問題，極值、最值、值域及分析圖象交點(diǎn)等問題，都以導(dǎo)數(shù)為工具既考查函數(shù)部分的相關(guān)知識，又滲透函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與整合等數(shù)學(xué)思想【例6】(2012·山東青島一模，21)已知函數(shù)f(x)x3x(1)若不等式f(x)k2 005對于x2,3恒成立，求最小的正整數(shù)k；(2)令函數(shù)g(x)f(x)ax2x(a2)，求曲線yg(x)在(1，g(1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值點(diǎn)評 第(1)問是恒成立求參數(shù)范圍問題，常用分離參數(shù)求最值第(2)問考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，利用導(dǎo)數(shù)求最值問題變式訓(xùn)練6 (2012·廣西南寧一模，21)已知函數(shù)f(x)ax3bx2cxd是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象過點(diǎn)和(2,2)(1)求出函數(shù)f(x)的解析式，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)g(x)f(x)5t，當(dāng)實(shí)數(shù)t取何值時(shí)，關(guān)于x的方程g(x)0有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根？參考答案方法例析【例1】解：(1)因?yàn)閒(x)sin2xcos2x2sinx·cos xcos 2xsin2x2sin由直線x是yf(x)圖象的一條對稱軸，可得sin±1，所以2k(kZ)，即(kZ)又，kZ，所以k1，故所以f(x)的最小正周期是(2)由yf(x)的圖象過點(diǎn)，得f0，即2sin2sin，即故f(x)2sin由0x，有x，所以sin1，得12sin2，故函數(shù)f(x)在上的取值范圍為1，2【變式訓(xùn)練1】解：(1)f(x)cossin2xsin2x，故f(x)的最小正周期為(2)當(dāng)x時(shí)，g(x)f(x)sin2x故當(dāng)x時(shí)，x由于對任意xR，gg(x)，從而g(x)gsinsin(2x)sin2x當(dāng)x時(shí)，x從而g(x)g(x)sin2(x)sin2x綜合，得g(x)在，0上的解析式為g(x)【例2】(1)證明：取BC的中點(diǎn)G，連接AG，F(xiàn)GF，G分別為DC，BC的中點(diǎn)，F(xiàn)GDBEA四邊形EFGA為平行四邊形EFAG又因?yàn)镋F平面ABC，AG平面ABC，EF平面ABC(2)證明：因?yàn)锳E面ABC，BDAE，DB平面ABC又DB平面BCD，平面ABC平面BCD又G為BC的中點(diǎn)且ACABBC，AGBCAG平面BCD又EFAG，EF平面BCD(3)解：過C作CHAB，則CH平面ABDE且CH，VCABDES四邊形ABDE·CH××【變式訓(xùn)練2】(1)證明：AB平面PAD，PH面PADPHAB，又PHAD，AD，AB平面ABCD，ADABAPH平面ABCD(2)E是PB中點(diǎn)點(diǎn)E到面BCF的距離hPH，三棱錐EBCF的體積VSBCF·h×·FC·AD·h×1××(3)取PA的中點(diǎn)為G，連接DG，EGPD=ADDGPA，又AB平面PAD，AB平面PAB平面PAD平面PAB，又平面PAD平面PAB=PA，DG平面PADDG面PAB，點(diǎn)E，G是棱PB，PA的中點(diǎn)EGAB，又DFABEGDFDGEF，得EF平面PAB【例3】解：(1)成績與專業(yè)列聯(lián)表優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)A班14620B班71320總計(jì)211940(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到k4.9123.841所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.050的前提下認(rèn)為環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關(guān)【變式訓(xùn)練3】解：(1)甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的頻率為，用頻率估計(jì)概率，所以，甲品牌產(chǎn)品壽命小于200小時(shí)的概率為(2)根據(jù)抽樣結(jié)果，壽命大于200小時(shí)的產(chǎn)品有7570145個(gè)，其中甲品牌產(chǎn)品是75個(gè)，所以在樣本中，壽命大于200小時(shí)的產(chǎn)品是甲品牌的頻率是