《數(shù)學(xué)物理方法》PPT課件.ppt

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1、數(shù)學(xué)物理方法,學(xué)時(shí)：48， 學(xué)分：3.0 教材：自編 教師：李麗 Email： Tel: 62471434; 13594003026,數(shù)學(xué)物理方法,復(fù)變函數(shù)論,數(shù)學(xué)物理方程,特殊函數(shù),計(jì)算機(jī)輔助（自學(xué)）,,,,,復(fù)變函數(shù)論部分,復(fù)變函數(shù)論主要內(nèi)容,第一章、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù) 第二章、解析函數(shù) 第三章、復(fù)變函數(shù)的積分 第四章、復(fù)數(shù)級(jí)數(shù) 第五章、留數(shù) 第六章、Fourier、Laplace變換,教學(xué)參考書(shū),習(xí)題參考書(shū),,網(wǎng)絡(luò)資源,圖書(shū)館電子資源 http://202.202.36.190/source/serv3.htm MIT開(kāi)放課程 數(shù)學(xué)物理方法-電子科技大學(xué)精品課程 http://202.1

2、15.21.138/wlxt/ncourse/Mathematic/web/Download.asp Complex Analysis Project for Undergraduate Students（推薦） http://math.fullerton.edu/mathews/complex.html 數(shù)學(xué)世界 ,計(jì)算機(jī)輔助工具,,數(shù)學(xué)物理方法是理工科類(lèi)專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要基礎(chǔ)課，既是數(shù)學(xué)課程，又是物理課程，其教學(xué)目的是進(jìn)一步系統(tǒng)的提高和培養(yǎng)學(xué)生建立數(shù)理模型，解決物理問(wèn)題的能力。是用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的方法，首先先從數(shù)學(xué)知識(shí)開(kāi)始講起。,引言,第一章、復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù),學(xué)時(shí)：4 重點(diǎn)和要求 復(fù)

3、數(shù)及其運(yùn)算 復(fù)變函數(shù)，區(qū)域，連續(xù)，極限 作業(yè) 習(xí)題一、11、14 、19、22（6，10） 26（1、4）、30,1-1 復(fù)數(shù)基本運(yùn)算,一、復(fù)數(shù)的表示法,注意：復(fù)數(shù)的虛部是一個(gè)實(shí)數(shù),一個(gè)復(fù)數(shù)的共扼通常記做,（物理學(xué)中常用z*表示）,2.復(fù)數(shù)的幾何表示,實(shí)數(shù)組(x,y)與平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn) 一一對(duì)應(yīng).因此,復(fù)數(shù)z也與平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng),這樣的平面叫做復(fù)平面。兩個(gè)坐標(biāo)軸分別叫做實(shí)軸和虛軸。 （具體圖示參看課本）,,主值argz的范圍(z=x+iy)：,argz=,,其中,補(bǔ)充內(nèi)容,幅角應(yīng)注意的問(wèn)題,3.復(fù)數(shù)的三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)表示,,,,,二、復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則,1. 復(fù)數(shù)的基本運(yùn)

4、算 如果復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部都等于零, 則復(fù)數(shù)等于零，記作 z=0。,圖示具體見(jiàn)教案,2. 復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,,共扼復(fù)數(shù)的性質(zhì)：,復(fù)數(shù)的乘法與除法的代數(shù)形式與指數(shù)形式的計(jì)算總結(jié),可見(jiàn)復(fù)數(shù)的乘除法用指數(shù)形式方便,3.復(fù)數(shù)的乘冪與方根(重點(diǎn)),,具體見(jiàn)下頁(yè),用指數(shù)形式求解,如果在復(fù)平面上畫(huà)出這n個(gè)不同方根,它們就是以原點(diǎn)為中心,以r1/n為半徑的圓的內(nèi)接正n邊形的n個(gè)頂點(diǎn) .,Note!!!,k=0,1,2.n-1,For example!,解：1、先把代數(shù)式化為指數(shù)式 因?yàn)?1的輻角為，而模為8。2、根據(jù)公式可得,4、方根的圖示,三、例題1、2、3、4見(jiàn)課本,四、復(fù)數(shù)的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),在實(shí)變函數(shù)微積分學(xué)中

5、的,只是一個(gè)符號(hào)而已。,而復(fù)球面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) 卻是一個(gè)完全確定的點(diǎn)， 并且只有一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。,補(bǔ)充一些內(nèi)容,具體見(jiàn)課本,無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)：復(fù)平面上模為無(wú)窮大的點(diǎn) 涉及無(wú)窮大的復(fù)數(shù)運(yùn)算： 確定值（條件是？） 不確定值,復(fù)數(shù)的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn),本節(jié)總結(jié)與注意,1、掌握書(shū)上的例題，并且會(huì)舉一反三。 例題1要根據(jù)復(fù)數(shù)的模的基本性質(zhì)證明。 例題2要記住結(jié)論。 例題3此類(lèi)題目用z=x+iy代入方程化簡(jiǎn)即可。,3、,2、復(fù)數(shù)的冪和根式的求法（見(jiàn)例題4）,,,重點(diǎn)內(nèi)容,首先要求把復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為極坐標(biāo)形式，找出模與幅角的主值。,定義： 對(duì)于復(fù)平面的點(diǎn)集E，它的每個(gè)點(diǎn)z都有一個(gè)或多個(gè)點(diǎn)通過(guò)確定的關(guān)系與之對(duì)應(yīng)。則稱(chēng)為z的

