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1、考點(diǎn)一正弦、余弦定理的應(yīng)用,考點(diǎn)清單,考向基礎(chǔ) 若ABC中角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R是ABC的外接圓半徑,則有:,【溫馨提示】 (1)利用余弦定理求邊長(zhǎng),實(shí)質(zhì)是解一元二次方程,解出后可根據(jù)已知條件對(duì)方程的根進(jìn)行取舍. (2)在ABC中,已知a,b和A,利用正弦定理解三角形時(shí),會(huì)出現(xiàn)解不確定的情況,一般可根據(jù)三角形中“大邊對(duì)大角”和“三角形內(nèi)角和定理”來(lái)取舍.在ABC中,已知a,b和A時(shí),具體解的情況如下表:,上表中,若A為銳角,則當(dāng)a
2、ABC中,a=4,b=5,c=6,則=.,解析在ABC中,由余弦定理可得cos A===,由 正弦定理可知====1.,答案1,思路分析先由余弦定理求cos A,再將sin 2A展開(kāi),根據(jù)正弦定理將角轉(zhuǎn)化為邊,然后求得結(jié)論.,考向二三角形形狀的判斷,例2設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則ABC的形狀為() A.銳角三角形B.直角三角形 C.鈍角三角形D.不確定,解析由已知及正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)=sin2A,又sin(B+C)=sin A,sin A=1,A=.故選B.,
3、答案B,考點(diǎn)二解三角形的綜合應(yīng)用,考向基礎(chǔ) 1.三角形中常用的結(jié)論 在ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,常見(jiàn)的結(jié)論有: (1)A+B+C=; (2)在ABC中,大角對(duì)大邊,大邊對(duì)大角,如:abABsin Asin B; (3)任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊; (4)在銳角三角形ABC中,sin Acos BA+B; (5)在斜ABC中,tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C; (6)有關(guān)三角形內(nèi)角的常用三角恒等式:sin(A+B)=sin C;cos(A+B)=-cos C;tan(A+B)=-tan C;sin=cos;cos=sin
4、.,2.三角形的面積公式 (1)已知三角形一邊及該邊上的高,利用S=ah(h表示邊a上的高); (2)已知三角形的兩邊及其夾角,利用S=absin CS=acsin B,S=bcsin A; (3)已知三角形的三邊,利用S=; (4)已知三角形的三邊及內(nèi)切圓半徑,利用S=(a+b+c)r(r為三角形的內(nèi) 切圓半徑).,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.實(shí)際問(wèn)題中用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型:測(cè)量高度問(wèn)題、距離問(wèn)題、角度問(wèn)題.注意正確理解實(shí)際問(wèn)題中的常用數(shù)學(xué)用語(yǔ):仰角、俯角、方向角、方位角、坡角以及坡比(坡度)等.,3.解三角形的實(shí)際應(yīng)用 解決關(guān)于解三角形的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的關(guān)鍵是建立三角函數(shù)模型,將實(shí)
5、際,考向突破,考向正、余弦定理與面積的綜合問(wèn)題,例如圖,在四邊形ABCD中,ABD=45,ADB=30,BC=1,DC=2,cosBCD=,則BD=;三角形ABD的面積為.,解析在BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+DC2-2BCDCcosBCD=1+4-212=4,BD=2. 在ABD中,由正弦定理得=, AB===-, SABD=ABBDsinABD=(-)2 =-1.,答案2;-1 思路分析在BCD中利用余弦定理求BD.在ABD中利用正弦定理求AB,然后利用三角形面積公式求三角形ABD的面積.,方法1三角形形狀的判斷 要判斷三角形的形狀,應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考.依據(jù)已知條件中的
6、邊角關(guān)系判斷時(shí),主要有以下兩種途徑: (1)化角為邊:利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系,通過(guò)因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系,從而判斷三角形的形狀. (2)化邊為角:利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系,通過(guò)三角恒等變換得出內(nèi)角的關(guān)系,從而判斷出三角形的形狀,此時(shí)要注意應(yīng)用“ABC中,A+B+C=”這個(gè)結(jié)論.,方法技巧,例1在ABC中,a、b、c分別表示三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊,如果(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),判斷三角形的形狀. 解題導(dǎo)引,解析解法一:已知等式可化為 a2sin(A-B)-sin(A+B)=b2-sin(
7、A+B)-sin(A-B), 2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A. 由正弦定理可知上式可化為 sin2Acos Asin B=sin2Bcos Bsin A, sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0, sin 2A=sin 2B,由0<2A<2,0<2B<2, 得2A=2B或2A=-2B, 即A=B或A=-B, ABC為等腰三角形或直角三角形. 解法二:同解法一可得2a2cos Asin B=2b2sin Acos B.,由正、余弦定理,可得 a2b=b2a, a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2), 即(a2-b2)(a2+b2
8、-c2)=0, a=b或a2+b2=c2, ABC為等腰三角形或直角三角形.,方法2解三角形的常見(jiàn)題型及求解方法 1.已知兩角A、B與一邊a,由A+B+C=及==,可先求出角C, 再求出b、c. 2.已知兩邊b、c及其夾角A,由a2=b2+c2-2bccos A,先求出a,再由正弦定理求出角B、C. 3.已知三邊a、b、c,由余弦定理可求出角A、B、C. 4.已知兩邊a、b及其中一邊a的對(duì)角A,由正弦定理=可求出另 一邊b的對(duì)角B,由C=-(A+B)可求出C,再由=可求出c,而通過(guò) =,求B時(shí),可能有一解,兩解或無(wú)解的情況,其判斷方法如下表:,例2在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知bc,a=6,b=5,ABC的面積為9. (1)求cos C的值; (2)求c及sin B的值.,
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