2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用課件 理 新人教A版.ppt

第4節(jié)數(shù)列求和及數(shù)列的綜合應(yīng)用,考試要求1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常見方法；3.了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；4.能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)等差、等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.,知 識(shí) 梳 理,1.特殊數(shù)列的求和公式,2.數(shù)列求和的幾種常用方法 (1)分組轉(zhuǎn)化法 把數(shù)列的每一項(xiàng)分成兩項(xiàng)或幾項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)等差、等比數(shù)列，再求解. (2)裂項(xiàng)相消法 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和. (3)錯(cuò)位相減法 如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和可用錯(cuò)位相減法求解. (4)倒序相加法 如果一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.,3.數(shù)列應(yīng)用題常見模型 (1)等差模型：如果后一個(gè)量比前一個(gè)量增加(或減少)的是同一個(gè)固定值，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差. (2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是同一個(gè)固定的非零常數(shù)，該模型是等比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比. (3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化，應(yīng)考慮an與an1(或者相鄰三項(xiàng)等)之間的遞推關(guān)系，或者Sn與Sn1(或者相鄰三項(xiàng)等)之間的遞推關(guān)系.,微點(diǎn)提醒,基 礎(chǔ) 自 測(cè),1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”),解析(3)要分a0或a1或a0且a1討論求解. 答案(1)(2)(3)(4),答案B,4.(2018東北三省四校二模)已知數(shù)列an滿足an1an2，a15，則|a1|a2|a6|() A.9 B.15 C.18 D.30,解析由題意知an是以2為公差的等差數(shù)列，又a15，所以|a1|a2|a6|5|3|1|13553113518. 答案C,5.(2019北京朝陽區(qū)質(zhì)檢)已知數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，bnan2n1，且SnTn2n1n22，則2Tn_.,解析由題意知TnSnb1a1b2a2bnann2n12， 又SnTn2n1n22， 所以2TnTnSnSnTn2n2n(n1)4. 答案2n2n(n1)4,答案an2(n1),考點(diǎn)一分組轉(zhuǎn)化法求和,【例1】 (2019濟(jì)南質(zhì)檢)已知在等比數(shù)列an中，a11，且a1，a2，a31成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列bn滿足bn2n1an(nN*)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，試比較Sn與n22n的大小.,解(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q， a1，a2，a31成等差數(shù)列，,ana1qn12n1(nN*).,(2)由(1)知bn2n1an2n12n1， Sn(11)(32)(522)(2n12n1) 135(2n1)(12222n1),Sn(n22n)1<0，Sn<n22n.,【訓(xùn)練1】 已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，S3S4S5. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)令bn(1)n1an，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和T2n.,解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d， 由S3S4S5可得a1a2a3a5，即3a2a5， 3(1d)14d，解得d2. an1(n1)22n1. (2)由(1)可得bn(1)n1(2n1). T2n1357(2n3)(2n1)(2)n2n.,考點(diǎn)二裂項(xiàng)相消法求和,即an13an2，又a283a12， an13an2，nN*， an113(an1)， 數(shù)列an1是等比數(shù)列，且首項(xiàng)為a113，公比為3， an133n13n，an3n1.,規(guī)律方法1.利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng). 2.將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等.,【訓(xùn)練2】 設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知S3a7，a82a33.,解(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，,解得a13，d2， ana1(n1)d2n1.,考點(diǎn)三錯(cuò)位相減法求和 【例3】 已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1a26，a1a2a3.,解(1)設(shè)an的公比為q，,又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.,規(guī)律方法1.