6、復(fù)變函數(shù)，記作： =f(z), zE E叫做定義域。 復(fù)變函數(shù)可以看做兩個(gè)實(shí)二元函數(shù)有序組合 =f(z)=u(x,y)+iv(x,y), 復(fù)變函數(shù)有單值函數(shù)和多值函數(shù)之分 復(fù)變函數(shù)研究的重點(diǎn)是解析函數(shù),一、復(fù)變函數(shù)的定義,1.2 復(fù)變函數(shù),,畫(huà)圖說(shuō)明,鄰域：|z-z0|<，記做(z0) 去心鄰域 0<|z-z0|< 設(shè)G為復(fù)平面上的點(diǎn)集， z0為G內(nèi)任意點(diǎn) 內(nèi)點(diǎn)：存在一個(gè)(z0)屬于G。 開(kāi)集：G上的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn) 區(qū)域：1）開(kāi)集，2）連通 （舉例子在教案） 區(qū)域的邊界點(diǎn)：非內(nèi)點(diǎn) 區(qū)域的邊界：所有邊界點(diǎn)的集合（線(xiàn)條，點(diǎn)） 閉區(qū)域：區(qū)域邊界 區(qū)域有界：任意 |z|

7、,以任意小的正實(shí)數(shù)為半徑的圓的內(nèi)部，稱(chēng)為z0 的鄰域。,二、復(fù)平面上的區(qū)域,點(diǎn)z的集合不包含點(diǎn)z0,叫做點(diǎn)z0的去心鄰域.,具體見(jiàn)課本與教案,要畫(huà)圖說(shuō)明,簡(jiǎn)單(閉)曲線(xiàn)：與自身不相交的(閉合)曲線(xiàn) 單連通區(qū)域：任意簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)內(nèi)的點(diǎn)都屬于該區(qū)域 復(fù)連通區(qū)域：非單連通的連通區(qū)域 區(qū)別：?jiǎn)芜B通區(qū)域內(nèi)的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)連續(xù)變形可以縮為一點(diǎn)。直觀上講復(fù)連通區(qū)域就是區(qū)域內(nèi)有孔的連通區(qū)域,三、單與復(fù)連通區(qū)域,“有洞”,“無(wú)洞”,畫(huà)圖說(shuō)明,單連通區(qū)域可以經(jīng)過(guò)變形而縮成一點(diǎn)，而多連通區(qū)域就不具有這個(gè)特征。,復(fù)連通區(qū)域單連通化：作一些適當(dāng)?shù)母罹€(xiàn)能將復(fù)通區(qū)域的不相連接的邊界線(xiàn)連接起來(lái)從而降為單連通區(qū)域.（注意

8、：連接邊界的分開(kāi)方式不唯一） 邊界線(xiàn)的正方向：為了以后學(xué)習(xí)環(huán)路積分方便，我們按照通常的規(guī)定：（當(dāng)人）沿邊界線(xiàn)環(huán)行時(shí)，所包圍的區(qū)域始終在人的左手邊，則前進(jìn)方向?yàn)檫吔缇€(xiàn)的正方向. 對(duì)于有界的單連通區(qū)域，如圖下圖 (a) 的逆時(shí)針?lè)较蛩炯礊檎较? 而多連通區(qū)域單連通化后，外圍逆時(shí)針為正方向，內(nèi)部順時(shí)針為正方向，如圖 (b),(c)所示.,a,b,c,復(fù)連通區(qū)域單連通化（補(bǔ)充）,說(shuō)明：當(dāng)判斷區(qū)域是什么樣的區(qū)域時(shí)，通常按照下列順序判斷：（1）有、無(wú)界，(2)單、復(fù)連通，（3）開(kāi)、閉區(qū)域. 判斷|z-1|+|z+2|5 代表什么樣的區(qū)域 【解】 此不等式所代表的區(qū)域是焦點(diǎn)在z=1和z=-2，長(zhǎng)軸為5的

9、橢圓內(nèi)部，為有界單連通閉區(qū)域.,區(qū)域的判斷方法及實(shí)例分析(補(bǔ)充),(1)、定義： 設(shè)復(fù)變函數(shù) = f (z),在z0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，若存在一個(gè)確定的數(shù)A，對(duì)于任意0，必存在0使得在0<|z-z0|<時(shí)，總有|f (z)-A|<，那么稱(chēng)A是f(z)的極限。記作：,四、復(fù)變函數(shù)的極限,注意：1）f(z)在z0可以沒(méi)有定義。 2）z趨近于z0的路徑是任意的,極限都是A. 3）z沿不同路徑趨近于z0得到的極限不同, 表示f (z0)沒(méi)有極限,解釋一下作業(yè)題,(2)、復(fù)變函數(shù)極限的基本定理,復(fù)變函數(shù)與二元實(shí)變函數(shù)極限的區(qū)別在于復(fù)變函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中包含兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)u(x,y)和v(x.y).因此有下面的定理:,求復(fù)變函數(shù)的極限就是求兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的極限,因此具有相同的幾何意義. 因此可以證明,在存在極限limz-z0f(z)=A, limz-z0g(z)=B的條件下, 下列極限運(yùn)算法則對(duì)復(fù)變函數(shù)的極限運(yùn)算也成立:,具體證明見(jiàn)課本,五、復(fù)變函數(shù)的連續(xù),定義：如果函數(shù)f (z)在點(diǎn)z0有極限有定義且相等，則稱(chēng)函數(shù)在z0處連續(xù)。 連續(xù)的等價(jià)條件： f (z)實(shí)部和虛部分別在z0處連續(xù),總結(jié)復(fù)變函數(shù)的連續(xù),即u(x,y)和v(x,y)在(x0, y0)處連續(xù)。,