，用頻率估計(jì)概率，所以已使用了200小時(shí)的該產(chǎn)品是甲品牌的概率為【例4】解：(1)bn13bn2n2，bn3bn12(n1)2，n2，nN*兩式相減，得bn1bn3bn3bn12(n2，nN*)整理，得bn1bn13(bnbn11)(n2，nN*)，即an3an1(n2，nN*)數(shù)列an是公比為3的等比數(shù)列(2)b23，a13113an3n(nN*)anbn1bn13n，bnbn113n1，bn1bn213n2，b2b1131累加，得bnb1n11bnn(nN*)(3)Tn由45Tk29得13590116k8又kN*，k的最大值為7，【變式訓(xùn)練4】解：(1)由Snan2an，得，當(dāng)n2時(shí)，Sn1an21an1由化簡得：(anan1)(anan12)0又?jǐn)?shù)列an的各項(xiàng)為正數(shù)，當(dāng)n2時(shí)，anan12故數(shù)列an成等差數(shù)列，公差為2又a1S1a12a1，解得a11，an2n1(2)由分段函數(shù)f(n)可以得到：c1f(6)f(3)a35，c2f(8)f(4)f(2)f(1)a11；當(dāng)n3，nN*時(shí)，cnf(2n4)f(2n12)f(2n21)2(2n21)12n11，故當(dāng)n3時(shí)，Tn51(221)(231)(2n11)6(n2)2nnn1時(shí)，T15不滿足Tn2nn，n2時(shí)，T2c1c26滿足Tn2nn，故Tn【例5】解：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)(x00，y00)，直線l的方程為yy0k(xx0)，代入1，整理得(34k2)x28k(y0kx0)x4(y0kx0)2120xx0是方程的兩個(gè)相等實(shí)根，2x0，解得k直線l的方程為yy0(xx0)令x0，得點(diǎn)A的坐標(biāo)為又1，4y023x0212，點(diǎn)A的坐標(biāo)為又直線l的方程為yy0(xx0)，令x0，得點(diǎn)B的坐標(biāo)為，以AB為直徑的圓方程為x·x·0，整理得x2y2y10由得以AB為直徑的圓恒過定點(diǎn)(1,0)和(1,0)【變式訓(xùn)練5】解：(1)設(shè)橢圓M的半焦距為c，由題意知所以a2，b1因此橢圓M的方程為y21(2)由整理得5x28mx4m240，由64m280(m21)8016m20，得m設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2，x1x2所以|PQ|(m)線段CD的方程為y1(2x2)，線段AD的方程為x2(1y1)不妨設(shè)點(diǎn)S在AD邊上，T在CD邊上，可知1m，S(2，m2)，D(2,1)，所以|ST|SD|1(m2)(3m)，因此，令t3m(1m)，則m3t，t(3，2，所以，由于t(3,2，所以，因此當(dāng)即時(shí)，取得最大值，此時(shí)不妨設(shè)點(diǎn)S在AB邊上，T在CD邊上，此時(shí)1m1，因此|ST|=|AD|=，此時(shí)，所以當(dāng)m=0時(shí)，取得最大值不妨設(shè)點(diǎn)S在AB邊上，T在BC邊上，m1，由橢圓和矩形的對稱性知的最大值為，此時(shí)綜上所述或m=0時(shí)，取得最大值【例6】解：(1)f(x)x3x，令f(x)x210，解得x±1當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化如下：x2(2，1)1(1,1)1(1,3)3f(x)00f(x)極大值極小值由上表可知：f(x)極大f(1)又f(3)6，f(2)比較可得：當(dāng)x2,3時(shí)，f(x)maxf(3)6因?yàn)閒(x)k2 005恒成立，所以k2 0056，即k2 011，所以最小的正整數(shù)k2 012(2)g(x)f(x)ax2xx3ax2，則g(x)x2ax，所以g(1)1a又因?yàn)間(1)a，所以切線方程為y(1a)(x1)令x0，得ya，令y0，得x，所以S因?yàn)閍2，則S，則S所以S0，即S在2，)上單調(diào)遞增，所以a2時(shí)，Smin【變式訓(xùn)練6】解：(1)f(x)f(x)，ax3bx2cxdax3bx2cxdb0，d0故f(x)ax3cx而它的圖象過點(diǎn)和(2,2)，則解得故f(x)x3x從而f(x)x21由f(x)0，得f(x)的單調(diào)增區(qū)間為和，由f(x)0，得f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(2)令g(x)0得f(x)5t，要使得方程g(x)0有且只有一個(gè)解，即函數(shù)yf(x)與y5t有且只有一個(gè)交點(diǎn)，而由(1)知，f(x)在x時(shí)取得極大值，在x時(shí)取得極小值，而f×3，ff，故要使得yf(x)與y5t只有一個(gè)交點(diǎn)，則5t或5t，即t或t