一般地，如果數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法. 2.用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意： (1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形. (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“SnqSn”的表達(dá)式.,【訓(xùn)練3】 已知等差數(shù)列an滿足：an1an(nN*)，a11，該數(shù)列的前三項(xiàng)分別加上1，1，3后成等比數(shù)列，an2log2bn1. (1)分別求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn.,解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則d0， 由a11，a21d，a312d分別加上1，1，3后成等比數(shù)列， 得(2d)22(42d)， 解得d2(舍負(fù))，所以an1(n1)22n1.,考點(diǎn)四數(shù)列的綜合應(yīng)用 【例4】 某同學(xué)利用暑假時(shí)間到一家商場(chǎng)勤工儉學(xué).該商場(chǎng)向他提供了三種付酬方案：第一種，每天支付38元；第二種，第一天付4元，第二天付8元，第三天付12元，依此類推；第三種，第一天付0.4元，以后每天比前一天翻一番(即增加1倍).他應(yīng)該選擇哪種方式領(lǐng)取報(bào)酬呢？,解設(shè)該學(xué)生工作n天，每天領(lǐng)工資an元，共領(lǐng)工資Sn元， 則第一種方案an(1)38，Sn(1)38n； 第二種方案an(2)4n，Sn(2)4(123n)2n22n；,令Sn(1)Sn(2)，即38n2n22n，解得n18，即小于或等于18天時(shí)，第一種方案比第二種方案報(bào)酬高(18天時(shí)一樣高). 令Sn(1)Sn(3)，即38n0.4(2n1)， 利用計(jì)算器計(jì)算得小于或等于9天時(shí)，第一種方案報(bào)酬高， 所以少于10天時(shí)，選擇第一種方案. 比較第二、第三種方案，S10(2)220，S10(3)409.2，S10(3)S10(2)，Sn(3)Sn(2). 所以等于或多于10天時(shí)，選擇第三種方案.,規(guī)律方法數(shù)列的綜合應(yīng)用?？疾橐韵聨讉€(gè)方面： (1)數(shù)列在實(shí)際問題中的應(yīng)用； (2)數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用； (3)數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用. 解答數(shù)列綜合題和應(yīng)用題既要有堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)，又要有良好的邏輯思維能力和分析、解決問題的能力.解答應(yīng)用性問題，應(yīng)充分運(yùn)用觀察、歸納、猜想的手段建立出有關(guān)等差(比)數(shù)列、遞推數(shù)列模型，再結(jié)合其他相關(guān)知識(shí)來解決問題.,【訓(xùn)練4】 已知二次函數(shù)yf(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)6x2，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上.,解(1)設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bx(a0)， 則f(x)2axb. 由于f(x)6x2，得a3，b2， 所以f(x)3x22x. 又因?yàn)辄c(diǎn)(n，Sn)(nN*)均在函數(shù)yf(x)的圖象上， 所以Sn3n22n.,當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5； 當(dāng)n1時(shí)，a1S131221615，也適合上式， 所以an6n5(nN*).,思維升華 1.非等差、等比數(shù)列的一般數(shù)列求和，主要有兩種思想 (1)轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相消來完成； (2)不能轉(zhuǎn)化為等差或等比的特殊數(shù)列，往往通過裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來求和. 2.解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟 (1)審題仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意. (2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的特征、要求的是什么. (3)求解求出該問題的數(shù)學(xué)解. (4)還原將所求結(jié)果還原到實(shí)際問題中.,易錯(cuò)防范 1.直接應(yīng)用公式求和時(shí)，要注意公式的應(yīng)用范圍，如當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比為參數(shù)(字母)時(shí)，應(yīng)對(duì)其公比是否為1進(jìn)行討論. 2.在應(yīng)用錯(cuò)位相減法時(shí)，要注意觀察未合并項(xiàng)的正負(fù)號(hào). 3.解等差數(shù)列、等比數(shù)列應(yīng)用題時(shí)，審題至關(guān)重要，深刻理解問題的實(shí)際背景，理清蘊(yùn)含在語言中的數(shù)學(xué)關(guān)系，把應(yīng)用問題抽象為數(shù)學(xué)中的等差數(shù)列、等比數(shù)列問題，使關(guān)系明朗化、標(biāo)準(zhǔn)化，然后用等差數(shù)列、等比數(shù)列知識(shí)求解.,